歡迎光臨我的專欄《微積分學習之旅》，一起學習，共同提高。

提醒：本篇內容對於微積分的計算非常重要，要多找題訓練，提高熟練程度。

給出一個原函數，它的導數可以通過導數的定義來推出。然而，如果每次都需要靠定義來求導，那一定煩死瞭，而且對某些極限的計算需要足夠的IQ值來想出點“奇技淫巧”。對於喜歡偷懶的普羅大眾來說，就不能好好玩兒導數瞭嗎？幸運的是，一些好用的求導法則已經被證明出來，它們可以大大簡化求導過程，我們直接拿來用就好，再也不用卑躬屈膝地求定義幫忙。

我們把接下來的一些求導法則稱之為微分公式（當然，如果你叫求導法則也行）。可以靠定義來證明，這裡不貼出來瞭。

一、常數函數的求導

若函數 f(x)=c 其中 c 是常數，那麼 f(x) 的導數求法為

f'(x)=frac{d}{d x}(c)=0\

說人話就是，常數的導數等於0。

二、冪函數的求導

若函數 f(x)=x^{n} ，其中 n 是任意常數，那麼那麼 f(x) 的導數求法為

f'(x)=frac{d}{d x}left(x^{n}right)=n x^{n-1}\

例如

begin{array}{ll}{text { (a) 如果 } f(x)=x^{6}, text { 那麼 } f^{prime}(x)=6 x^{5},} & {text { (b) 如果 } y=x^{1000}, text { 那麼 } y^{prime}=1000 x^{999}} \ {text { (c) 如果 } y=t^{4}, text {那麼} frac{d y}{d t}=4 t^{3}} & {text { (d) } frac{d}{d r}left(r^{3}right)=3 r^{2}}end{array}

三、和函數的求導

如果 f 和 g 都是可微分的，那麼 frac{d}{d x}[f(x)+g(x)]=frac{d}{d x} f(x)+frac{d}{d x} g(x)\

說人話就是，函數的和的導數，等於各項函數的導數的和。不僅是兩項函數的和可以這樣做，不管加多少項的函數，這樣做都可以。比如三項的話，這是下面這樣的，(f+g+h)^{prime}=[(f+g)+h]^{prime}=(f+g)^{prime}+h^{prime}=f^{prime}+g^{prime}+h^{prime}\

四、差函數的求導

如果 f 和 g 都是可微分的，那麼 frac{d}{d x}[f(x)-g(x)]=frac{d}{d x} f(x)-frac{d}{d x} g(x)\ 五，以常數為倍數的函數的求導

frac{d}{d x}[c f(x)]=c frac{d}{d x} f(x)\

意思就是，以常數為倍數的函數的導數，等於該常數乘以該函數的導數。

下面舉個例子運用一下上面的五個公式

begin{array}{l}{frac{d}{d x}left(x^{8}+12 x^{5}-4 x^{4}+10 x^{3}-6 x+5right)} \ {qquad begin{aligned} &=frac{d}{d x}left(x^{8}right)+12 frac{d}{d x}left(x^{5}right)-4 frac{d}{d x}left(x^{4}right)+10 frac{d}{d x}left(x^{3}right)-6 frac{d}{d x}(x)+frac{d}{d x}(5) \ &=8 x^{7}+12left(5 x^{4}right)-4left(4 x^{3}right)+10left(3 x^{2}right)-6(1)+0 \ &=8 x^{7}+60 x^{4}-16 x^{3}+30 x^{2}-6 end{aligned}}end{array}

六、積函數的求導

如果 f 和 g 都是可微分的，那麼

frac{d}{d x}[f(x) g(x)]=f(x) frac{d}{d x}[g(x)]+g(x) frac{d}{d x}[f(x)]\

由於這個和剛才的和函數和差函數沒有相似性，為開拓眼界，再次祭出導數的定義幫我們證明一下： begin{aligned} F^{prime}(x) &=lim _{h rightarrow 0} frac{f(x+h) g(x+h)-f(x+h) g(x)+f(x+h) g(x)-f(x) g(x)}{h} \ &=lim _{h rightarrow 0}left[f(x+h) frac{g(x+h)-g(x)}{h}+lim _{h rightarrow 0} g(x) cdot lim _{h rightarrow 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h}right]\&=lim _{h rightarrow 0} f(x+h) cdot lim _{h rightarrow 0} frac{g(x+h)-g(x)}{h}+lim _{h rightarrow 0} g(x) cdot lim _{h rightarrow 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h}\&=f(x) g^{prime}(x)+g(x) f^{prime}(x) end{aligned}

七、商函數的求導

如果 f 和 g 都是可微分的，那麼 frac{d}{d x}left[frac{f(x)}{g(x)}right]=frac{g(x) frac{d}{d x}[f(x)]-f(x) frac{d}{d x}[g(x)]}{[g(x)]^{2}}\

換句話說，這個除法法則說的是，商的導數等於分母乘以分子的導數，然後減去分子乘以分母的導數，最後都除以分母的平方。

註意：不要每次看到要對商函數求導就用上面的微分公式。有時候先把商函數簡化，變成更簡單的形式，反而更有利於微分。比如這個函數 F(x)=frac{3 x^{2}+2 sqrt{x}}{x} ，化簡後就是這樣子 F(x)=3 x+2 x^{-1 / 2} 。

總結一下

begin{array}{ll}{frac{d}{d x}(c)=0} & {frac{d}{d x}left(x^{n}right)=n x^{n-1}} \ {(c f)^{prime}=c f^{prime}} & {(f+g)^{prime}=f^{prime}+g^{prime}} & {(f-g)^{prime}=f^{prime}-g^{prime}} \ {(f g)^{prime}=} & {f g^{prime}+g f^{prime}} & {left(frac{f}{g}right)^{prime}=frac{g f^{prime}-f g^{prime}}{g^{2}}}end{array}

應用舉例

請找出函數 y=sqrt{x} /left(1+x^{2}right) 的曲線在點P (1,1/2) 處的切線方程和法線方程。

根據微分公式，我們有

begin{aligned} frac{d y}{d x} &=frac{left(1+x^{2}right) frac{d}{d x}(sqrt{x})-sqrt{x} frac{d}{d x}left(1+x^{2}right)}{left(1+x^{2}right)^{2}} \ &=frac{left(1+x^{2}right) frac{1}{2 sqrt{x}}-sqrt{x}(2 x)}{left(1+x^{2}right)^{2}} \ &=frac{left(1+x^{2}right)-4 x^{2}}{2 sqrt{x}left(1+x^{2}right)^{2}}\&=frac{1-3 x^{2}}{2 sqrt{x}left(1+x^{2}right)^{2}} end{aligned}

所以切線在P點的斜率是

m_1=left.frac{d y}{d x}right|_{x=1}=frac{1-3 cdot 1^{2}}{2 sqrt{1}left(1+1^{2}right)^{2}}=-frac{1}{4}

這樣，切線方程就是 y-frac{1}{2}=-frac{1}{4}(x-1)

由於法線的斜率是切線斜率的負倒數，所以，法線斜率為 m_2=4

這樣，法線方程就為 y-frac{1}{2}=4(x-1)

如下圖所示

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