张宇1000题知识点

函数极限与连续

1. 当xrightarrow 0时，若alpha(x)xrightarrow0，则有e^{alpha(x)(1+x)}-1sim alpha(x) ln(1+x)sim alpha(x)x ，这可以视作(1+x)^alpha-1sim alpha x的推广。
2. 当xto 0时，1-cos^alpha(x)sim frac{alpha}{2}x^2。
3. 当xto 0时，g(x)是x的n阶无穷小，f(x)是x的m阶无穷小，则int_0^{g(x)}f(t)dt是x的(m+1)n阶无穷小。
4. 积分的等价无穷小：当xto0时，若f(x)sim g(x)且psi(x)~Psi(x)，则有int_0^{psi}f(t)dtsimint_0^{Psi}g(t)dt，证明过程参见https://blog.csdn.net/weixin_45775438/article/details/124805453。
5. 若lim_{xto infty}f(x)-(ax+b)=0，则y=ax+b是f(x)的斜渐近线，进而可以求得a,b的值。
6. 需要分别考察左右极限的情形：1) 分段函数的分段点处（绝对值、取整函数） 2) e^infty型 3) arctan infty型。
7. 当出现ln f(x)-g(x)时，可以考虑写成ln f(x)/e^{g(x)}的形式进而化简。
8. lim_{xto0^+} x^x=1。
9. lim_{nto infty} sqrt[n]{a_1^n, a_2^n,…,a_m^n}=max{a_1, a_2,…,a_m}，使用夹逼准则可证明。

数列极限

1. 对于数列的递推公式a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0，若求解特征方程x^2+px+q=0有两个不同的实根r1,r2，则a_n=C_1r_1^n+C_2r_2^n。
2. 关于ln的两个重要不等式：1) frac {x}{1+x}<ln x <x 2) x-frac {x^2}{2}<ln x<x。

一元函数微分学的概念

1. 若x_0处左导数f_+^prime(x_0)和右导数f_-^prime(x_0)都存在（不要求相等），则f(x)在x_0处连续。

一元函数微分学的计算

1. 对于比较复杂的参数方程，需要求其二阶导在某点的函数值，可用frac {{rm d}^2y}{{rm d}x^2}=frac {y^{prime prime}_t cdot x^{prime}_t-y^prime_tcdot x^{primeprime}_t}{(x^{primeprime}_t)^3}

中值定理、微分等式与微分不等式

1. 对于高阶导数f^{n}(xi)的证明题，考虑泰勒公式。函数的展开点x_0选取已知导数值的点或者要证明的点，被展开点x选取已知函数值的点或者区间端点、中点。
2. 构造函数技巧：f^prime(x)+g(x)f(x)+h(x)Rightarrow F(x)=f(x)exp[int g(x){rm d}x ]+int h(x)exp[int g(x)]{rm d}x

一元函数积分学的概念与性质

1. 对于变上限积分F(x) = int_{x_0}^x f(t){rm d}t，有：1) F(x)是过定点(x_0, 0)的连续函数；2) 若x=c处f(x)连续，则F^prime(c)=f(c)，若x=c为可去间断点，则F^prime(c)=lim_{xto c}f(x)，若x=c为跳跃间断点，则不可导。
2. 如果f(x) (-infty, infty)上连续且以T为周期，则int_a^x f(t){rm d}t-frac{int_0^T f(t){rm d}t}{T}也以T为周期，即：周期函数的变上限积分减去一个周期的均值，仍然是周期函数。

一元函数积分学的计算

1. int_0^{pi/2}f(sin(x), cos(x))=int_0^{pi/2}f(cos(x),sin(x))
2. int_0^pi xf(sin x){rm d}x = frac{pi}2int_0^pi f(sin x){rm d}x
3. 上述结论可使用区间再现公式证明。