一、培根铸魂：二次函数的定义：

一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 y=ax^{2}+bx+c (a，b，c为常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.

理解二次函数定义，注意这样三点要点，只有三个条件同时满足时，才能判定是二次函数：

1、 ax^{2}+bx+c 为整式；

2、自变量的最高次数是2；

3、二次项系数a≠0.

二、培根铸魂：观察二次函数的图象得函数性质

1、b=0，c=0： y=ax^{2}

（1）形状：图象呈抛物线 形状；

（2）开口方向：

①a>0，图象开口 向上 ；

②图象开口向下，a<0

注：a值的正负看开口方向！

（3）开口大小：

①当a>0时，a越大，抛物线的开口越小 ；

②当a<0时，a越小，抛物线的开口越小；

③|a|越大，抛物线的开口越小 .

④|a|相同时，抛物线的开口大小相同，图形全等；

注：|a|的大小看开口大小.

（4）对称性：

轴对称图形，对称轴是 y轴或x=0直线 ；

（5）顶点：

坐标（0，0）；

（6）图象与y轴交点：（0，0）

（7）图象与x轴交点：（0，0）

（8）增减性：

①若a>0时，当x>0 时，即在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x <0 时，即在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小;

②若a<0时，当x<0 时，即在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；当x>0 时，即在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；

（9）y最值问题：

①当a>0 时，y有最小值，当x=0，最小值是y= 0

②当a <0 时，y有最大值，当x=0，最大值是y=0

（10）与 y=ax^{2} 对称的函数图象表达式：

①关于x轴对称的函数图象表达式： y=-ax^{2}

即两个函数的二次项系数是互为相反数 时，两个函数关于x轴对称；

②关于y轴对称的函数图象表达式： y=ax^{2}

本身是关于y轴对称.

③关于原点对称的函数图象表达式： y=-ax^{2}

2、b=0，c≠0 : y=ax^{2}+c

（1）形状：图象呈抛物线 形状；

（2）开口方向：

①a>0，图象开口 向上 ；

②图象开口向下，a <0 ；

注：a值的正负看开口方向

（3）开口大小：

①当a>0时，a越大，抛物线的开口越小 ；

②当a<0时，a越小，抛物线的开口越小；

③|a|越大，抛物线的开口越小；

④|a|相同时，抛物线的开口大小相同，图形全等；

注：|a|的大小看开口大小

（4）对称性：

轴对称图形，对称轴是 y轴或x=0直线 ；

（5）顶点：

坐标（0，c）；

（6）图象与y轴交点：（0，c）

C的正负看图象与y轴的交点，交于y轴正半轴，c为正，交于y轴负半轴，c为负.

（7）图象与x轴交点：无交点

（8）增减性：

①若a>0时，当x>0 时，即在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x <0 时，即在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小;

②若a<0时，当x<0 时，即在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；当x>0 时，即在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；

（9）y的最值问题：

①当a>0 时，y有最小值，当x=0，最小值是y=c

②当a <0 时，y有最大值，当x=0，最大值是y=c

（10）与y y=ax^{2}+c 对称的函数：

①关于x轴对称的函数图象表达式：y=-ax^{2}-c

②关于y轴对称的函数图象表达式： y=ax^{2}+c

本身是关于y轴对称.

③关于原点对称的函数图象表达式： y=-ax^{2}-c

3、b≠0，c=0 : y=ax^{2}+bx

（1）形状：图象呈抛物线 形状；

（2）开口方向：

①a>0，图象开口 向上 ；

②图象开口向下，a <0 ；

注：a值的正负看开口方向

（3）开口大小：

①当a>0时，a越大，抛物线的开口越小 ；

②当a<0时，a越小，抛物线的开口越小；

③|a|越大，抛物线的开口越小；

④|a|相同时，抛物线的开口大小相同，图形全等；

注：|a|的大小看开口大小

（4）对称性：

轴对称图形，对称轴是 x=-frac{b}{2a} 直线 ；

（5）顶点：

顶点坐标是 (-frac{b}{2a},-frac{b^{2}}{4a}) ；

（6）图象与y轴交点：（0，0）

C的正负看图象与y轴的交点，交于原点c为0.

