声明: 本卷为自娱自乐的产物. 除9,10, 19,20 以外都比较基础. 保守的说, 第20题有联赛二试难度.

1-6 单选, 7-10 不定项选择，11-14 填空, 15-20 解答(三角函数, 圆锥曲线,立体几何, 概率统计, 函数与导数, 数列)

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(1) 已知 M={xinmathbb{R}:|x+1|<2}, N={-3,-2,0,1} . 则 Mcap N= .

(A) {-3,-2,0} .

(B) {-2,0} .

(C) {-2,0,1} .

(D) {1,2} .

(2) 若 z=a+bi(a,binmathbb{R}) , 则复数 ioverline{z} 在复平面内的坐标是.

(A) (b,a) .

(B) (-b,a) .

(C) (b,-a) .

(D) (-b,-a) .

(3) 设f 是定义在实数集的奇函数. 设命题甲: “存在 a>0 , 使得对任意 xin(0,a) 都满足 f(x)>0 .” 命题乙: “存在 b<0 , 使得 f 在区间 [b,0] 严格递增.” 则甲是乙的______.

(A) 充分不必要条件.

(B) 必要不充分条件.

(C) 充要条件.

(D) 既不充分也不必要条件.

(4) 对每个 xin D={xneqdfrac{kpi}{4}:kinmathbb{Z}} , 定义 f(x)=tan(x)tan(2x) . 则

(A) f 是奇函数且 exists xin D: f(x)in (-2,0) .

(B) f 是偶函数且 exists xin D: f(x)in (-2,0) .

(C) f 是奇函数且 forall xin D: f(x)notin(-2,0) .

(D) f 是偶函数且 forall xin D: f(x)notin (-2,0) .

(5) 已知点 P 在以点 F_1,F_2 为左右焦点的椭圆 dfrac{x^2}{4}+y^2=1 上, 满足 cosangle F_1PF_2=-dfrac{1}{3} , 则 Delta F_1PF_2 的面积是

(A) dfrac{sqrt{2}}{2} .

(B) dfrac{1}{2} .

(C) sqrt{2} .

(D) 1 .

(6) “第一位数定律” 是对现实生活中非人为干扰的数据中首位数字分布频率的一种观察, 它指出首位有效数字中较小的数字分布频率更大: 以数 n 起头出现的数的概率是 P(n)=lgleft(1+dfrac{1}{n}right) , 其中 n=1,2…,9 . 现给出一组符合以上分布的数据样本, 通过该定律估计: 以 1 或 2 或 3 起头的数出现的频率和以 4 或 5 或 6 或 7 起头的数出现的频率之比约是

(A) 2:1 .

(B) 3:1 .

(C) 3:4 .

(D) 4:3 .

(7) 在直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中, 已知 |AB|=|AC|, BC=sqrt{2}|BB_1| , D 为边 BC 的中点, 则

(A) AD// 平面 A_1B_1C_1 .

(B) A_1Dperp 平面 ABC

(C) 平面 AC_1Dperp 平面 A_1B_1C .

(D) 点 B 到平面 ADB_1 的距离是 dfrac{sqrt{3}}{3}|BB_1| .

(8) 设点 A(-1,0), B(1,0) , 在圆 M:(x-3)^2+(y-4)^2=1 上存在且存在唯一的点 P 满足:

(A) 5|PA|^2-8|PB|^2=0 .

(B) |PA|^2 -|PB|^2 =8 .

(C) overrightarrow{PA}cdotoverrightarrow{PB}=15 .

(D) |PA|+|PB|=6 .

(9) 甲乙丙丁四名同学各抛掷骰子 5 次(一个各面分别显示数值 1,2,3,4,5,6 的六面体), 分别记录每次骰子出现的点数并各自选用了三个统计量来描述自己的抛掷数据. 经过计算各自的数据记录如下:

甲的数据: 平均数为 3 , 中位数为 2 , 极差为 3 ;

乙的数据: 平均数为 3 , 中位数为 3 , 众数为 2 ;

丙的数据: 平均数为 3.2 , 众数为 3 , 方差为 0.16 ;

丁的数据: 中位数为 3 , 极差为 4 , 方差为 1.5 .

通过以上记录可以推断, 谁的数据一定有错误?

(A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁

(10) 设定义在 D=[-1,1] 的函数 f 满足以下两条性质:

(i) 对每个 xin D : f(x) 或者为 x , 或者为 x^2 ;

(ii)对每个 xin D : 或者 f(x)=f(-x) , 或者 f(-x)=-f(x) .

设 f 的值域为 I , 则以下结论正确的是

(A) 若 I 有最小值且为 0 , 则 f(x)=x^2 .

(B) 若 I 有最小值且为 -dfrac{1}{2} , 则 [0,1]subseteq I .

(C) 若 I=[-dfrac{1}{2},1] , 则 f 在 [0,1] 不单调.

(D) 若 [-1,-dfrac{1}{2}]subseteq I , 则对 x_1in[0,dfrac{1}{2}],x_2in[dfrac{1}{2},1]:f(x_1)leq f(x_2) .

(11) 已知多项式 (1+x)^3 (2x^2-1)^2=a_0+a_1x+…+a_7x^7 , 则 a_3=_____.(用数字作答)

(12) 已知向量 a,b 满足 |a+3b|=|a-b| 且 acdot b=-4 , 则 |b|= _____.

(13) 设等比数列 {a_n}(n=1,2…) 的前 n 项和为 S_n . 若 S_4=10S_2 ，则 dfrac{S_8}{S_4}= _____.

(14) 设 c 为常数, 已知函数 f(x)=xe^x 有且仅有两条不同的切线经过 (0,c) , 则 c= _____.

