到目前為止，已經介紹瞭描述靜電場的兩個物理量：電場強度boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)和電勢uleft(boldsymbol{r}right)，這兩個物理量都是空間坐標的函數。從數學形式上看，uleft(boldsymbol{r}right)是標量函數而boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)是矢量函數。從便於運用的角度出發，特別是在需要快速瞭解某個靜電場在空間中的整體特征時，我們迫切需要建立一種圖形化地描述靜電場的方法，這就是本節將要介紹的等勢面和電場線。

另一方面，在介紹瞭真空中靜電場的電場疊加原理和電勢疊加原理後，我們就可以借助它們來分析已知電荷分佈下的靜電場boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)和電勢uleft(boldsymbol{r}right)。本節將給出兩個比較簡單的例子，以使讀者粗淺地瞭解這樣的分析方法。

等勢面與電場線

由於電勢uleft(boldsymbol{r}right)是一個標量，在靜電場boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)分佈的區域內，電勢uleft(boldsymbol{r}right)具有同一數值的所有點組成一個曲面，這樣的曲面稱為等勢面。如果用預先給定的平面去截等勢面，所得的平面曲線即稱為等勢線。

作為最簡單的例子，現在推導真空中單個點電荷q所建立的靜電場的等勢面方程。由式(1.18)，並令uleft(boldsymbol{r}right)等於給定的常數U，就可以得到電勢為U的點所組成的等勢面方程為【式(1.35)】

begin{aligned} r=frac{k q}{U} end{aligned}\

在以點電荷q所在位置為坐標原點的球坐標系O left(r,theta,phi right)中，式(1.35)描述瞭一族以坐標原點為球心的球面。如果用過坐標原點的平面來截這一族球面，所得的等勢線即為一族以坐標原點為圓心的同心圓。另一方面，U的絕對值越大，則r越小，這意味著越靠近球心的等勢面，對應的電勢的絕對值越大（註意：式(1.18)是以距電荷無限遠處為零電勢點的，這意味著在正電荷建立的電場的區域內，電勢始終為正值；同理在負電荷建立的電場的區域內，電勢始終為負值）。

在式(1.35)中，分別令U=Delta U、2Delta U、…、ncdot Delta U，相應等勢面的半徑為r=R_1、R_2、…、R_n，計算電勢差為Delta U的相鄰兩個等勢面的半徑的差，可得【式(1.36)】

begin{aligned} Delta R_i=R_i-R_{i+1}=frac{kq}{Delta U}frac{1}{ileft(i+1right)},left(i=1,2,cdots,n-1right) end{aligned} \

由式(1.36)並借助簡單不等式，可以證明Delta R_i < Delta R_{i-1}，這意味著如果相鄰等勢面的電勢差相等，則越靠近點電荷，等勢面越密集。

接下來討論如何形象化地描述電場強度boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)。由於boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)是矢量，最直觀的方式是在存在靜電場的空間中有規律地選取某些點，然後逐個畫出這些點處的boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)【這也是目前主流電磁場有限元計算軟件普遍具有的功能，本書後面的一些電磁場仿真計算結果中我們會采用這樣的方法】，但由於靜電場分佈在三維空間中，各個點處的boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)一般地也具有不同的方向，因而這種方法一般地並不能有效地將靜電場展示在二維平面上。

另一種稍顯復雜的方法，是在存在靜電場的空間中有規律地畫出某些曲線，並使得這些曲線在某點處的切線方向與該點處的boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)矢量方向相同，這樣的曲線稱為電場線。 為便於分析，采用空間直角坐標系O left(x,y,zright)並將空間曲線表示為參數方程的形式，也即boldsymbol{r}=boldsymbol{r}left(tright)=left(xleft(tright),yleft(tright),zleft(tright)right)。按上述要求，該曲線在boldsymbol{r}=left(x,y,zright)處的切線方向與boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)矢量同向，即【式(1.37)】

begin{aligned} frac{1}{E_x}frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}=frac{1}{E_y}frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t}=frac{1}{E_z}frac{mathrm{d}z}{mathrm{d}t} end{aligned} \

式(1.37)中，當某點處E_x=0時，應令該點處的dfrac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}=0，對於E_y=0、E_z=0的點，也應作同樣的規定。

