邏輯代數系統由基本公式、常用公式、基本規則三部分構成。掌握瞭這些，設計出的電路可以盡可能地簡單，減少故障幾率和元件使用；編程時，如果掌握瞭邏輯函數化簡，也能增加條件判斷式的可讀性，避免寫出垃圾代碼。

一、基本公式

正如加減乘除中存在各式運算律一樣，邏輯運算也有運算規律。本章中，我們主要考慮與、或、非運算；異或、同或的運算律可以很方便地推導出來。我們從常量的運算開始。

begin{matrix} 0+0=0,&0+1=1,&1+1=1\ 0times 0=0,&0times 1=0,&1times 1=1\ 0'=1,&1'=0 end{matrix}

以上相當於把真值表重新表達瞭一遍，比較直觀。

接下來，我們開始把式子抽象化，把其中一個常量用變量 A 代替，看看常量與變量的運算（0律與1律）：

begin{matrix} 0+A=A,&1+A=1\ 0cdot A=0,&1cdot A=A end{matrix}

這些也很好理解，隻要把常量運算公式兩兩合並就可以得到。時刻要提示自己：變量的值隻有0與1兩種情況。

最後，是變量間的運算，即基本運算律：

提示：在佈爾運算中，運算優先級是 非 > 與 > 或。

（1）交換律、結合律、分配律

這些公式基本和四則運算中的形式一樣：

begin{matrix} A+B=B+A,&Acdot B=Bcdot A\ (A+B)+C=A+(B+C),&(AB)cdot C=Acdot (BC)\ A(B+C)=AB+AC,&A+BC=(A+B)(A+C) end{matrix}

特別的分配律：由於在佈爾運算中，與運算和或運算常常處於可以互換的地位，因此，我們也有 A+BC=(A+B)(A+C) 。它和與對或的分配律非常接近，隻是“與”和“或”調換瞭而已。可以證明一下公式的正確性：

begin{aligned} (A+B)(A+C)&=Acdot A+AB+AC+BC\ &=A+AB+AC+BC\ &=A(1+B+C)+BC\ &=A+BC end{aligned}

分別用瞭：與邏輯分配律；重疊律（見（3））；與邏輯分配律逆命題；1律。

（2）還原律

A''=A

很直觀，變量兩次取反後回到它本身。和語言中的“雙重否定”是一個概念。

（3）重疊律

A+A=A,space Acdot A=A

這兩個式子比較難理解一點。但畢竟，佈爾運算與四則運算中的“加法”“乘法”不是完全一致的——如果寫成 Acup A=A,space Acap A=A ，或者A || A == A, A && A == A ，表達的意思也是一樣的。在學習邏輯運算時，有許多迷惑性的符號——比如”0”與“1”，它們並不存在大小關系，而隻是“真”與“假”的對應關系，與數字0和1無關。

（4）互補律

A+A'=1,space Acdot A'=0

因為 A 與 A’ 中有且隻有一個為1，因此可以回到1與0的運算上來理解。

（5）德·摩根定律

迎接邏輯學中最著名、最經典、最實用的定律：

(A+B)'=A'B',space (AB)'=A'+B'

它如此優美，如此簡潔地表明瞭與邏輯和或邏輯相互轉化的關系。用非常數學的話說：

或者，用實際生活中的例子——

此公式的用途之一是去括號。初學時，常常不自覺地寫出 (AB)'=A'B' 這樣的式子。但實際上，去掉帶取反的括號時，或要變與，與要變或。

還有一個用處是轉換與邏輯和或邏輯。如果在電路設計中隻能使用“或”和“非”兩種邏輯，我們也照樣能表示出與邏輯—— AB=(A'+B')' 。就比如之前提到過的，Minecraft遊戲中便隻有“或”和“非”，但能夠創造出所有邏輯元件，原理就在於此。

