本文旨在做出较强形式的素数定理（得到非平凡的余项），结论基于前文对于Riemann Zeta函数的非零区域和阶的估计的讨论。

下面是解析数论中极其重要的工具Perron formula，它沟通了Dirichlet级数的系数部分和与Dirichlet级数自身的关系，我们旨在导出其截断围道积分后的余项形式

先做一些定义

【定义1】

L(f,s) = sum_{ngeqslant 1}frac{a_{f}(n)}{n^s} ，下面两个记号表明收敛界

[sigma_{a} = inf {Re(s) | L(f,s) mbox{绝对收敛}}]

[sigma_{c} = inf {Re(s) | L(f,s) mbox{条件收敛}}]

【定义2】

B(sigma) = sumlimits_{ngeqslant 1}frac{|a(n)|}{n^sigma} quad sigma > sigma_{a}

下面叙述定理

【定理1】（Perron formula）

记 x geqslant 4，|x| 是指离 x 最近的整数与 x 之间的距离，显然 |x| leqslant frac{1}{2} 则对于 b>sigma_{a} , T geqslant 2, 2leqslant H < (1-theta)x ,这里 theta in (0,1) ,我们有公式

[sumlimits_{nleqslant x}a_n = frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{b+iT}L(f,s)frac{x^s}{s}ds +mathcal{O}(frac{xA_{H}(x)log frac{x}{H}}{T}) +mathcal{O} (frac{x^{b}HB(b)}{T} ) + mathcal{O}(|a_{N}|min(1,frac{x}{T|x|}))]

其中 A_{H}(x) =maxlimits_{x-frac{x}{H} < n leqslant x + frac{x}{H}}|a_n|

对于上式，假设 xnotin mathbb{Z} ,令 T 趋于无穷大，则有比较容易和清晰的一个形式

sum_{nleqslant x}a_n = frac{1}{2pi i }int_{b-iinfty}^{b+iinfty}L(f,s)frac{x^s}{s}ds ,虽然形式很简洁，但这个形式蕴含的信息很少，并不容易得到好的渐近公式。

定理1的证明：

先陈述一个引理

【引理1】

定义函数

begin{equation*} begin{aligned} delta(y)= left{ begin{array}{lr} 0 quad 0leqslant y<1 / frac{1}{2}quad y=1/ 1 quad y>1/ end{array} right. end{aligned} end{equation*}

则

begin{equation*} begin{aligned} frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{b+iT}frac{y^s}{s}ds = delta(y) + left{ begin{array}{lr} mathcal{O}(y^b min(1,frac{1}{Tlog|y|})) quad 0leqslant y neq 1 / mathcal{O}(frac{b}{T})quad y=1/ end{array} right. end{aligned} end{equation*}

证明使用Cauchy留数定理，从略

接下来我们分情况讨论（ x 是否是整数）

Case（1）：假设 x notin mathbb{Z} , N 是距离 x 最近的整数， |x| leqslant frac{1}{2},b > sigma_{a} 应用上述的引理，令 y = frac{x}{n} neq 1 ,乘上 a_n 并对 ngeqslant 1 求和，交换求和次序,我们得到

[frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{b+iT}sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{n^s}frac{x^s}{s}ds = sumlimits_{n=1}^{infty}a_ndelta(frac{x}{n}) + mathcal{O}(sum a_n(frac{x}{n})^b min(1,frac{1}{Tlogfrac{x}{n}}))]

即有

[frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{b+iT}L(f,s)frac{x^s}{s}ds = sumlimits_{n leqslant x}a_n + mathcal{O}( x^b sum frac{a_n}{n^b}min(1,frac{1}{Tlogfrac{x}{n}}))]

故只需要证明出现在的余项可以被题干中几部分控制住，具体写出来

[error = x^b sumlimits_{n=1}^{infty} frac{a_n}{n^b}min(1,frac{1}{Tlogfrac{x}{n}})]