由於所求的曲線上的點的坐標都是參數t的函數，因此式(1.37)是以t為自變量的常微分方程組。如果可以求出相應的積分（例如：xleft(tright)=int E_xleft(xleft(tright),yleft(tright),zleft(tright)right) mathrm{d}t），再結合曲線過給定點這一初值條件，就可以唯一地確定所求曲線的參數方程，並在空間中繪制出該曲線。但是，由於靜電場boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)自身的復雜性，在一般情況下要想求出方程組(1.37)的解析解幾乎是不可能的，因此要畫出這樣的曲線，通常都要求助於數值計算方法以及相應的計算工具。

一個相當簡單的情形是真空中單個正點電荷+q所建立的靜電場的電場線方程。仍以q所在位置為坐標原點建立球坐標系O left(r,theta,phi right)，根據式(1.4)，由於任意boldsymbol{r}處的電場強度始終沿著boldsymbol{e}_r方向，甚至不需要按一般方法求解微分方程(1.37)，直接依據解析幾何中空間直線的點向式方程，就可以直接得出此時的電場線方程為【式(1.38)】

begin{aligned} boldsymbol{r}=boldsymbol{r}_0+tboldsymbol{e}_{r0} qquad left(t > -left|boldsymbol{r}_0right|right) end{aligned} \

式(1.38)中{r}_0為該電場線所過的某定點，boldsymbol{e}_{r0}為{r}_0處關於坐標r的單位矢量，t為參數。可以看出這時的電場線是從坐標原點處附近出發的射線。如果在坐標原點處的是負點電荷-q，相信讀者也能參照上面的分析很容易地得出這時的電場線方程。

根據式(1.35)和式(1.38)，可以在任一過坐標原點的平面上繪制出真空中單個點電荷q所建立的靜電場的等勢面和電場線，如下圖1.6所示,圖中相鄰等勢線之間的電勢差都相等。

圖1.6: 真空中靜止點電荷q 所建立的電場的等勢線（藍色實曲線）和電場線（紅色虛線）

需要註意的是，在點電荷自身所在的位置處，微分方程(1.37)中的E_x、E_y、E_z其數值均為無窮大因而該方程在這一點處失去意義。相應地，電場線不能穿過點電荷所在的位置，而是要麼從這個位置出發，要麼終止於這個位置。類似地，如果點電荷分佈在有限區域內，則在距離點電荷無限遠處，E_x、E_y、E_z其數值均為0，該方程在這一點處同樣失去意義。相應地，電場線也隻可能要麼從無限遠處出發，要麼終止於無限遠處。

綜上所述，並考慮到正點電荷和負點電荷各自所建立的電場的特征，可以得出電場線的基本特征：電場線不能穿過點電荷，而是通常起始於正點電荷處或無限遠處，終止於負點電荷處或無限遠處。 從上述討論中可知，對於已知的靜電場boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)，則電勢uleft(boldsymbol{r}right)也是已知的，因此等勢面是真實存在的。 但是，基於boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)用微分方程(1.37)而得出的電場線卻隻是一種圖形化地描述靜電場的手段，並不是真實存在的！

進一步地，我們來分析靜電場boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)中過某點boldsymbol{r}處的電場線和等勢面有什麼關系。對於電場線，其在該點處的切線方向就是此處的電場強度矢量boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)的方向，而該點處的等勢面的法向量boldsymbol{n}則可由等勢面方程uleft(boldsymbol{r}right)=U求得（註意這裡的U是常數）【式(1.39)】

begin{aligned} boldsymbol{n}= frac{partial u}{partial x}boldsymbol{e}_x + frac{partial u}{partial y}boldsymbol{e}_y + frac{partial u}{partial z}boldsymbol{e}_z end{aligned} \

根據式（1.21）可知boldsymbol{E}left(boldsymbol{r}right)=-boldsymbol{n}，因此靜電場中任意點boldsymbol{r}處的電場線必然垂直於該處的等勢面，且電場線指向電勢降低的方向。 後面會介紹到，這一特點在求解二維靜電場問題時，將能夠起到重要的作用。

一對等量同種電荷的靜電場

接下來，我們以兩個比較簡單的例子來介紹給定電荷分佈情況時的靜電場分析方法。

首先以一對等量正點電荷為例。如圖1.7所示，在空間直角坐標系Oleft(x,y,zright)（圖中未畫出垂直紙面的y軸）中的點Aleft(0,0,dfrac{d}{2}right)、點Bleft(0,0,-dfrac{d}{2}right)處均分別存在電荷量為+q的點電荷，並共同在空間中建立起靜電場，試求點Pleft(x,y,zright)處的電場強度矢量boldsymbol{E}_Pleft(x,y,zright)。

