讲讲切比雪夫定理
前面讲了大数定理，讲了中心极限定理，有读者留言让讲讲切比雪夫定理，安排。这一篇就来讲讲切比雪夫定理。
在讲切比雪夫定理之前，我们先看下切比雪夫不等式：
其中P表示概率，X是随机变量，μ是期望，k是常数，σ是标准差，整个公式表示距离期望μ越远的值出现的概率是越小的。
再拿正态分布这张图来感受下，大部分值都是分布在均值附近的，离均值越远的值是越少的，对应出现的概率也就越低。
关于不等式的证明，我们就不证明了，有兴趣的同学可以去了解下，我们直接拿来用就好。
看完不了不等式，我们再来看定理，其实是一回事的，切比雪夫定理表示：
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：
所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于均值±2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于均值±3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于均值±5个标准差范围内。
拿前面的正态分布为例，在均值±2个标准差范围内的数据约占到全部的95%。
我们来模拟生成两个不同分布(正态&非正态)的数据验证下：
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
#生成正态数据
norm_data = np.random.randn(1,990)
#生成非正态数据
x = np.arange(0.01,1,0.001)
long_data = 1/x
data = pd.DataFrame({"norm_data":norm_data.reshape(990,),"long_data":long_data})
#绘制概率分布图
plt.figure(figsize = (8,8))
plt.subplot(221)
sns.distplot(data["norm_data"])
plt.subplot(222)
sns.distplot(data["long_data"])
#将正态&非正态数据按照标准差进行切分
norm_data_std_bin = [-np.inf
,data["norm_data"].mean() - 3*data["norm_data"].std()
,data["norm_data"].mean() - 2*data["norm_data"].std()
,data["norm_data"].mean() - 1*data["norm_data"].std()
,data["norm_data"].mean()
,data["norm_data"].mean() + 1*data["norm_data"].std()
,data["norm_data"].mean() + 2*data["norm_data"].std()
,data["norm_data"].mean() + 3*data["norm_data"].std()
,np.inf]
long_data_std_bin = [-np.inf
,data["long_data"].mean() - 3*data["long_data"].std()
,data["long_data"].mean() - 2*data["long_data"].std()
,data["long_data"].mean() - 1*data["long_data"].std()
,data["long_data"].mean()
,data["long_data"].mean() + 1*data["long_data"].std()
,data["long_data"].mean() + 2*data["long_data"].std()
,data["long_data"].mean() + 3*data["long_data"].std()
,np.inf]
data["norm_data_cut"] = pd.cut(data["norm_data"],bins = norm_data_std_bin)
data["long_data_cut"] = pd.cut(data["long_data"],bins = long_data_std_bin)
plt.subplot(223)
(data["norm_data_cut"].value_counts().sort_index()/data["norm_data_cut"].count()).plot(kind = "bar",rot = 30)
plt.xticks(np.arange(0,8),["[-inf,u-3σ]","[u-3σ,u-2σ]","[u-2σ,u-σ]","[u-σ,u]","[u,u+σ]","[u+σ,u+2σ]","[u+2σ,u+3σ]","[u+3σ,+inf]"])
plt.subplot(224)
(data["long_data_cut"].value_counts().sort_index()/data["long_data_cut"].count()).plot(kind = "bar",rot = 30)
plt.xticks(np.arange(0,8),["[-inf,u-3σ]","[u-3σ,u-2σ]","[u-2σ,u-σ]","[u-σ,u]","[u,u+σ]","[u+σ,u+2σ]","[u+2σ,u+3σ]","[u+3σ,+inf]"])
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