根据其形式，我们在 n 比较靠近 x 的时候单独估计，记 2leqslant H < (1-theta)x

[error = x^b sumlimits_{ n leqslant x-frac{x}{H}} +sumlimits_{x-frac{x}{H} < n leqslant x + frac{x}{H} } + sumlimits_{n > x + frac{x}{H}} frac{a_n}{n^b}min(1,frac{1}{Tlogfrac{x}{n}}) = I+II+III]

对于 n leqslant x – frac{x}{H} ,则有 frac{x}{n} geqslant (1 – frac{1}{H})^{-1} ，且对于 n geqslant x + frac{x}{H} 时，有 frac{n}{x} geqslant 1+frac{1}{H} ,由此我们推出 |logfrac{x}{n}| gg frac{1}{H} ，故有

I+ III ll x^b sumlimits_{n=1}^{infty}frac{|a_n|}{n^b}frac{H}{T} = x^b frac{H}{T}B(b)

下面只剩下估计 II ,再进行一个分解

II = x^b(sumlimits_{substack{x-frac{x}{H} < n leqslant x + frac{x}{H} / n neq N}}frac{|a_n|}{n^b}min(1,frac{1}{|Tlogfrac{x}{n}|} )+ frac{a_N}{n^b}min(1,frac{1}{|Tlogfrac{x}{N}|})) = II_1 + II_2

此时 log frac{x}{N} = log(1+frac{x – N}{N} )gg frac{|x-N|}{N} gg frac{|x|}{x} ,可以推出来

II_2 = x^b frac{|a_N|}{N^b}min(1,frac{1}{|Tlogfrac{x}{N}|} ) ll |a_N|min(1,frac{x}{T|x|})

对于 II_1 再分成2部分考虑

(a) N < n < x+frac{x}{H} ，我们记成 n = N + r,r = 1,2,…,[x+frac{x}{H}] – N ,此时 frac{n}{x} = 1 + frac{n-x}{x} = 1 +frac{N -x +r}{x} geqslant 1 +frac{r-frac{1}{2}}{x} ,由此得到

[|log frac{n}{x}| gg |log(1 + frac{r – frac{1}{2}}{x})| gg frac{r}{x}]

(b) x-frac{x}{H} < n < N 时，同理有 log frac{n}{x} gg frac{r}{x}

综上推出

[II_1 llsumlimits_{1 leqslant r leqslant[x+frac{x}{H}]-N}frac{1}{Tcdot frac{r}{x}}maxlimits_{x-frac{x}{H} < n leqslant x + frac{x}{H} } |a_n| ll frac{x}{T}logfrac{x}{H}A_H(x)]

我们完成了第一种情况的证明

Case（2） x in mathbb{Z} ，则我们就取 x = N ,由 delta(y) 的性质得到

[frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{b+iT}L(f,s)frac{x^s}{s}ds = sumlimits_{n < x}a_n + frac{1}{2}a_N + error]

相同的估计其他项就可以得到结论

这样就结束了定理1的证明。

【注记】有时候 A_{H}(x) =maxlimits_{x-frac{x}{H} < n leqslant x + frac{x}{H}}|a_n| 并不好控制，所以我们有下面调整的推论

[sum_{nleqslant x}a_n = frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{b+iT}L(f,s)frac{x^s}{s}ds +mathcal{O} (frac{x^{b}HB(b)}{T} ) + mathcal{O}(sumlimits_{x-frac{x}{H} < n leqslant x + frac{x}{H}}|a_n|)]

我们总结上面的结果

begin{equation*} begin{aligned} sumnolimits_{nleqslant x}^{'}a_n = frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{b+iT}L(f,s)frac{x^s}{s}ds + left{ begin{array}{lr} mathcal{O}(x^b sumlimits_{n=1}^{infty} frac{|a_n|}{n^b}min(1,frac{1}{|Tlogfrac{x}{n}|})) quad xnotin mathbb{Z} / mathcal{O}(x^b sumlimits_{substack{ngeqslant1/nneq x}}frac{|a_n|}{n^b}min(1,frac{1}{|Tlogfrac{x}{n}|}) + frac{|a_x|}{T})quad xin mathbb{Z}/ end{array} right. end{aligned} end{equation*}