圖1.7: 一對等量同種電荷的靜電場的分析

這一問題是已知電荷分佈求解靜電場分佈，屬於典型的靜電學問題，解決這類問題的基本方法是靜電場的電場強度疊加原理或電勢疊加原理。對於這一問題，使用電場疊加原理比較簡單，利用式(1.5)就可以直接得到【式(1.40)】

begin{aligned} boldsymbol{E}_Pleft(x,y,zright) &= kqleft(dfrac{boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_A}{left|boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_Aright|^3}+dfrac{boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_B}{left|boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_Bright|^3}right) \& =kq left[ dfrac{xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z-dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_z}{left|xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z-dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_zright|^3}+dfrac{xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z+dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_z}{left|xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z+dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_zright|^3} right] \& =kqleft{ dfrac{xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z-dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_z}{left[x^2+y^2+left(z-dfrac{d}{2}right)^2right]^{3/2}} + dfrac{xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z+dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_z}{left[ x^2+y^2+left(z+dfrac{d}{2}right)^2right]^{3/2}} right} end{aligned} \

根據式(1.40)即可計算出任意點Pleft(x,y,zright)處的電場強度矢量boldsymbol{E}_Pleft(x,y,zright)。當z gg dfrac{d}{2}時，作近似left(z-dfrac{d}{2}right) to z、left(z+dfrac{d}{2}right) to z，可得當點Pleft(x,y,zright)離坐標原點很遠時【式(1.41)】

begin{aligned} boldsymbol{E}_Pleft(x,y,zright) approx frac{2kq}{r^2}frac{boldsymbol{r}}{r} end{aligned} \

式(1.41)表明，當離兩電荷連線的中點很遠時，一對等量同種電荷在空間中建立的靜電場與電荷量加倍的點電荷在中點處建立的靜電場，二者相當接近。這一結論有一個物理上顯而易見的解釋：對於這個例子，當“場點”離“源點”很遠時，在“場點”看來，“源點”的電荷分佈就相當於1個電荷量為2q的點電荷放置在瞭坐標原點處。

a) 考慮這一靜電場在z軸上的分佈情況，在式(1.40)中令x=y=0，可得【式(1.42)】

begin{aligned} boldsymbol{E}_Pleft(0,0,zright) =kq left( dfrac{z-dfrac{d}{2}}{left|z-dfrac{d}{2}right|^3}+dfrac{z+dfrac{d}{2}}{left|z+dfrac{d}{2}right|^3} right)boldsymbol{e}_z=begin{cases} kq dfrac{2z^2+dfrac{d^2}{2}}{left(z^2-dfrac{d^2}{4}right)^2}boldsymbol{e}_z & quad left(z>dfrac{d}{2}right) \ & \ -2kq dfrac{zd}{left(z^2-dfrac{d^2}{4}right)^2}boldsymbol{e}_z & quad left(dfrac{d}{2}>z>-dfrac{d}{2}right) \ & \ -kq dfrac{2z^2+dfrac{d^2}{2}}{left(z^2-dfrac{d^2}{4}right)^2}boldsymbol{e}_z & quad left(z<-dfrac{d}{2}right) end{cases} end{aligned} \

令kq=1 mathrm{V cdot m}、d=1 mathrm{m}，畫出E_Pleft(0,0,zright)的圖像，如圖1.8所示（縱軸方向的坐標網格尺度壓縮為橫軸的1/100；負值表示電場強度方向與boldsymbol{e}_z相反）。

圖1.8: 一對等量同種電荷的靜電場E_P 在z 軸上的數值E_P (0, 0, z)

b) 考慮這一靜電場在x軸上的分佈情況，在式(1.40)中令y=z=0，可得【式(1.43)】

begin{aligned} boldsymbol{E}_Pleft(x,0,0right) =kq left( dfrac{xboldsymbol{e}_x-dfrac{d}{2}boldsymbol{e}_z}{left|xboldsymbol{e}_x-dfrac{d}{2}boldsymbol{e}_zright|^3}+dfrac{xboldsymbol{e}_x+dfrac{d}{2}boldsymbol{e}_z}{left|xboldsymbol{e}_x+dfrac{d}{2}boldsymbol{e}_zright|^3} right) = dfrac{2kqxboldsymbol{e}_x}{left(x^2+dfrac{d^2}{4}right)^{3/2}} end{aligned} \

同樣地令kq=1 mathrm{V cdot m}、d=1 mathrm{m}，畫出E_Pleft(x,0,0right)的圖像，如圖1.9所示（負值表示電場強度方向與boldsymbol{e}_x相反）。

4ac7879f00637c2baab49d315644f0c3圖1.9: 一對等量同種電荷的靜電場E_P 在x 軸上的數值E_P (x, 0, 0)

