实数集的特殊之处 :不可列性、连续性、完备性
——无理数是特殊的代数式概念
什么是实数?
实数是与虚数相对而言的。实数是有理数和无理数的总称。
实数集是实数系列所有密不可分的数点的集合,其元素数是不可数的;因此实数集合,又称实数系。实数的组合排列,又称实数系列。
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系列的连续性定理,这些定理分别是确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆蓋定理、聚点定理、致密性定理和柯西收敛准则,共七个定理。它们彼此等价,以不同的形式刻画了实数的连续性,它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具;在微积分学的各个定理中处于基础的地位。
七个基本定理的相互等价不能说明它们都成立,只能说明它们同时成立或同时不成立,这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立,从而说明它们同时都成立,这就涉及实数理论了,在不同的书中因为出发点不同,引进方式也不同,但都可以证明7个定理中的一个成立,以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现,但这7个定理是教学中常见的基本定理。
实数定理是从哪里来的?
实数定理,是人们在认识与分析实数 系列 时,总结出来的基本规则和方式、方法。它是对自然数列的认识和分析时,得出的公理、基本原理的扩展与延伸;因而有别于、同样又适用于自然数列。
人们所已知的 “数” 的范畴,是逐渐扩张与复杂化的。从幼儿园掰著指头数 “1,2,3,…”(自然数集 N),到小学认识了分数与负数(扩张为有理数集 Q),到第一次认识 “无限不循环” 的无理数 π(扩张为实数 R),以至于虚数单位的引入(扩张为复数 C)…… 我们所认知到的数的形式越来越复杂,也越来越完善。这种从简到繁的认识过程,似乎十分符合自然规律。
自然数或者整数的概念,对于学会“数”数的人们而言,似乎是浑然天成的;几乎曾在地球上出现过的大多数重要文明,都独立自主的掌握了有关于自然数的概念。有理数略显复杂,但若是把所有有理数都看成两个整数之比,则其也无非是自然数这一概念的延伸罢了。
唯独由之更进一步的实数(更本质的说是实数中不是有理数的那一部分,即无理数),却并不那样显然;尽管可以举出像 √2、π、e 之类的数确实不能表示成两个整数之比,但对于是否有更多这样的数,它们又具有怎样的特性,并不清楚。
那么,实数系特殊在哪里呢?它恰就特殊在其中出现了一种新的数 “无理数”,而这一类数与整数之间的关系并不显然。这一点,可以从几方面来考虑。
第一点,实数与整数不在一个量级上。也就是说,无法在整数(或者说有理数)与实数之间建立一个一对一的映射。用集合势的观点来说,就是2R∼2N,也即实数集和整数集的幂集是等势的,而任何一个集合的幂集的势一定比它自己的势高,因而实数的集合势高于整数的集合势。
这里再简单介绍一下集合势的观点(如果已经熟知集合势观的一些集合,并且存在双射:→ϕ:A→B 使得A与B这两个无穷集合中的元素可以一一对应起来,那么就称集合A与B是等势的,也可以说这两个集合是对等的,记作 A∼B。例如,自然数集N与自己的子集正奇数集 2n+1是对等的,只要令自然数集中的n对应于正奇数集中的2n+1即可;同样的,自然数集也可以与正偶数集对等。这就是数学中的 “部分等于整体”,出现这种状况的原因在于对于无穷集合我们已经不能用其元素的 “数量” 来衡量,只能通过一一对应的方法,来比较两个无穷集合的元素的 “多少”。
既然前面举的两个例子中,所有的无穷集合(自然数集,正奇数集,正偶数集)都是等势的,那么会不会所有的无穷集合都是等势的呢?如果是这样,便不必讨论集合势了。现在可以举出一个例子:实数集与自然数集不能对等。换句话说,自然数集可以一个一个的列出来(可以按 1,2,3,… 列出来,也可以按 2,1,4,3,… 列出来等等,但总之你一定可以一个一个的列出来),而实数则多到不能够按顺序一个一个列出来。 如果你将实数列了一张表,上面一定有遗漏,而且遗漏的数量远比列出来的多。
除此以外,还有以下几个结论成立:①实数集上的任意一段有长度的区间 (a,b) 中的数所构成的集合与实数集是对等的;(这意味着即使是实数集中很小的一段也比整个有理数集的点要 “多”)②任何一个集合的幂集的势一定比它自己的势高,这意味着对于任何一个无穷集,我们可以通过取幂集的方式获得比其所含元素更 “多” 的无穷集,因而也就不存在一个集合势最高的无穷集合;③有理数集和自然数集是等势的,而无理数集和实数集是等势的。前一个结论意味着可以通过一种方法将有理数一个一个列出来,使得任何一个有理数都将出现在这列数中;从而自然数集和有理数集的元素是 “一样多” 的。 而后一个结论则是:无理数比有理数要 “多得多”。
这里就不再一一论述这些命题的正确性了,有关集合势的完整理论,可以在任何一本实变函数论的教材第一章找到,在这里仅仅是对有关于实数集的相关部分做了一个简单说明。
总之可以看到,实数集是一个比有理数更加复杂的结构;实数不能与有理数建立双射,这也就意味着不能像用整数之比表示有理数那样,直接用“数”数的方式而“神造”的整数构造有理数;因为仅通过整数的有限种运算组合出来的数,一定仍然与整数集等势。(不妨想想为什么呢?)
