实数的“三个性质”理论

实数集的特殊之处 ：不可列性、连续性、完备性

——无理数是特殊的代数式概念

什么是实数？

实数是与虚数相对而言的。实数是有理数和无理数的总称。

实数集是实数系列所有密不可分的数点的集合，其元素数是不可数的；因此实数集合，又称实数系。实数的组合排列，又称实数系列。

实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系列的连续性定理，这些定理分别是确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆蓋定理、聚点定理、致密性定理和柯西收敛准则，共七个定理。它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具；在微积分学的各个定理中处于基础的地位。

七个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立，这就涉及实数理论了，在不同的书中因为出发点不同，引进方式也不同，但都可以证明7个定理中的一个成立，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。

实数定理是从哪里来的？

实数定理，是人们在认识与分析实数 系列 时，总结出来的基本规则和方式、方法。它是对自然数列的认识和分析时，得出的公理、基本原理的扩展与延伸；因而有别于、同样又适用于自然数列。

实数有何特殊？

人们所已知的 “数” 的范畴，是逐渐扩张与复杂化的。从幼儿园掰著指头数 “1，2，3，…”（自然数集 N），到小学认识了分数与负数（扩张为有理数集 Q），到第一次认识 “无限不循环” 的无理数 π（扩张为实数 R），以至于虚数单位的引入（扩张为复数 C）…… 我们所认知到的数的形式越来越复杂，也越来越完善。这种从简到繁的认识过程，似乎十分符合自然规律。

自然数或者整数的概念，对于学会“数”数的人们而言，似乎是浑然天成的；几乎曾在地球上出现过的大多数重要文明，都独立自主的掌握了有关于自然数的概念。有理数略显复杂，但若是把所有有理数都看成两个整数之比，则其也无非是自然数这一概念的延伸罢了。

唯独由之更进一步的实数（更本质的说是实数中不是有理数的那一部分，即无理数），却并不那样显然；尽管可以举出像 √2、π、e 之类的数确实不能表示成两个整数之比，但对于是否有更多这样的数，它们又具有怎样的特性，并不清楚。

那么，实数系特殊在哪里呢？它恰就特殊在其中出现了一种新的数 “无理数”，而这一类数与整数之间的关系并不显然。这一点，可以从几方面来考虑。

第一点，实数与整数不在一个量级上。也就是说，无法在整数（或者说有理数）与实数之间建立一个一对一的映射。用集合势的观点来说，就是2R∼2N，也即实数集和整数集的幂集是等势的，而任何一个集合的幂集的势一定比它自己的势高，因而实数的集合势高于整数的集合势。

这里再简单介绍一下集合势的观点（如果已经熟知集合势观的一些集合，并且存在双射:→ϕ:A→B 使得A与B这两个无穷集合中的元素可以一一对应起来，那么就称集合A与B是等势的，也可以说这两个集合是对等的，记作 A∼B。例如，自然数集N与自己的子集正奇数集 2n+1是对等的，只要令自然数集中的n对应于正奇数集中的2n+1即可；同样的，自然数集也可以与正偶数集对等。这就是数学中的 “部分等于整体”，出现这种状况的原因在于对于无穷集合我们已经不能用其元素的 “数量” 来衡量，只能通过一一对应的方法，来比较两个无穷集合的元素的 “多少”。

既然前面举的两个例子中，所有的无穷集合（自然数集，正奇数集，正偶数集）都是等势的，那么会不会所有的无穷集合都是等势的呢？如果是这样，便不必讨论集合势了。现在可以举出一个例子：实数集与自然数集不能对等。换句话说，自然数集可以一个一个的列出来（可以按 1,2,3，… 列出来，也可以按 2,1,4,3，… 列出来等等，但总之你一定可以一个一个的列出来），而实数则多到不能够按顺序一个一个列出来。 如果你将实数列了一张表，上面一定有遗漏，而且遗漏的数量远比列出来的多。

除此以外，还有以下几个结论成立：①实数集上的任意一段有长度的区间 (a,b) 中的数所构成的集合与实数集是对等的；（这意味着即使是实数集中很小的一段也比整个有理数集的点要 “多”）②任何一个集合的幂集的势一定比它自己的势高，这意味着对于任何一个无穷集，我们可以通过取幂集的方式获得比其所含元素更 “多” 的无穷集，因而也就不存在一个集合势最高的无穷集合；③有理数集和自然数集是等势的，而无理数集和实数集是等势的。前一个结论意味着可以通过一种方法将有理数一个一个列出来，使得任何一个有理数都将出现在这列数中；从而自然数集和有理数集的元素是 “一样多” 的。 而后一个结论则是：无理数比有理数要 “多得多”。

这里就不再一一论述这些命题的正确性了，有关集合势的完整理论，可以在任何一本实变函数论的教材第一章找到，在这里仅仅是对有关于实数集的相关部分做了一个简单说明。

总之可以看到，实数集是一个比有理数更加复杂的结构；实数不能与有理数建立双射，这也就意味着不能像用整数之比表示有理数那样，直接用“数”数的方式而“神造”的整数构造有理数；因为仅通过整数的有限种运算组合出来的数，一定仍然与整数集等势。（不妨想想为什么呢？）