如果不用電場疊加原理而是用電勢疊加原理，以距點電荷無窮遠處為零電勢點，基於式(1.22)和式(1.18)可以直接得到點P處的電勢u_Pleft(x,y,zright)為【式(1.44)】

begin{aligned} u_Pleft(x,y,zright) &= kqleft(dfrac{1}{left|boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_Aright|}+dfrac{1}{left|boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_Bright|}right) \& = kq left[dfrac{1}{sqrt{x^2+y^2+left(z-dfrac{d}{2}right)^2}}+dfrac{1}{sqrt{x^2+y^2+left(z+dfrac{d}{2}right)^2}}right] end{aligned} \

從式(1.44)的形式上看，要想通過令u_Pleft(x,y,zright)=U進而求出等勢面的解析表達式，也是十分繁瑣的。但是仍然可以參照上述討論電場強度矢量boldsymbol{E}_P的過程，討論在某些對稱軸上的電勢分佈，這裡直接給出部分結果：【式(1.45)】

begin{aligned} u_Pleft(x,y,zright) = begin{cases} kqleft(dfrac{1}{left|z-dfrac{d}{2}right|}+dfrac{1}{left|z+dfrac{d}{2}right|}right) & quad left(x=y=0right) \ & \ dfrac{4kq}{sqrt{4x^2+d^2}} & quad left(y=z=0right) end{cases} end{aligned} \

對於一對等量同種電荷的靜電場，除瞭依據對稱性能夠得到的一些可以解析表達的結果（例如上面討論的兩種情況）之外，要想把式(1.40)進一步化簡並根據電場線方程(1.37)給出電場線的解析表達式，在數學上是相當困難的。好在現在有若幹種數值計算軟件可供使用，應用這些軟件計算出圖1.7所示的一對等量同種電荷在xOz平面上的電勢分佈，如圖1.10所示（kq=1 mathrm{V cdot m}、d=1 mathrm{m}，在圖中等勢線用彩色實曲線表示；某處的電場強度矢量用起點為該處的紅色箭頭表示，箭頭的長度與電場強度的大小近似成對數關系）。

圖1.10: 圖1.7所示的一對等量同種電荷所建立的電場在xOz 平面上的等勢線和電場強度矢量圖

一對等量異種電荷的靜電場

如圖1.11所示，在空間直角坐標系Oleft(x,y,zright)（圖中未畫出垂直紙面的y軸）中的點Aleft(0,0,dfrac{d}{2}right)、點Bleft(0,0,-dfrac{d}{2}right)處分別存在電荷量為+q、-q的點電荷，並共同在空間中建立起靜電場，試求點Pleft(x,y,zright)處的電場強度矢量boldsymbol{E}_Pleft(x,y,zright)。

圖1.11: 一對等量異種電荷的靜電場的分析

與分析一對等量同種電荷的靜電場的過程完全相似地，基本出發點仍然是電場疊加原理，利用式(1.5)直接得到【式(1.46)】

begin{aligned} boldsymbol{E}_Pleft(x,y,zright) &= kqleft(dfrac{boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_A}{left|boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_Aright|^3}-dfrac{boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_B}{left|boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_Bright|^3}right) \& =kq left[ dfrac{xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z-dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_z}{left|xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z-dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_zright|^3}-dfrac{xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z+dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_z}{left|xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z+dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_zright|^3} right] \& =kqleft{ dfrac{xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z-dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_z}{left[x^2+y^2+left(z-dfrac{d}{2}right)^2right]^{3/2}} - dfrac{xboldsymbol{e}_x+yboldsymbol{e}_y+left(z+dfrac{d}{2}right)boldsymbol{e}_z}{left[ x^2+y^2+left(z+dfrac{d}{2}right)^2right]^{3/2}} right} end{aligned} \

a) 考慮這一靜電場在z軸上的分佈情況，在式(1.46)中令x=y=0，可得【式(1.47)】

begin{aligned} boldsymbol{E}_Pleft(0,0,zright) =kq left( dfrac{z-dfrac{d}{2}}{left|z-dfrac{d}{2}right|^3}-dfrac{z+dfrac{d}{2}}{left|z+dfrac{d}{2}right|^3} right)boldsymbol{e}_z=begin{cases} 2kq dfrac{zd}{left(z^2-dfrac{d^2}{4}right)^2}boldsymbol{e}_z & quad left(z>dfrac{d}{2}right) \ & \ -kq dfrac{2z^2+dfrac{d^2}{2}}{left(z^2-dfrac{d^2}{4}right)^2}boldsymbol{e}_z & quad left(dfrac{d}{2}>z>-dfrac{d}{2}right) \ & \ -2kq dfrac{zd}{left(z^2-dfrac{d^2}{4}right)^2}boldsymbol{e}_z & quad left(z<-dfrac{d}{2}right) end{cases} end{aligned} \

