振子:力學的最小完備系統

概述

前面分析過振子方程,這一部分更“物理”的討論下振子;有很多個人的看法在裡面,可能不嚴謹甚至錯誤,提前預警。在這麼多年的工程實踐中,我越來越喜歡振子,覺得怎麼強調它都不為過;它給很多深入問題、提供瞭淺顯的理解。根據對它的分析和反復應用,可以把很多問題串起來;並且屢試不爽,目前為止沒有發現明顯的沖突或錯誤

比如,我們可以從基本振子入手來分析材料的特性。為什麼可以從振子入手分析材料特性?我們知道,任何材料都是是由原子堆積而成,而我們大部分物理和化學過程都隻牽扯到原子最外層的電子,這個電子和原子的關系可以在很大程度上等效為振子。兩個物體間發生作用力,其實是兩個物體中大量原子相互作用的宏觀表現;力學是研究這種宏觀表現規律的,所以力學的問題,理論上一定可以分解成大量振子疊加的問題。換句話說,振子一定包含瞭力學的全部內容(後面的分析中我們會進一步確認)。材料的一些相關的電磁特性,其實是材料對某種作用的宏觀效應、總結在一個參數中瞭,我們可以通過分析振子,還原這些參數的微觀表現,好讓我們更清楚這些參數的物理意義。為什麼從力學入手分析而不是直接用電學分析,僅僅是因為力學比較直觀而已,其實力學和電學的規律是一致的。

力學體系:

力學研究的是什麼?簡單的說,就是質點的運動變化;或者說質點運動、變化的規律。當然這裡的質點不是單獨的一個質點,因為宇宙中不存在單獨一個、不和別的物體有相互作用的質點。那麼什麼量可以描述質點的運動變化呢?當然是質點間的距離x、或者說一個或一些質點相對於另一個質點的距離x的變化是要研究的基本量。

怎麼研究:知道瞭距離x是基本的研究量,那麼怎麼研究呢?最基本的,需要知道一個質點的運動規律、一個質點在另一個質點作用下的運動規律,還有兩個質點相互作用規律。有且僅有這三個規律,全部的力學現象都逃不出這三條規律的簡單疊加。

我們看做為力學基礎的牛頓三定理:

牛頓第一運動定律:任何物體在不受外力的作用下,保持靜止或者勻速直線運動狀態。(描述單個質點的特性)

牛頓第二運動定律:物體的加速度,與物體的慣性質量成反比。

牛頓第三運動定律:兩個物體間的作用力大小相等、方向相反。

顯然,第一定律描述瞭單個質點的運動規律、第二個定律描述瞭質點在另一個質點作用下的運動規律、第三個描述瞭兩個質點間的相互作用規律。其實,第一運動定律隱含在第二運動定律裡面瞭,因為加速度是相對與靜止和勻速運動來說的。至此,建立力學所需要的三條規律全有瞭,經典力學可以基於此完備的描述。

當然,力學體系中還有另一些重要的量,比如質量、力等,它們是描述距離x變化的過渡量、或者說由x的變化引起的一些現象,從自然科學的本質來說,並不是力學最基本的研究量。雖然在實際的應用中,人類利用更多的是中間量,比如力等,但這並沒有從性質上改變什麼。

彈簧振子:

我們看基本的彈簧振子的方程: mfrac{d^2x}{dt^2}=-kx

左邊這一項明顯體現瞭牛頓第一、二定律,第一定律隱含在第二定律之中,因為加速度是相對靜止或者勻速運動來說的;等式的建立是牛頓第三定律的體現,因為一個質點受力瞭,肯定有另一個質點給它作用力。好瞭,牛頓三大運動定律已經全部包含在這個等式中瞭。

現在看右邊這一項――彈性力。牛頓三大定律隻說明瞭相互作用的規律,並沒有說兩個質點相互作用的具體方式。物體間作用的唯一方式是:受力-形變-恢復-作用力,這麼個過程,當然施加作用力的物體也是類似的方式,隻是順序不同罷瞭。這正是一個理想的彈簧所描述相互作用方式,所以這種彈性力是兩個質點相互作用的基本方式。這樣,一個最簡單的彈簧振子,不僅包含瞭全部力學體系的規律,甚至把最基本的相互作用的具體方式也包含進去瞭。所以全部理想的經典力學現象,理論上可以分解為這麼一個個振子模型,搞清楚瞭這個基本單元,也就搞清楚瞭全部的理想經典力學。