二、常用公式

以上公式都比較簡單，使用時局限性也比較大。所以，我們還推導出瞭一系列常用公式。它們的使用頻率要高得多（基礎公式中的德·摩根定律除外）。

註意：在之前的描述中，盡量避免瞭出現“相加”“乘積”這樣的字眼，以防造成誤會；但為瞭敘述方便，接下來會經常出現這些詞匯，它們不是一般意義上的“加法”“乘法”，請務必註意。

（1）吸收公式

A+AB=A

兩項相加，且其中一項（ A ）是另一項（ AB ）的因式時，另一項中的其他因式就被吸收瞭。

證明： A+AB=A(1+B)=A 。先提取公因式；再運用1律。

這裡一系列公式的表達都非常簡單抽象，而實際運用時，這兩項不一定會長成A與AB的樣子，但哪怕是 A(X+Y)M'+A(X+Y)(B+C'+D)M'E'F'G 這種龐大的式子，隻要眼光毒辣，也能發現公因式，並化簡成 A(X+Y)M' 。

（2）消因子公式

A+A'B=A+B

兩項相加，且其中一項（ A ）取反後是另一項（ A'B ）的因式時，另一項中的這個相反因式就被消去瞭。（不要在意“吸收”“消去”這兩個詞到底有什麼區別，隻是為瞭區分這兩個公式而已）

證明： A+A'B=(A+A')(A+B)=1cdot (A+B)=A+B 。其中提取公因式一步比較難想到，是證明過程的重點。

要註意區分吸收公式和消因子公式：一個是相同的因式，一個是相反的因式；一個直接消去兩項中較大的一項，一個僅僅去除部分因式。

（3）並項公式

AB+AB'=A

兩項相加，部分因子相等（ A ），剩下的互補（ B 與 B’ ），那麼可以合並成一項公有因子。

證明： AB+AB'=A(B+B')=Acdot 1=A 。

（4）消項公式

AB+A'C+BC=AB+A'C

這個較為復雜：三項相加，兩項中部分因子互補（ AB 中的 A 與 A'C 中的 A' ），剩下的都是第三項（ BC ）的因式（這兩項的乘積不一定要和第三項相同，隻需都是第三項的部分因式），那麼第三項可以消去。

證明：

begin{aligned} AB+A'C+BC&=AB+A'C+(A+A')BC\ &=AB+A'C+ABC+A'BC\ &=(AB+ABC)+(A'C+A'BC)\ &=AB(1+C)+A'C(1+B)\ &=AB+A'C end{aligned}

這個公式使用頻率不算很高，但它的證明用到瞭一種很有用的思想——引入冗餘項，以進行進一步簡化。可以看到，證明開頭，逆運用並項公式，創造瞭一個新的項，隨後和另外兩項分別合並。除瞭這種用法，還可以利用重疊律 A=A+A ，重復寫入一項，再和其他項化簡。這種方法很有用，但需要訓練才能掌握。

三、基本規則

何謂基本規則？很難說清楚。但大概地講，它描述瞭對等式進行恒等變形的一些方法。

（1）代入規則

將邏輯函數式中任一變量（或函數）用另一變量（或函數）替換，等式仍成立。這類似方程化簡中的“換元法”思想。

如果有方程： F(M(X,Y,Z),B,C,...)=G(M(X,Y,Z),B,C,...) ，其中 F,G,M 均表示函數，則可以設 A=M(X,Y,Z) ，從而得到 F(A,B,C,...)=G(A,B,C,...) 。

舉個例子，之前提到，常用公式不僅僅局限於兩到三個變量的運算，還可以拓展到更多變量，這可以用代入規則解釋。以消因子公式為例：如果有 (M+N)'+(M+N)XY ，則可以設 A=(M+N)',space B=XY ，把式子變形成 A+A'B ，然後運用公式。