令kq=1 mathrm{V cdot m}、d=1 mathrm{m}，畫出E_Pleft(0,0,zright)的圖像，如圖1.12所示(縱軸方向的坐標網格壓縮為原長的1/100；負值表示電場強度方向與boldsymbol{e}_z相反)。

c1b7821f1ede8847b44204d136ae6412圖1.12 一對等量異種電荷的靜電場E_P在z軸上的數值E_P(0, 0, z)

b) 繼續研究這一靜電場在x軸上的分佈情況，在式(1.46)中令y=z=0，可得【式(1.48)】

begin{aligned} boldsymbol{E}_Pleft(x,0,0right) =kq left(dfrac{xboldsymbol{e}_x-dfrac{d}{2}boldsymbol{e}_z}{left|xboldsymbol{e}_x-dfrac{d}{2}boldsymbol{e}_zright|^3}-dfrac{xboldsymbol{e}_x+dfrac{d}{2}boldsymbol{e}_z}{left|xboldsymbol{e}_x+dfrac{d}{2}boldsymbol{e}_zright|^3} right) = -dfrac{kqdboldsymbol{e}_z}{left(x^2+dfrac{d^2}{4}right)^{3/2}} end{aligned} \

仍令kq=1 mathrm{V cdot m}、d=1 mathrm{m}，畫出E_Pleft(x,0,0right)的圖像，如圖1.13所示（縱軸方向的坐標網格壓縮為原長的1/5）。

942d75cd3c2094328fbcc0a6b5f00528圖1.13: 一對等量異種電荷的靜電場EP 在x 軸上的數值EP (x, 0, 0)

接下來，改用電勢疊加原理，同樣以距點電荷無窮遠處為零電勢點，基於式(1.22)和式(1.18)可以直接得到點P處的電勢u_Pleft(x,y,zright)為【式(1.49)】

begin{aligned} u_Pleft(x,y,zright) &= kqleft(dfrac{1}{left|boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_Aright|}-dfrac{1}{left|boldsymbol{r}_P-boldsymbol{r}_Bright|}right) \& = kq left[dfrac{1}{sqrt{x^2++y^2+left(z-dfrac{d}{2}right)^2}}-dfrac{1}{sqrt{x^2+y^2+left(z+dfrac{d}{2}right)^2}}right] end{aligned} \

從式(1.49)的形式上看，要想通過令u_Pleft(x,y,zright)=U進而求出等勢面的解析表達式，同樣是十分繁瑣的。但是仍然可以討論在某些對稱軸上的電勢分佈，這裡也直接給出部分結果：【式(1.50)】

begin{aligned} u_Pleft(x,y,zright) = begin{cases} kqleft[dfrac{1}{left|z-dfrac{d}{2}right|}-dfrac{1}{left|z+dfrac{d}{2}right|}right] & quad left(x=y=0right) \ & \ 0 & quad left(y=z=0right) end{cases} end{aligned} \

註意到，式(1.48)表明在x軸上（再結合對稱性，實際上是整個xOy平面上）的電場強度矢量boldsymbol{E}_P始終與x軸（以及xOy平面）垂直，因此xOy平面顯然是這個靜電場的其中一個等勢面，式(1.50)也表明瞭這一點。在一對等量異種電荷所建立的電場中，兩電荷所在位置連線的中垂面是一個等勢面， 這是一個相當典型而重要的特征，後面講述鏡像法時，我們還會回到這個問題上來。

借助數值計算軟件，可以計算出圖1.11所示的一對等量異種電荷在xOz平面上的等勢線和電場線，如圖1.14所示（kq=1 mathrm{V cdot m}、d=1 mathrm{m}，在圖中等勢線用彩色實曲線表示；某處的電場強度矢量用起點為該處的紅色箭頭表示，箭頭的長度與電場強度的大小近似成對數關系）【在該圖中，位於left(-1/2,0,0 right) 處的點電荷-q附近由於電場強度的數值相當大，使得部分紅色箭頭的長度較長，因而粗看起來就像是從該點電荷處“發出”，但這純粹是視覺上的錯覺。】。

圖1.14: 圖1.11所示的一對等量異種電荷所建立的電場在xOz 平面上的等勢線圖