前言

這篇文章的主要內容是一個高中物理模型“磁聚焦”的拓展，這個模型首先出現於物理競賽，隨後進入高考命題，相信大傢應該多少做過這個模型的習題，對此應該並不陌生。

本文首先回顧模型，其次探究磁聚焦成立的普遍條件，最後提出一個關於磁聚焦的一個新的有趣的問題，並應用微積分的知識進行解決。

模型復述

首先讓我復述一下模型，講的就是一個帶電粒子源經過磁場的作用過後發生偏轉，最終這些粒子平行射出。

或者逆向的，將一系列平行射出的粒子進行匯聚，使其在某一空間點發生匯聚。

模型僅僅討論二維的情況。

在我們做的高考習題中，這個磁場模型大概長成這樣：

磁聚焦

我記得非常清楚，第一次接觸到這個模型是在高一，當時我們的物理老師小熊，使用的是巧妙的幾何方法向我們進行磁聚焦證明，即隻要滿足磁場運行半徑等於磁場圓的半徑：

就能滿足磁聚焦的條件，當時就覺得很巧，覺得這個世界可真是神奇，就繼續想問這樣一個問題：這樣的磁聚焦形成方式是唯一的嗎？隻是當時限於能力，而且沒什麼時間，就把這個問題給放到一邊瞭。

之後是到瞭高三，做高考題多一些，才又做到一些題目，發現形成磁聚焦的條件果然不是唯一的，形如下圖這樣的形式也能夠實現磁聚焦的目的：

於是這時高一時候的問題又從我的腦子裡蹦瞭出來，這時候我也有一定的能力來解決這個問題瞭，所以就讓我們夢回高中，開始解決這個並不復雜但是蠻有意思的問題吧。

問題一：磁聚焦內外邊界約束

由於我們粒子在磁場中的偏轉半徑僅僅取決於荷質比，質量以及速度等參量，而與我們希望考慮的問題並不相關，所以我們簡單關註粒子在磁場中的偏轉半徑，並表示為r即可。

我們可以將我們的問題表示為：如下圖所示，二維平面內兩條連續可導曲線 f 以及 g 將空間分為三個部分，稱粒子射入的邊 f 為內邊界，稱粒子射出的邊 g 為外邊界。

中間的部分充滿勻強磁場，其餘的部分為真空，在已知粒子在磁場中的偏轉半徑 r 的時候，請問 f 與 g 應該滿足什麼樣的關系，才能夠使得從 O 點射出的粒子最終從從另一邊平行射出？

cf993d16cc0112876644edc432aea1e2任意邊界的磁聚焦

我們建立如上圖所示的平面直角坐標系，並設定從 O 點蹦出來的粒子與水平軸的夾角為 theta ，最終平行射出時與 x 軸的夾角為 alpha ，設定內外邊界上的點滿足以下條件:

結合幾何關系，我們很容易建立內外邊界相互的聯系，我們有如下的式子：

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結果說明，任意給一個內邊界，隻要給出 r ，我們都能夠通過計算得到一個外邊界使得磁聚焦成立，任意給一個外邊界，給出 r 我們都能得到一個內邊界。

也就是說能夠使得磁聚焦成立的邊界情況具有無窮解，僅僅是內外邊界的互相具有一定的約束條件。

我們高中時接觸到的情況，便可以看作是內邊界滿足以下式子的曲線，這顯然是一個以p為半徑的圓：

代入上（5）（6）式，得到：

不失其普遍性，為方便化簡，我們可以假設角度 alpha 為 0 ，即粒子最終平行x軸射出，再通過一系列化簡得到 g 的曲線表達形式：

這果然還是一個圓方程，下圖分別對應 p 不為零的情況（左）以及 p 為零的特殊情況（右）：

高中磁聚焦的兩個經典特殊情況

而這就是我們高中習題中磁聚焦的由來瞭，而各位高中同學也可以把上面兩個式子看作是一個小結論。

我們通過簡單的分析得到瞭一個樸素的答案，這個答案樸素到讓人很失望，可能有同學會說瞭：“就這就這？這能夠肉眼看出答案好嗎？能夠實現磁聚焦的內外邊界組合有無數個！”

其實我也這麼認為，在去做這個問題之前我也沒有想到就這？單純為這個結果寫一篇文章確實不太合適，所以下面我們進一步考慮一個更有意思的問題——關於均勻磁聚焦。

問題二：均勻磁聚焦

首先，我們對於均勻磁聚焦進行一個定義：我們假設從O點任意蹦出來兩個粒子，在蹦出來的時候其具有角度差 Deltabeta ，他們在經過磁聚焦出射過後平行，兩個平行粒子之間具有一定的距離 Delta l ，夾角隻要 Deltabeta 相同，距離Delta l一定相同。滿足這樣的條件的內外邊界形式就是我們感興趣的均勻磁聚焦。

這個關系的意思再翻譯一下，就是任意兩個粒子蹦出來的角度和最終兩個粒子的出射軌跡的距離成正比例關系。我們可以設這個比例常數為 n 。

對於滿足這樣的條件的磁聚焦，如果滿足粒子在 O 點蹦出來的時候是“均勻”的，即每個單位角度中分佈有相同個數的粒子，那麼看起來在出射的時候依然是是均勻的，所以稱之為均勻磁聚焦。

在滿足從O蹦出來的時候每個單位角度中分佈有相同個數的粒子的條件下，我們在高中做的習題中的磁聚焦如下圖所示，這肉眼可見：顯然是沒有那麼“均勻”的。我們甚至可以算出粒子在出射時密度最小的地方就在四分之一圓處，最大在圓的頂端與底端處。（這本身也是一個有點意思的小結論）

磁聚焦出射密度

是不是開始有點意思瞭呢？為瞭方便解決這個問題，我們加入極坐標，將f寫為極坐標下的形式:

767ad685b40ed06a57c66a1178b43536

自然的，我們還有直角坐標到極坐標的轉化式：

我們對於式（13）取微分得到：

對於式（5）兩邊取微分得到粒子在進入磁場與出磁場時候的位置微分關系：

再次看上圖，通過幾何關系建立出出射位置，和出射的軌跡之間距離的微分關系：

要滿足均勻磁聚焦的條件，隻需要考慮一個入射粒子，在從 O 點蹦出來的時候，如果角度改變瞭一個小量，出射時的位置就會改變一個小量，隻要這兩個小量的比例是一個無關與位置的常量即可滿足我們對於均勻磁聚焦的定義。

聯立（14）（15）（16）三個式子，得到從O點射出點角度和最終出射軌跡距離的微分關系，並將兩者比例設為常量n，得到：

化簡，整理，得到一個好看的一階微分方程：

解微分方程的步驟就不放出來瞭，超字數瞭，這個微分方程在高等數學教學的范疇之內是可解的，最終我們是得到瞭最終內邊界的極坐標表達式，其中 C_{0} 是在積分過程中出現的常量：

真是很漂亮！滿足以上極坐標表達式關系的內邊界才是“均勻”的。外邊界按照我們之前的討論可以由內邊界加上粒子的偏轉半徑 r 唯一確定。這樣我們的問題就得到瞭最終的解答。

這裡附上一張我當時將常數取特定值:

再利用計算器打表然後人肉作圖作出來的一張滿足均勻磁聚焦的圖像(當時的我還沒有入計算機的坑)。在作圖過程中我完全按照數據點進行打點連線，得到瞭預想中的結果，從另一方面也驗證瞭結果的正確。

這裡附上代碼供大傢測試實驗：