（2）反演規則

再看看德·摩根定律： (AB)'=A'+B',space (A+B)'=A'B' ，它可以同樣通過應用代入規則，拓展到多個變量： (ABC...)'=A'+B'+C'+...,space (A+B+C+...)'=A'B'C'... 。

註意到，等式的左邊是一系列項的積或和，並進行瞭取反，而等式的右邊則是這個反函數的展開。由此，我們可以推導出化簡一個函數的反函數——或者叫反演——的規則。這個規則就是反演規則。得到函數的反演式有兩步：

• 加變乘，乘變加——對應德·摩根定律中與和或的轉換，並保證運算順序不變；
• 對每個量取反（包括變量變為反變量和0變1，1變0），但保留非單變量的非號。

比如， ((A+B)C+0)D'cdot 1 ，先變換符號： ((AB)+Ccdot0)+D'+1 ，再對變量逐個取反： ((A'B')+C'cdot1)+D+0 ，最後檢查運算順序，並通過添加去除括號調整： (A'B'+C')cdot1+D+0 。就這樣，得到瞭原函數的反演函數。

（3）對偶規則

這個規則便是之前提到的“與邏輯和或邏輯常常可以互換”的一個嚴謹定義。對偶式的得到也有兩步:

• 加變乘，乘變加，保證運算順序不變；
• 0變1，1變0。

對偶式的性質是：若兩個邏輯式 F_{1}=F_{2} 成立，則它們的對偶式 F_{1}^{D}=F_{2}^{D} 也成立。比如由於 A(B+C)=AB+AC ，通過對偶變換就可以得到 A+BC=(A+B)(A+C) 。這一套東西其實比較無聊，也沒什麼用，但挺神奇的。

對偶規則也是由德·摩根定律推導而來的，具體證明過程比較trivial，不再贅述。其實，對偶式和反演式的本質區別就是沒有瞭“對所有量取反”這一步。但為什麼要保留“對常數取反”呢？如果沒有這一步——比如， 0+A=A 的對偶等式是 1cdot A=A ；如果不對常數取反，就有 0cdot A=A ，顯然不成立。

第三、四章一開始非常難理解，總結一下公式：

• 0律： 0+A=A, space 0cdot A=0
• 1律： 1+A=1, space 1cdot A=A
• 交換律： A+B=B+A,space Acdot B=Bcdot A
• 結合律： A+(B+C)=(A+B)+C,space Acdot (BC)=(AB)cdot C
• 分配律： A(B+C)=AB+AC,space A+BC=(A+B)(A+C)
• 還原律： A''=A
• 重疊律： A+A=A,space Acdot A=A
• 互補律： A+A'=1,space Acdot A'=0
• 德·摩根定律： (AB)'=A'+B',space (A+B)'=A'B'
• 吸收公式： A+AB=A
• 消因子公式： A+A'B=A+B
• 並項公式： AB+AB'=A
• 消項公式： AB+A'C+BC=AB+A'C

為瞭加深理解，可以嘗試一下用公式化簡這些邏輯函數式。化簡要求：寫成若幹乘積項相加的形式，沒有括號，乘積項數量最少，每個乘積項中因子最少。如果思路受阻，可以隨時查看上面的公式。

1. AB(A+BC)
2. A'BC(B+C')
3. (AB+A'B'+A'B+AB')'
4. (A+B+C')(A+B+C)
5. AC+A'BC+B'C+ABC'
6. ABD+AB'CD'+AC'DE+AD
7. (A'B+AB')C+ABC+A'B'C
8. A'(C'D+CD')+BC'D+ACD'+AB'C'D
9. (A+A'C)(A+CD+D) ^[1]

參考答案：

1. AB
2. A'BC
3. 0
4. A+B
5. AB+C
6. AD+AB'C
7. C
8. CD'+C'D
9. A+CD

（感謝 @Maxwell的確良 捉蟲）

參考

1. ^題目來源：數字電路與邏輯設計，張俊濤著，清華大學出版社2017版