第二点,实数比有理数更加 “稠密”,更加 “连续”。
这里给“稠密”与“连续”两个词,打上了引号,因为这两种性质在数学中都有明确的定义,不过我这里只是比较直观的解释一下,因而先暂且将它们混为一谈。不妨想一想,整数和有理数谁更稠密?答案当然是有理数,因为可以挑出两个相邻的整数(如 n与n+1),在它们之间找不出另一个整数;而在有理数中做不到,任何两个有理数之间都还存在着有理数,原因是如果a<b是两个有理数,那么显然在它们之间还有一个有理数(如,1/100<1/10,1/100<2/100<1/10)而这种过程可以不断进行下去。 整数与有理数关于 “稠密” 这一性质的差异,有如旷野上稀稀拉拉的游人与著名景点节假日游客的 “人山人海” 之间的差异(有理数事实上比 “人山人海” 更进一步,因为即使是人海之中,也必然有相邻的概念)。
实数与有理数相比,又是谁更加 “稠密” 呢?显然,用之前的方法,实数集也满足所谓 “稠密” 的定义(这一点是显然的,毕竟有 ⊂Q⊂R);甚至把所有的有理数从实数集合中排除掉,只剩下无理数,也是满足这一 “稠密” 的要求的。那么是不是由此就可以判断,有理数集和实数集都同等稠密了呢?显然不是。
简单一点说,像之前所提到的√2、π、e 等无理数,并不被 “稠密” 的有理数集所囊括 。 换句话说,有理数这张 “渔网” 是有洞的,而且处处有洞(可以回想所谓的 “无限不循环小数” 是如何实现的)。那么,能不能把这个洞补上呢?比如可以做这样一个假设:如果把有理数集看成一个直线上的点集,为了补上这个点集中到处存在着的空隙,我们能不能通过添加更多的点来把空隙补满呢?答案当然是否定的,因为无理数集(也就是我们所说的空隙)是不可数的; 不能与自然数集对等;无法将其中的点一个一个列出来,自然也不可能通过向有理数集中一个一个 “修修补补” 的方法,把这些空隙填上。
这里可以看到,有理数集向实数集拓张的过程中,发生了巨大的 “转变”,这种转变比一般想象的还要剧烈。
自然数集的 “无穷” 与实数集的 “无穷”,这里显然出现了一个问题: 与实数集比起来,有理数集并没有那样稠密。实数集似乎有着比 “每两个点中都有无穷多个点” 更深刻、更高级的性质,使得它成为了一个连续的点集,而我们对于有理数集则未必可以说它是连续的。
连续性是实数集最重要的性质,也是它与看似稠密的有理数集最大的区别。
第三点,有理数集对于极限运算是不封闭的,而实数集则对极限运算封闭。
当说某个数集对于某种运算封闭的时候,是指对于该数集中的任意一些数,经过该运算后得到的数仍在该数集中。例如,自然数集 N 对于加法运算是封闭的(因为a,b∈N,a+b∈N),而对于减法则不封闭(比如1∈N,2∈N,1−2=−1∉N)。有理数集Q对于加减乘除四种运算都是封闭的,在数学上把具有这种性质的数系(数系包括数集和其上的运算)称为数域。很显然,实数集“R”,也是一个数域。
既然有理数集,对于加减乘除四种运算都是封闭的,那么无理数是怎么来的?是天上掉下来的吗?
数列{an=(1+1/n)n} 中的每一项都是有理数(这是显然的),但它却收敛到一个无理数 ; 或者说,它并不收敛于任何一个有理数。如果把极限看成一种对于有理数列的运算,那么这种运算对于有理数集是不封闭的。相反,实数中的任何一个收敛数列,却都一定收敛到实数集以内,不会出现 “超实数”之类的更高级的数(也就是空隙)。这是有理数集与实数集最重要的差异之一;换句话说,实数集是完备的。
实数集相对于有理数集(自然数集、整数集)的三大特殊之处 :不可列性、连续性、完备性。这三个性质非常的重要,但却往往为大家所忽视。 当然,从另一个角度说,这些性质似乎与日常生活关系不大,毕竟生活中能接触到的,不是实打实的有理数(自然数,简单分数),就是用于逼近无理数的有理数(√2≈1.414,π≈3.14),“无限不循环小数” 终归只是理论上的结果。 但正是这些看起来不可思议的结果,为整个数学学科的严谨化和正式化迈出了重要的一步。
当今许多关乎整个数学最基础依据的公理系统、命题定理,其构造理论与证明方法,都与实数系统的理论有着密不可分的关系。这一点,下面将会慢慢提到。
最后,还要说明一点:上面所提到三个特殊之处,其实本质是相同的,甚至可以说就是一条性质;就是这 一条,决定了实数之所以谓为实数的性质。
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