第二点，实数比有理数更加 “稠密”，更加 “连续”。

这里给“稠密”与“连续”两个词，打上了引号，因为这两种性质在数学中都有明确的定义，不过我这里只是比较直观的解释一下，因而先暂且将它们混为一谈。不妨想一想，整数和有理数谁更稠密？答案当然是有理数，因为可以挑出两个相邻的整数（如 n与n+1），在它们之间找不出另一个整数；而在有理数中做不到，任何两个有理数之间都还存在着有理数，原因是如果a<b是两个有理数，那么显然在它们之间还有一个有理数(如，1/100＜1/10，1/100＜2/100＜1/10)而这种过程可以不断进行下去。 整数与有理数关于 “稠密” 这一性质的差异，有如旷野上稀稀拉拉的游人与著名景点节假日游客的 “人山人海” 之间的差异（有理数事实上比 “人山人海” 更进一步，因为即使是人海之中，也必然有相邻的概念）。

实数与有理数相比，又是谁更加 “稠密” 呢？显然，用之前的方法，实数集也满足所谓 “稠密” 的定义（这一点是显然的，毕竟有 ⊂Q⊂R）；甚至把所有的有理数从实数集合中排除掉，只剩下无理数，也是满足这一 “稠密” 的要求的。那么是不是由此就可以判断，有理数集和实数集都同等稠密了呢？显然不是。

简单一点说，像之前所提到的√2、π、e 等无理数，并不被 “稠密” 的有理数集所囊括 。 换句话说，有理数这张 “渔网” 是有洞的，而且处处有洞（可以回想所谓的 “无限不循环小数” 是如何实现的）。那么，能不能把这个洞补上呢？比如可以做这样一个假设：如果把有理数集看成一个直线上的点集，为了补上这个点集中到处存在着的空隙，我们能不能通过添加更多的点来把空隙补满呢？答案当然是否定的，因为无理数集（也就是我们所说的空隙）是不可数的； 不能与自然数集对等；无法将其中的点一个一个列出来，自然也不可能通过向有理数集中一个一个 “修修补补” 的方法，把这些空隙填上。

这里可以看到，有理数集向实数集拓张的过程中，发生了巨大的 “转变”，这种转变比一般想象的还要剧烈。

自然数集的 “无穷” 与实数集的 “无穷”，这里显然出现了一个问题： 与实数集比起来，有理数集并没有那样稠密。实数集似乎有着比 “每两个点中都有无穷多个点” 更深刻、更高级的性质，使得它成为了一个连续的点集，而我们对于有理数集则未必可以说它是连续的。

连续性是实数集最重要的性质，也是它与看似稠密的有理数集最大的区别。

第三点，有理数集对于极限运算是不封闭的，而实数集则对极限运算封闭。

当说某个数集对于某种运算封闭的时候，是指对于该数集中的任意一些数，经过该运算后得到的数仍在该数集中。例如，自然数集 N 对于加法运算是封闭的（因为a,b∈N,a+b∈N），而对于减法则不封闭（比如1∈N,2∈N,1−2=−1∉N）。有理数集Q对于加减乘除四种运算都是封闭的，在数学上把具有这种性质的数系（数系包括数集和其上的运算）称为数域。很显然，实数集“R”，也是一个数域。

既然有理数集，对于加减乘除四种运算都是封闭的，那么无理数是怎么来的？是天上掉下来的吗？

数列{an=(1+1/n)n} 中的每一项都是有理数（这是显然的），但它却收敛到一个无理数 ； 或者说，它并不收敛于任何一个有理数。如果把极限看成一种对于有理数列的运算，那么这种运算对于有理数集是不封闭的。相反，实数中的任何一个收敛数列，却都一定收敛到实数集以内，不会出现 “超实数”之类的更高级的数（也就是空隙）。这是有理数集与实数集最重要的差异之一；换句话说，实数集是完备的。

实数集相对于有理数集（自然数集、整数集）的三大特殊之处 ：不可列性、连续性、完备性。这三个性质非常的重要，但却往往为大家所忽视。 当然，从另一个角度说，这些性质似乎与日常生活关系不大，毕竟生活中能接触到的，不是实打实的有理数（自然数，简单分数），就是用于逼近无理数的有理数（√2≈1.414，π≈3.14），“无限不循环小数” 终归只是理论上的结果。 但正是这些看起来不可思议的结果，为整个数学学科的严谨化和正式化迈出了重要的一步。

当今许多关乎整个数学最基础依据的公理系统、命题定理，其构造理论与证明方法，都与实数系统的理论有着密不可分的关系。这一点，下面将会慢慢提到。

最后，还要说明一点：上面所提到三个特殊之处，其实本质是相同的，甚至可以说就是一条性质；就是这 一条，决定了实数之所以谓为实数的性质。