其中 sum^{'} 指当 xinmathbb{Z} 时，最后一项是 frac{a_x}{2} ,上面的余项有更一般的估计为

[error ll mathcal{O}(frac{xA_{H}(x)log frac{x}{H}}{T}) +mathcal{O} (frac{x^{b}HB(b)}{T} ) + mathcal{O}(|a_{N}|min(1,frac{x}{T|x|}))]

下面是解析数论中著名的结果

【定理2】（素数定理）

存在一个绝对的常数 c ，使得

[psi(x) = sumlimits_{n leqslant x}Lambda(n) = x + mathcal{O}(xe^{-csqrt{log x}})]

[pi(x) = sumlimits_{p leqslant x}1 = int_{2}^{x}frac{du}{log u } + mathcal{O}(xe^{-frac{c}{2}sqrt{log x}})]

很简单的渐进比较知道 (log x)^{-A} gg e^{-csqrt{log x}} gg x^{-delta} ,所以上面的渐进余项是优越的。

定理2的证明： 取 a_n = Lambda(n) , b = 1 + frac{1}{log x} , T ll 2 , H = 2 ，由Perron 公式及 sumlimits_{n=1}^{infty}frac{Lambda(n)}{n^s} = -frac{zeta^prime}{zeta}(s)

[sumlimits_{nleqslant x}Lambda(n) = frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{b+iT} -frac{zeta^prime}{zeta}(s)frac{x^s}{s}ds + mathcal{O}(frac{xlog^2 x}{T} + frac{xlog x}{T}) ]

上式余项来源于 frac{zeta^prime}{zeta}(b) ll frac{1}{b-1} = log x ,即有 B(b) ll log x ，下面要回忆一下之前的结论

非零区域:

zeta(s) neq 0 , Re(s) > sigma_1 = 1 – frac{c}{log T} , |t| leqslant T 且有估计式

[frac{zeta^prime}{zeta}(s) ll log ^2 T quad (frac{1}{log^2 T} ll t < T)]

回忆之前的一个结果，当 -1 leqslant sigma leqslant 2

[frac{zeta^{prime}(s)}{zeta(s)} = sumlimits_{|t-gamma_n|leqslant 1}frac{1}{s-rho_n} +mathcal{O}(log (|t|))] ，以及

sigma_1 = 1 – frac{c}{log t}

begin{equation*} begin{aligned} frac{zeta^prime}{zeta}(sigma_{1} + it) &= sumlimits_{|t-gamma_n|leqslant 1}frac{1}{sigma_{1} + it-rho_n} +mathcal{O}(log (|t|))/ &llsumlimits_{|t-gamma_n|leqslant 1}frac{1}{sigma_{1} -beta} / &llsumlimits_{|t-gamma_n|leqslant 1}frac{1}{sigma_{1} -1} / &ll log t sumlimits_{|t-gamma_n|leqslant 1}1/ &lllog^2t lllog^2 T end{aligned} end{equation*}

即有 [|frac{zeta^{prime}(s)}{zeta(s)}| ll log^2 T quad forall|t|leqslant T]

现在由留数定理知

[frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{b+iT} -frac{zeta^prime}{zeta}(s)frac{x^s}{s}ds = Res_{s=1} + frac{1}{2pi i }int_{b-iT}^{sigma_1 – iT} + frac{1}{2pi i }int_{sigma_1 -iT}^{sigma_1+iT} + frac{1}{2pi i }int_{sigma_1 + iT}^{b+iT}-frac{zeta^prime}{zeta}(s)frac{x^s}{s}ds]

