针对数学学习的疑难之一：怎么想得到这样做？本文有：①点出推导过程的理论依据，②引入一些概念，帮助读者认识数学证明中一些常规的、可迁移的思考习惯，这是对“如何想到”的推测性的回答。本文没有：部分前置知识的索引——对于应该熟知的命题，不会具体说明。

（个人认为，②是大部分教材欠缺，但对学习数学很必要的学习内容，是大部分学习者本应掌握但并未掌握的默会知识。所以作者尝试对所谓的“常规思考习惯”作不完全归纳，分类取名为“基本尝试”或“基本处理”，指那些思路不明朗时，最常规的、辅助观察和确定思路的方法。对此如果有更好的说法和补充、更简明扼要的解释，希望在评论区热闹一下）

写在前面：

1. 特点：作者尝试提供一种详尽解释证明思路来龙去脉的学习材料，尽可能辅助读者欣赏数学证明的“严谨性”，即“严格根据条件进行推导”的特点。为了说清楚，本文可能一反数学专业精炼简洁的特点，改用细致的写法帮助理解，所以希望读者将其视为娱乐性的、感受数学思考方式的材料，有心人也可以将其用作教材解析。还是为了说清楚，本文又沾染了数学专业的逻辑性，所以如果没有理解某一句话，只需再读上文就能理解了。
2. 生造词：文中出现的生造词或心理学术语，会在原文中加入注释，并在文末给出解释。
3. 有图有文：本文原是手写的，出于提高观赏性的考虑，附上文字版。文字版的优点是整洁；手写的优点是方便加入注释，而且可以见字如面。如果精力充沛，可以结合著看。
4. 符号说明：① fin R[a,b] ——在[a,b]上黎曼可积（本文简称可积）；② gin downarrow[a,b] ——在[a,b]上单减；③ int_{a}^{b}fLeftrightarrow int_{a}^{b}f(x)dx ;④i.e.——“即”，“这就是说”；s.t.——“使得”、“满足（以下条件）”；⑤ sumlimits_{P} ——对划分P中的所有 i 求和。
5. 如果希望学习规范的数学表达，请以课本的记号和语言组织为主。

讲什么，为什么讲，怎么讲

精讲徐森林《数学分析》（2005.9 第一版）的积分第二中值定理（定理6.2.7）第一条：

fin R[a,b],gin downarrow[a,b],ggeq0Rightarrow exists xiin[a,b],s.t.int_{a}^{b} fg=g(a)int_{a}^{xi}f.

书上的证明是这样的：

问题是：如何想到引入积分上限函数？为何先讨论g(a)=0的情况？如何想到用g的振幅和来帮助放缩？如何想到将问题关键集中到积分上限函数的介值性？这些问题无法解答，或许不能说自己理解了这个证明。

本文尝试回答这些问题。下面主要分析如何通过形式的处理获得启发，以及如何分析条件。

一.如何确定思路

观察这个定理的结论部分，获得以下信息：

• 这是存在性的证明，所以证明的整体思路和书写框架，都围绕"找 xi "。存在性证明有多种，有的通过确认表达式然后指认其为所求，有的通过定理直接确认存在性（这个证明属于后者）；
• 等式中与 xi 有关的项只有 int_{a}^{xi}f ,它是比较好分离的，自然产生“分离”的基本尝试^[1]。

试将结论形式转化为： existsxi,int_{a}^{xi}f=frac{int_{a}^{b}fg}{g(a)}（注：这里属于思路探索，如此处理只为便于读者观察形式，不妨假定这个式子是有意义的）。如果将问题表征^{[2]为取值问题，那么 xi 的意义会被“还原”为一个变量的取值，也就是把问题看作：当x= xi ，成立F(x)=int_{a}^{x}f=frac{int_{a}^{b}fg}{g(a)} 。自然地，设 F(x)=int_{a}^{x}f(t)dt ，这里将F(x)表征为积分上限函数，结合 fin R[a,b] ，立即得出隐含条件： Fin C[a,b]. 于是F满足：①最值性，设其最大值M，最小值m；②介值性。由②，有如下问题转化：existsxiin[a,b],s.t.F(xi)=frac{int_{a}^{b}fg}{g(a)}Leftrightarrow frac{int_{a}^{b}fg}{g(a)}in[m,M].于是，证明思路主要围绕着不等关系 mleq frac{int_{a}^{b}fg}{g(a)}leq M.}