基本單元搞清楚瞭,一個個基本單元的疊加組合同樣是個復雜的技術問題,這樣,數學的價值就體現出來瞭,讓它來處理這種疊加吧。其實,這也說明瞭為什麼任意信號可以通過傅立葉變化轉化為正弦信號的疊加的原因,因為自然界最基本的變化單元滿足正弦運動規律,而自然界是由這樣的最小系統的各種疊加形成,當然隻能產生出可以轉化為正弦信號的信號瞭(個人理解,偏的有點遠瞭啊)。

現實中並不是所有的形變都可以全部恢復,這就引起瞭損耗的問題。那是不是我們需要增加新的內容?前面分析不是說基本振子已經包含瞭力學的全部瞭嗎?答案是不需要,隻需要我們搞清楚損耗是什麼。

損耗是什麼

我們在前面分析理想振子時忽略瞭一個現實問題,就是假設彈簧的一端是固定的,問題是在現實中有沒有可能找到這麼一個固定端呢?當然不能,即使一端連在地球上,另一端是個乒乓球,我們也不能認為一端固定,隻是在多大程度上近似而已,況且實際的情況大多數沒這麼大反差。考慮瞭彈簧的“固定端”可以在一定程度上移動,就把損耗包含在瞭我們的最小系統中瞭。下面是推導:

abd0b13a2b2df59badc9f45aff3dd3a1

上圖是理想振子的情況:mfrac{d^2x}{dt^2}=-kx

註意:這裡方程兩邊的x其實含義不同,方程左邊的x是質點的位移量,描述質點加速度的;方程右邊的x是描述質點偏離平衡位置的量、或者說彈簧的壓縮量 Delta x ;因為彈簧的固定端不動、換句話說平衡位置不變,所以這兒 x=Delta x ;由振子方程一講已經知道,振子的響應是正弦形式的解,假設如下: x=Delta x=Asinomega t

這個圖是彈簧的“固定端”可以隨振子運動的情況。此時,由於平衡位置不同,所以此時彈簧的壓縮量和質點的位移量不完全相同,設質點的位移依然是x=Asinomega t,則 triangle x 和x間會有一相位差 Deltavarphi ,即質點運動到最大位置時,彈簧的壓縮量還要過一會、或者是已經過瞭最大值。

此時有:

mfrac{d^2x}{dt^2}=-kcdot x=kcdot Asinleft( omega t-Deltavarphi right)

=kcdot sinomega tcosDeltavarphi-kcdot cosomega tsinDeltavarphi

=kcdot A^{'}sinomega t-kcdot Bcosomega t

=kcdot A^{'}sinomega t-frac{momega_{0}^2}{omega}kcdot Bfrac{d}{dt}sinomega t

=kx-mrfrac{dx}{dt}

即: mfrac{d^2x}{dt^2}=kx-mrfrac{dx}{dt}

這就是標準的帶損耗的振子方程;在這個推導過程中,我們不要被很多的常數迷惑瞭。我們以前根據這個式子說摩擦力和速度成正比,似乎摩擦是由速度引起似的,看來那是表象,隻是湊巧而已。

這樣,加上阻尼以後,這個振子系統就是考慮瞭現實情況的全部力學規律的體現。實際力學系統的復雜性很大程度上體現在阻尼項上,也就是說實際的阻尼系數並不是一個簡單的常實數,但這並不能改變這個式子體現全部力學規律的實事,隻能說那樣的系統仍然是高度概括瞭的,或者說把很多復雜的小系統概括在阻尼系數中瞭而已。

上述的式子是這個力學最小系統的完備描述,是這個系統自身的特性;實際上,我們研究的任何系統都是很多個這樣的最小系統的疊加,為瞭疊加必須把這個最小系統定義一個接口,也就是說,一個單元和另一個單元是怎麼連起來的。這樣定義一個中間量“力”之後,就有瞭:

mfrac{d^2x}{dt^2}+mrfrac{dx}{dt}+kx=F(t)

就是說等式左邊這個系統整體對外會有這樣的力的輸出、或者說有等式右邊這樣的力的輸入時系統會有等式左邊那樣的反應。這樣,系統與系統可以組合起來,最終組合成任意復雜的力學系統。

有瞭上面的基礎,我們後續會基於振子的疊加得到各種系統,然後用振子的原理分析各領域相關問題的物理意義,比如材料電磁特性的物理意義等;這才是我最喜歡的部分,後面繼續分析,感興趣請關註專欄一起學習。

我的其他文章如下,感興趣可以看看:

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