（7）图象与x轴交点：（0，0）、

-frac{b}{a} ,0）

（8）增减性：

①若a>0时，当 x>-frac{b}{2a} 时，即在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当 x<-frac{b}{2a} 时，即在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小;

②若a<0时，当 x<-frac{b}{2a} 时，即在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；当 x>-frac{b}{2a} )时，即在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；

（9）函数的最值问题：

①当a>0 时，y有最小值，当 x=-frac{b}{2a} ，最小值是 y=-frac{b^{2}}{4a}

②当a <0 时，y有最大值，当 x=-frac{b}{2a} ，最大值是 y=-frac{b^{2}}{4a}

（10）与 y=ax^{2}+bx 对称的函数：

①关于x轴对称的函数图象表达式： y=-ax^{2}-bx

②关于y轴对称的函数图象表达式： y=ax^{2}-bx

本身是关于y轴对称.

③关于原点对称的函数图象表达式： y=-ax^{2}+bx

（11）b值正负的判定

一看对称轴位置，二看a值正负，规律是：

当a，b同号时，对称轴在y轴左侧；当a，b异号时，对称轴在y轴右侧；

当b=0，对称轴是y轴.

口诀是：左同右异 ，中为0.

4、a≠0，b≠0，c≠0: y=ax^{2}+bx+c

（1）形状：图象呈抛物线 形状；

（2）开口方向：

①a>0，图象开口向上 ；

②图象开口向下，a <0 ；

注：a值的正负看开口方向

（3）开口大小：

①当a>0时，a越大，抛物线的开口越小 ；

②当a<0时，a越小，抛物线的开口越小；

③|a|越大，抛物线的开口越小；

④|a|相同时，抛物线的开口大小相同，图形全等；

注：|a|的大小看开口大小

（4） y=ax^{2}+bx+c 化成顶点式为

y=a(x+frac{b}{2a})^{2}+frac{4ac-b^{2}}{4a} ；

（5）顶点：

顶点坐标是 (-frac{b}{2a},frac{4ac-b^{2}}{4a})

如果已知函数图象的顶点坐标，利用待定系数法求函数表达式时，可以设这个函数的顶点式，然后再找一个点的坐标即可求出函数的表达式.

（6）对称性：轴对称图形，对称轴是 x=-frac{b}{2a} 直线 ；

（7）图象与y轴交点：（0，c）

C的正负看图象与y轴的交点，交于y轴正半轴，c为正，交于y轴负半轴，c为负.

（8） ax^{2}+bx+c=0 （a≠0）一元二次方程实数根的情况：

①当 b^{2}-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根： x_{1}=frac{-b-sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

， x_{2}=frac{-b+sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

；

②当 b^{2}-4ac=0 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根： x_{1}=x_{2}=-frac{b}{2a}

③当 b^{2}-4ac<0 时，一元二次方程没有实数根.

（9） y=ax^{2}+bx+c 图象与x轴交点：

①当 b^{2}-4ac>0 时，图象与x轴有两个交点：

（ frac{-b-sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ,0）,( frac{-b+sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ,0)

②当 b^{2}-4ac=0 时，图象与x轴有一个交点：（ -b/(2a) ,0）

③当 b^{2}-4ac<0 时，图象与x轴没有交点.

（10）二次函数 y=ax^{2}+bx+c 的交点式：

①若二次函数图象与x轴有两个交点( x_{1} ,0),( x_{2} ,0)，交点式为 y=a(x-x_{1})(x-x_{2}) ；

②若二次函数图象与x轴只有一个交点( x_{1} ,0)，交点式为 y=a(x-x_{1})^{2}

如果已知二次函数图象与x轴的交点坐标，利用待定系数法求函数表达式时，可以先设这个函数的交点式，然后再找一个点的坐标即可.

