1.設a,b,c為實數. 如果對每一個正整數 n，均有 aleq b+frac{c}{n} ,證明 aleq b .

假設 a>b ,於是 0<a-bleqfrac{c}{n} .

考慮 n=left[frac{c}{a-b}right]+1 即得矛盾。

2.給定一列正整數，請說明從中一定可以找到最小的正整數.

假設不存在最小的正整數.

從這一列正整數中任取一個正整數記為 n_0 .

由假設，存在 n_1leq n_0-1 ， n_2leq n_1-1leq n_0-2 .

依次進行有限步，有 n_{n_0}leq n_0-n_0=0 ,矛盾.

3.用定義說明， A 為有界集合當且僅當 A 包含在某個閉區間中.

必要性：

設上界為 M ，下界為 m ,於是 Asubset [m,M] .

充分性：

設 Asubset[m,M] .

任取 xin A ,有 xleq M ，從而上界是 M .

類似的，下界是 m .

4.設 Asubsetmathbb{R} 為非空子集， Minmathbb{R} 為 A 的上界.如果任給正整數 n ，均存在 a_nin A ，使得 a_n>M-frac{1}{n} ，試說明 M 為 A 的上確界.對下確界有類似的結論.

任取 A 的上界 M_0 ，我們有 M_0geq a_n>M-frac{1}{n} ，於是 M_0geq M .這說明 M 為上確界.

5.設A有上確界，證明-A有下確界，且 inf(-A)=-sup A .對於下確界有類似的結論.

記A的上確界為 M ，於是存在 a_nin A 滿足 M-frac{1}{n}leq a_nleq M .

容易驗證 -M 為 -A 的下界.

又存在 b_n=-a_nin-A ,使得 -Mleq b_nleq -M+frac{1}{n} ，從而 -M 為下確界.

6.設a,b,c,d為正實數，如果 frac{a}{b}<frac{c}{d} ,證明 frac{a}{b}<frac{a+c}{b+d}<frac{c}{d} .

做差通分即可.

7.設某個班有100位同學，某次考試最高分和最低分相差10分.請估計一般分數和平均分數之間的差異.

說明：在我看來，這題並不是為瞭考察某個知識點，而是為瞭幫助才開始學習數分的同學更好的領會“分析的核心是估計”，當然這也是我個人淺薄的觀點。

不妨設最高分為10分，最低分為0分.

記第i個人的分數為 x_i ，且 x_1=0 , x_{100}=10 .

於是 |x_i-x_1|+|x_i-x_{100}|=10

且 |x_i-x_j|leq10 , forall jin{1,2,...,100} .

於是 left|x_i-frac{sum_{j=1}^{100}x_j}{100}right|leqfrac{sum_{j=1}^{100}|x_i-x_j|}{100}leq9.9

從而一般分數和平均分數的差異被控制在9.9分之內.

8.設 xin[a,b] , yin[c,d] ,證明

|x-y|leqfrac{1}{2}left[(b-a)+(d-c)+|c-a|+|d-b|right]\

事實上

begin{aligned} |x-y|&leq(max {b,d}-min{a,c})\&=frac{1}{2}left[(b-a)+(d-c)+|c-a|+|d-b|right] end{aligned}\

9.設 a,b,cinmathbb{R} ,證明

|sqrt{a^2+b^2}-sqrt{a^2+c^2}|leq|b-c|\

並求等號成立條件.

其實從幾何的角度這是容易看出來的，隻需考慮 (a,0) , (0,b)(0,c) 三個點組成的三角形即可，不過在這裡不使用這種方法。

我們有

begin{aligned} &|sqrt{a^2+b^2}-sqrt{a^2+c^2}|-|b-c|\ =&frac{|b-c||b+c|}{|sqrt{a^2+b^2}+sqrt{a^2+c^2}|}-|b-c|\leq&|b-c|(frac{|b+c|-big||b|+|c|big|}{|sqrt{a^2+b^2}+sqrt{a^2+c^2}|})\leq&0 end{aligned}\

容易看出，等號成立條件為 b=c 或者 a=0 , bcgeq0