条件分析告一段落，下面是证明讲解。

二.证明

由于分析时我们假定了 frac{int_{a}^{b}fg}{g(a)} 有意义，而这只是g(a)≠0的子情况，所以还需要先论证子情况g(a)＝0，再接着上文思路继续分析:

g(a)=0,ggeq0,gdownarrow Rightarrow gequiv0,xin[a,b]./ Rightarrowint_{a}^{b}fg=int_{a}^{b}fcdot0=0=g(a)int_{a}^{xi}f,xiin[a,b]. 命题成立。

接下来g(a)＞0。此时frac{int_{a}^{b}fg}{g(a)} 有意义，可接续上文进入证明的主要部分。观察 mleq frac{int_{a}^{b}fg}{g(a)}leq M, 这里有两个不等式，此时的基本处理是“分治”：对于这样具有一定对称性的不等式链，考虑先证其中一个不等式，再经转化，同理推出另一个不等式。

我们先证 int_{a}^{b}fgleq Mg(a) （这里已进行“分离”）。

这个式子暂时较难提供什么提示，所以我们考虑从条件出发，试推有用的隐含条件。

观察往证（往证是“要证”的专业表达），首先可以将其表征为不等关系，所以欲将推出的隐含条件也应含有不等式；同时，式中的定积分号提示我们，应该考虑目前已学的、与定积分有关的不等式，主要是黎曼可积等价命题。那么自然想与“可积”有关的条件，题目中其实有两条：①f可积，②g单调，因而也可积。

然而仅此二条难以直接导向书中证明的思路，这使得书中证明的主要部分看起来技巧性十分浓烈。我称这类技巧性强的步骤是经验依赖性^{[3]的。经验依赖步骤的理解，通常需要看完证明、回过头反思每一步的根据后，才有可能发生。数学学习者对经验依赖步骤的学习过程是：确认正确性—记忆—猜测当时证明者的心路历程—记忆。总的来说，希望读者记忆。}

下面采用便于理解的方式讲解思路：

1、材料准备：

fin R[a,b]Rightarrowexists L>0,|f|<L./ gin downarrow[a,b]Rightarrow gin R[a,b],i.e./ forall varepsilon＞0,exists P:a=x_0<x_1<…<x_n=b,s.t./ sumlimits_{P}omega^{g}_{i}Delta x_{i}<frac{varepsilon}{L}./

2、开始：

begin{align*} int_{a}^{b}fgdx &=sumlimits_{P}int_{x_{i-1}}^{x_i}fgdx/ & =sumlimits_{P}int_{x_{i-1}}^{x_i}f[g-g(x_{i-1})]dx+sumlimits_{P}int_{x_{i-1}}^{x_i}fg(x_{i-1})dx/ &le sumlimits_{P}|f||g-g(x_{i-1})|dx+sumlimits_{P}g(x_{i-1})(F(x_i)-F(x_{i-1}))/ &le Lsumlimits_{P}omega^{g}_{i}Delta x_i+sumlimits_{i=1}^{n-1}[g(x_{i-1})-g(x_i)]F(x_i)+F(b)g(x_{n-1})~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~/ &<Lcdot frac{varepsilon}{L}+Msumlimits_{i=1}^{n}g(x_{i-1})-g(x_i)/ &=varepsilon+Mg(a). end{align*}

其中，每行分别运用：

• 区间可分可加性
• 插项
• 绝对可积性；Newton-Leibniz公式（改进后，可将条件：f(x)连续减弱为f(x)可积）
• f(x)有界；区间上任意两点函数值之差的绝对值不超过该区间的振幅（可用反证法和振幅的定义证明）；连加号展开观察的基本尝试（这也是一种“分治”），适用于出现相邻两项相减的情况
• F(x)不超过M，g(x)单减（注意，如果g单增，不等号可能不成立）