（11）增减性：

①若a>0时，当 x>-frac{b}{2a} 时，即在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x<-frac{b}{2a} 时，即在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小;

②若a<0时，当 x<-frac{b}{2a} 时，即在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；当 x>-frac{b}{2a} 时，即在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；

（12）函数的最值问题：

①当a>0 时，y有最小值，当x= -frac{b}{2a} ，最小值是 y=frac{4ac-b^{2}}{4a}

②当a <0 时，y有最大值，当x= -frac{b}{2a} ，最大值是y=frac{4ac-b^{2}}{4a}

（13）当x有取值范围m≤x≤n时的函数的最值问题：

首先要考虑对称轴与这个取值范围的位置关系，然后结合函数的增减性来判断函数的最值问题.

例如当a>0时，

①当n≤ -frac{b}{2a} 时，即对称轴在这个取值范围的右侧时，当x=m时，得到函数的最大值，当x=n时，得到函数的最小值；

②当m≤ -frac{b}{2a} ≤n时，最小值时当x= -frac{b}{2a} 时的函数值y= frac{4ac-b^{2}}{4a}

，即顶点的纵坐标,最大值是当x取m或n中的一个值时的函数值；

③当 -frac{b}{2a} ≤m，即对称轴在这个取值范围的左侧时，当x=m时，得到函数的最小值，当x=n时，得到函数的最大值.

例如当a<0时，

①当n≤ -frac{b}{2a} 时，即对称轴在这个取值范围的右侧时，当x=n时，得到函数的最大值，当x=m时，得到函数的最小值；

②当m≤ -frac{b}{2a} ≤n时，最大值时当x= -frac{b}{2a} 时的函数值 y=frac{4ac-b^{2}}{4a}

，即顶点的纵坐标，最小值是当x取m或n中的一个值时的函数值；

③当 -frac{b}{2a} ≤m，即对称轴在这个取值范围的左侧时，当x=m时，得到函数的最大值，当x=n时，得到函数的最小值.

（14）与 y=a(x+frac{b}{2a})^{2}+frac{4ac-b^{2}}{4a} 对称的函数表达式：

①关于x轴对称的函数图象表达式： y=-a(x+frac{b}{2a})^{2}-frac{4ac-b^{2}}{4a}

②关于y轴对称的函数图象表达式： y=a(x-frac{b}{2a})^{2}+frac{4ac-b^{2}}{4a}

③关于原点对称的函数图象表达式： y=-a(x-frac{b}{2a})^{2}-frac{4ac-b^{2}}{4a}

④关于顶点对称的函数图象表达式： y=-a(x+frac{b}{2a})^{2}+frac{4ac-b^{2}}{4a}

⑤关于点（p，q）对称的函数表达式： y=-a(x-frac{b}{2a}-2p)^{2}+2q-frac{4ac-b^{2}}{4a}

（15）与 y=ax^{2}+bx+c 的图象对称的函数：

①关于x轴对称的函数图象表达式： y=-ax^{2}-bx-c

②关于y轴对称的函数图象表达式： y=ax^{2}-bx+c

③关于原点对称的函数图象表达式： y=-ax^{2}+bx-c

④关于顶点对称的函数图象表达式： y=-ax^{2}-bx+c

（16）b值正负的判定

一看对称轴位置，二看a值正负，规律是：

当a，b同号时，对称轴在y轴左侧；当a，b异号时，对称轴在y轴右侧；

当b=0，对称轴是y轴.

口诀是：左同右异 ，中为0.

（17）函数平移：

①方法一：把二次函数化成顶点式 y=a(x+frac{b}{2a})^{2}+frac{4ac-b^{2}}{4a} ，再探索图象平移会好理解一些，口诀是：

左右平移看括号，加左减右忘不了；

上下平移看末梢，加上减下要记牢！

例如沿水平方向向左平移p个单位，沿竖直方向向上平移q个单位，平移后的图象表达式为 y=a(x+frac{b}{2a}+p)^{2}+frac{4ac-b^{2}}{4a}+q

函数的平移都遵循这样的规则！

②方法二：平移 y=ax^{2}+bx+c 的图象，仍然有遵循“加左减右，加上减下”这样的规律，例如沿水平方向向左平移p个单位，沿竖直方向向上平移q个单位，平移后的图象表达式为 y=a(x+p)^{2}+b(x+p)+c+q.

请继续关注二次函数的后续！