我们可以通过一些特殊的方法计算出某些特殊角度的三角函数值。
45°时的值:
在正方形中我们可以做出45°角并求出各边的长度分别为1,1和根号2/2,于是sin45°= frac{sqrt{2}}{2}
30°及60°的值:
通过几何手段我们可以构造出两个锐角分别为30°和60°的直角三角形并可以求出该三角形的三个边长分别为1,2和根号3,于是可求得sin30°= frac{1}{2} cos30°= frac{sqrt{3}}{2}
再通过和差化积公式我们就得到了sin15°=sin(45°-30°)= frac{left(sqrt{6} -sqrt{2}right)}{4} cos15°= frac{left(sqrt{6} +sqrt{2}right)}{4}
我们还可以通过三角函数的变换公式求得18°时的值:
sin18°3=sin54°=sin(90°-36°)=cos36°=1-2sin18°^2
设sin18°=x 于是得到如下方程:
4x^{3}+2x^{2}-3x-1=0
因式分解: (x+1)(4x^{2}-2x-1)=0
解得x=sin18°= frac{sqrt{5}-1}{4}
但是以上似乎都只是幸运,剩下的三角函数值几乎都不能利用上述方法求出了。
例如sin10°或cos10°的值,你可以用三倍角公式来建立如下的方程:
sin30°=sin3*10°=3sin10°-4sin10°^{3}=frac{1}{2}
设sin10°=x 则我们得到了如下的三次方程:
x^{3}-frac{3}{4}x+frac{1}{8}=0
先观察该三次方程的判别式:
Delta=left( frac{q}{2} right)^{2}+left( frac{p}{3} right)^{3}=left( frac{1}{16} right)^{2}+left( -frac{1}{4} right)^{3}=-frac{3}{256}<0
这表明该方程的有三个实数解,为了求出这三个解我们必须求出共轭虚根的表达式:
因为x= sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{Delta}}+sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{Delta}}=sqrt[3]{a+bi}+sqrt[3]{a-bi}
则本题中a= -frac{q}{2} = -frac{1}{16} b= sqrt{Delta}=frac{sqrt{3}}{16}
于是我们得到:
a+bi=-frac{1}{16}+frac{sqrt{3}}{16}i = =frac{1}{8}(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)=frac{1}{8}(cos120°+isin120°)
求出该复数的立方根:
x1= sqrt[3]{a+bi}=sqrt[3]{frac{1}{8}(cos120+ i sin120°)}=frac{1}{2}(cosfrac{120°}{3}+ isinfrac{120°}{3})=frac{1}{2}(cos40°+ isin40°)
根据虚根成对出现的原则,与之共轭的虚根为:
x2 =frac{1}{2}(cos40°- isin40°)
根据共轭虚根在复平面单位圆上均匀分布的原则,我们知道该方程的其他两对共轭虚根为:
x34 =frac{1}{2}(cos(40°+120°)pm isin(40°+120°)=frac{1}{2}(cos160°pm isin160°)
x56 =frac{1}{2}(cos(160°+120°)pm isin(160°+120°)=frac{1}{2}(cos280°pm isin280°)
具体分布情况如下图:
观察其中的第三对根x56:
=frac{1}{2}(cos280°pm isin280°)=frac{1}{2}(-cos(180°+100°) mp isin(180°+100°)
=frac{1}{2}(-cos100° mp isin100°)=frac{1}{2}(sin10° mp icos10°)
这对虚根的实部正是我们所需要的解:
x实数解1= 2*(frac{1}{2}(sin10° + icos10°)+frac{1}{2}(sin10° -icos10°))=sin10°
这正是我们要求的方程 x^{3}-frac{3}{4}x+frac{1}{8}=0 的解,可惜它不是一个数值,而是一个三角函数,这真是一个奇怪的现象,,,我们只能说,上帝认定我们已经会手工计算sin10°的值了。
但是仔细观察该方程,我们并没任何逻辑和计算上的错误,剩下的方法只能是用尝试法,也就是所谓的“手撕”法来求出sin10°的值了。
首先我们利用Excel表格作出该三次方程的大致的图像如下:
可以看到该方程有三个根,首先观察0附近的那个根,其大致范围如下:
也就是在0.1与0.2之间,缩小x的间距继续逼近得:
可见根的值应该在0.174~0.175之间,表格中的数据从左至右依次为x的值,函数的值,x值对应的弧度及角度值。
继续缩小x的变动范围得到如下结果:
x值在0.1736~0.1737之间,所对应的角度为80±0.003°。
查表得cos80°=0.17365=sin10°
可见这个根正是我要求的的sin10°的值,这这证明了该方程是没有问题的。同理该方程的另两个实根的值该分别是sin160°,sin40°的值,也就是sin20°和sin40°的值。
实际上数学天才拉马努金还曾经找到了一个表示cos10°的连根式如下:
cos10°=frac{1}{2sqrt{3}}left( 1+sqrt{8-sqrt{8-sqrt{8+sqrt{8-……}}}}right)
用这个公式特点是收敛快可以迅速手撕,开七次方后即可精确到小数点后4位。
另一个方法是利用万能的泰勒级数展开式来求该值,已知正弦函数的展开式为:
sinx =x-frac{x^{3}}{3!}+frac{x^{5}}{5!}-frac{x^{7}}{7!}+……
还行利用Excel表格我们计算到第3项时,把10°换算为弧度制的0.17453278代入上述就得到了sin10°=0.17364083而真值为0.173648
=0.17453278-frac{0.17453278^{3}}{3!}+frac{0.17453278^{5}}{5!}=0.17364083
并不像想象的收敛的那么慢。
结论是我们无法通过解三次方程的形式求得sin10°及cos10°的具体的实数值,而只能用近似法或级数展开法来求得。