我们分别计算右侧各部分，首先 Res_{s=1} = x ，接着我们有

begin{equation*} begin{aligned} frac{1}{2pi i }int_{sigma_1 -iT}^{sigma_1+iT} + int_{sigma_1 + iT}^{b+iT}-frac{zeta^prime}{zeta}(s)frac{x^s}{s}ds &=mathcal{O}(int_{-T}^{T}frac{log^2 T x^{sigma_1}}{|sigma_1 + it|}dt + int_{sigma_1}^{b}frac{log^2 T x^{sigma}}{T}dsigma)/ &=mathcal{O}(log^2 Tcdot x^{sigma_1}log T + frac{log^2 T}{T}cdotfrac{x^sigma}{log x}bigg|_{b}^{sigma_1})/ (b = 1 + frac{1}{log x})&=mathcal{O}(x^{sigma_1}log^3 T + frac{log^2 T}{T}cdotfrac{x^{1+frac{1}{log x}}}{log x})/ &=mathcal{O}(x^{sigma_1}log^3 T + frac{xlog^2 T}{Tlog x})/ end{aligned} end{equation*}

第三部分可以被上面控制住，与第一块相同。

综上我们得到结论

[sumlimits_{nleqslant x}Lambda(n) = x +mathcal{O}(x^{sigma_1}log^3 T + frac{xlog^2 T}{Tlog x}) + mathcal{O}(frac{xlog^2 x}{T})]

我们调整阶的大小(选取 T )使 x^{sigma_1}log^3 T 与 frac{xlog^2 x}{T} 同阶，sigma_1 = 1 – frac{c}{log T} ,于是取 T ,x^{sigma_1} = frac{x}{T},T = e^{sqrt{log x}} ,带入即得

[sumlimits_{n leqslant x}Lambda(n) = x + mathcal{O}(xe^{-csqrt{log x}})]

对于素数定理第二个形式

begin{equation*} begin{aligned} sumlimits_{n leqslant x}frac{Lambda(n)}{log n} &=sumlimits_{p leqslant x}1 + sumlimits_{substack{p^k leqslant x / k geqslant 2}}frac{1}{k}/ &=sumlimits_{p leqslant x}1 + sumlimits_{p leqslant x^{frac{1}{2}}}sumlimits_{kleqslantfrac{log x}{log p}}frac{1}{k}/ &=sumlimits_{p leqslant x}1 + mathcal{O}(sqrt{x}log x) end{aligned} end{equation*}

再由Abel求和公式

begin{equation*} begin{aligned} sumlimits_{n leqslant x}frac{Lambda(n)}{log n} &=1 + sumlimits_{ 2leqslant n leqslant x}frac{Lambda(n)}{log n}/ &=1 +int_{2}^{x}frac{1}{log t}dsumlimits_{n leqslant t}Lambda(n)/ &=1 + frac{sumlimits_{n leqslant x}Lambda(n)}{log x} – 1 + int_{2}^{x}frac{1}{tlog^2 t}sumlimits_{n leqslant t}Lambda(n)dt/ &=frac{x + mathcal{O}(xe^{-csqrt{log x}})}{log x} + int_{2}^{x}frac{t + mathcal{O}(te^{-csqrt{log t}})}{tlog^2 t}dt/ &=frac{x}{log x} + int_{2}^{x}frac{1}{log^2 t}dt + mathcal{O}(xe^{-csqrt{log x}} + int_{2}^{x}frac{ te^{-csqrt{log t}}}{tlog^2 t}dt)/ &=frac{x}{log x} + int_{2}^{x}frac{1}{log^2 t}dt + mathcal{O}(xe^{-csqrt{log x}} + int_{2}^{sqrt{x}} + int_{sqrt{x}}^{x}frac{ te^{-csqrt{log t}}}{tlog^2 t}dt)/ &=frac{x}{log x} + int_{2}^{x}frac{1}{log^2 t}dt + mathcal{O}(xe^{-frac{c}{2}sqrt{log x}})/ mbox{(只差一个常数)} &=int_{2}^{x}frac{dt}{log t} + mathcal{O}(xe^{-frac{c}{2}sqrt{log x}})/ end{aligned} end{equation*}

综上即得到

[pi(x) = sumlimits_{p leqslant x}1 = int_{2}^{x}frac{du}{log u } + mathcal{O}(xe^{-frac{c}{2}sqrt{log x}})]

我们也习惯记 Li(x) = int_{2}^{x}frac{du}{log u }

由此我们便完成了素数定理的证明。