最后，令 varepsilonrightarrow0 ，有 int_{a}^{b}fgdxle Mg(a). 这正是我们想要的。于是对于另一个不等式，我们只需要将第一个放大的步骤改成缩小即可，也就是： sumlimits_{P}int_{x_{i-1}}^{x_i}f[g-g(x_{i-1})]dx+sumlimits_{P}fg(x_{i-1})dx le -sumlimits_{P}int_{x_{i-1}}^{x_i}|f||g-g(x_{i-1})|dx+sumlimits_{P}g(x_{i-1})(F(x_i)-F(x_{i-1})). 于是同理有： int_{a}^{b}fgdxge mg(a),varepsilonrightarrow0.

综上，我们证明了 mleq frac{int_{a}^{b}fg}{g(a)}leq M.

稍作整理，即是徐书的证明。希望读者能在理解的基础上记忆。

总结可迁移内容

本文大部分内容可以忘记，其中可复用、可累积、可迁移的（我认为这三个词是一个意思）内容如下：

1. 观察结论形式的基本尝试：分离；
2. 应对复杂情形的基本处理：分治；
3. “理解”的表征：①知道为何使用某个技巧②知道每一步的理论依据，即推导用了哪一条定义、定理；
4. 学数学：由记忆（重现）到学习（举一反三）。能力的提升离不开经验，以及对经验的整顿。所以要想达到熟悉和熟练，最好以机械记忆为始，以融会贯通为里程碑（没有终点线）。想不出别气馁，能理解的就透彻理解，不能理解的先记着，往后自然会理解。希望习惯、熟练数学证明的思路分析和书写风格、书写规范。

最后附上手写图

参考

1. ^“基本尝试”是作者生造的词，说的是遇到特定问题时，一种“自然而基本”的处理方式。这种“自然”是经过后天的经验得来的，而非被数学天赋者垄断，所以说这些基本尝试是可以被传授和学习的，人人可以通过练习养成。但如果数学学习者不刻意留意这些重复出现的基本处理方式，哪怕见过多次，也不能识别出来，因而无法理解思路的行进，这可能有伤学习兴趣和信心。所以特此强调，希望读者哪怕在独立证明的时候想不到这些基本的思考方式，也尽可能在阅读证明时反应、觉察到这些重复出现的处理方法。
2. ^一定程度上，问题的处理方式取决于问题被表征的方式。表征不太好理解，建议从其英文来帮助理解：representation，有“替代、代表”的意思。所以当我们说“用a表征A”时，可以通俗理解为我们用特点a（局部）来代替A（整体）。例如，我们会用“大长腿”来表征一个“腿长的人”；或者，那个腿很长的人被表征为“大长腿”。同样，对于一个具体问题，可以根据问题的某一个局部的形式、结构，将其表征为某一类问题。我们如何看待一个事情，决定我们用的什么态度应对之；同样，问题如何表征，决定解决问题的思路。
3. ^对于给定的条件，不同的主体会根据其经验产生不同的理解、做出不同的反应。给定①、②两个条件，为何引入g的振幅来帮助放缩、为何不用f的振幅，为何用f的有界性，如何想到用牛顿莱布尼兹公式……这是决策层面的问题，只有把大多数方案试过一遍的人，才会最终得出正确的方案，这是在试错中得到的，因此我认为这是人工成本较高的部分，也是证明中最精华、精彩和最值得记忆的部分。希望读者理解，这样经验依赖性的手法在数学证明中很多，数学家也许耗费数日、数月、数年才想出来的方法，读者一个下午想不出来，是正常的事情，不用气馁。作为数学学习者，我们大可将这些手法作为美学的对象，欣赏、体会其中共存的偶然与必然，以赞叹折服的姿态记忆之，最后这种严谨和果敢会成为你的气质，会是你的学过数学的烙印。