(15) 已知最小正周期为 pi 的函数 f(x)=sin(omega x+varphi)cos(omega x) , 其中 varphiinleft(0,dfrac{pi}{2}right),omega>0 为常数.

(1) 求正数 omega 的值.

(2) 若 fleft(-dfrac{5pi}{6}right) 是 f 的最大值, 求 f 的单调减区间.

(3) 若 left(dfrac{7pi}{8},fleft(dfrac{7pi}{8}right)right) 是曲线 y=f(x) 的对称中心, 求 fleft(dfrac{pi}{3}right) .

(16) 在平面直角坐标系中, 设曲线 Omega 是所有到直线 x=-1 与到点 F(1,0) 距离相等的点构成的集合.

(1) 求 Omega 满足的方程.

(2) 设点 A,B 在曲线 Omega 上, 且到直线 x=-1 的垂直投影分别为 C, D , 满足 FCperp FD .

(i) 证明: 直线 AB 经过定点;

(ii) 若 angle FCD=dfrac{pi}{3} , 求直线 AB 的方程.

(17) 如图所示, 在一张边长为 2 (单位:dm)的正方形纸板 ABCD 上, 设正方形 A'B'C'D' 在其内部, 两正方形的中心重合, 且对角线 A'C', B'D' 分别在 AC, BD 上. 设点 E,F,G,H 分别为纸板的各边 AB, BC, CD, DA 的中点, 依次连接 EA',EB',FB',FC',GC',GD',HD', HA'. 最后将位于四角的四边形 AEA'H, BFB'E, CGC'F , DHD'G 均剪去后, 留下一个以正方形 A'B'C'D' 为底边的正四棱锥的展开图.

(1) 若 |A'B'|=dfrac{1}{2} ,求这个正四棱锥两个相邻侧面所在平面的二面角的正弦值;

(2) 当 |A'B'| 为何值时, 该四棱锥的体积取得最大值? 求这个最大值.

第17题图

(18) ^{[1] 某校为评估学生某传染病 S 的感染风险, 设计了以下统计方案: 受访学生先从一个装有3个尖头木棍和2个圆头木棍的不透明袋子里任意摸取一个木棍(不拿出袋子), 摸出木棍的结果仅有受访学生知晓而统计人员不会得知. 问卷如此设计: 在抽中尖头木棍的同学中, 曾经感染过 S 的同学填[A], 未曾感染过 S 的同学填[B]; 在抽中圆头木棍的同学中, 未曾感染过 S 的同学填[A], 感染过 S 的同学填[B]. 表格示意如下:}

	感染过S	未感染过S
抽中尖头木棍	填[A]	填[B]
抽中圆头木棍	填[B]	填[A]

(1) 任取一名受访同学, 记“他/她选择[A]”为事件 I , “他/她曾经感染过 S ”为事件 J ,设 P(J)=p .

(i) 若 p=0.1 , 求 P(J|I),P(J|overline{I}) 的值;

(ii) 对任意 0<p<1 , 证明: 0<P(J|I)-P(J|overline{I})leq 0.2.

(2) 若有 M 名同学参加调查. 假设他们都按照问卷描述的规则进行了填写.

(i) 设 X 为这些同学者中选择[A]的人数, 计算他们中曾经感染过 S 的人数估计值 Y (结果用含 M,X 的代数式表示);

(ii) 设随机变量 X,Y 由(i)中定义, 并且假设其中恰有 m 位同学曾经感染过 S , 求 X,Y 的数学期望 EX, EY (结果用含 M,m 的代数式表示表示).

(3) 结合 (1),(2) 试说明这样的统计方式的优点以及合理性.

(19) ^{[2] 对于定义在非空集合 D 上的函数 f , 对每个 xin D , 定义关于 t 的函数 h_x(t)=xt-f(t), forall tin D. 设 E={xin D: exists t_0in D,forall tin D, h_x(t_0)geq h_x(t)} . 若 E 非空, 定义 f 的“对应函数”函数 f^*: Etomathbb{R} , 对任意 xin E , f^*(x) 被定义为函数 h_x(t) 在 tin D 上的最大值.}

(1) 若 D=(-infty, +infty), f(x)=e^x(forall xin D) ，求 f^* (请指明定义域).

(2) 若 D=[-1,1], f(x)=x^3 (forall xin D) ，求 f^* (请指明定义域).

(3) 若 f^* 的“对应函数”为 f^{**} , 且 f^{**} 和 f 的定义域均为 D . 证明: 对于任意 xin D , f(x)=f^{**}(x) 当且仅当存在 yin D 满足 f(x)+f^{*}(y)=xy .

(20) ^{[3]给定 dinmathbb{N}^*, 设无穷数列 {a_n}(n=1,2,…) 严格递增且各项均为正整数. 对每个 ninmathbb{N}^*, 构造 p_n=displaystyleleft(sum_{i=a_n+1}^{a_{n+1}}a_iright)-da_{a_n}. 进而得到无穷数列 {p_n}(n=1,2,…) .}

(1) 若数列 {a_n} 是公差为 d 的等差数列, 证明: {p_n} 是常值数列.

(2) 若数列 {p_n} 同时满足下述的两条性质:

(i) 存在 P>0，使得 |p_n|leq P 对任意 ninmathbb{N}^* 都成立;

(ii) 对任意 ninmathbb{N}^*, 都存在 m>n(minmathbb{N}^*) , 满足 p_m=p_n .

求{a_n} 的通项公式.(结果用含 a_1,d,n 的代数式表示)

参考

1. ^详见随机化回答 https://www.jstor.org/stable/2283137
2. ^本题有高等背景
3. ^本题难度较大