這一篇開始講OCF。在知乎上編大數的人以各種套娃為主，更差的就是宇宙和普朗克等字眼和次方的結合，連大數都不算。達到OCF起點水平的文章和回答，我基本上沒見過。OCF遠非高德納箭頭那種傢喻戶曉的東西，所以這裡我把OCF當成一個全新的東西講仔細一點。

首先OCF全稱叫序數崩塌函數，是把一些更大的序數上的簡單結構折疊之後，表示可計算序數上的復雜結構，從而得到比枚舉不動點的φ函數更強大的東西。我們引入一個符號Ω，這隻是習慣性的記號，具體等於多少不重要，要求的是Ω裡面足以包含能夠折疊可計算序數的結構。如果非要給一個嚴格定義，可以認為Ω=ω₁CK，也就是最小的admissible序數，或者說可計算序數集合的最小上界。先說說最簡單的ψ函數，就是Madore的版本，能夠表示ψ₀(ε_(Ω+1))以下的序數，這個ψ₀(ε_(Ω+1))也叫bachmann-howard ordinal，非常有名。Madore's ψ定義如下:

C₀(a)={0.1.ω.Ω}

Cn+1(a)={x+y,xy,x^y,ψ(k)|x,y,k∈Cn(a),k<a}

C(a)=∪(n∈N)Cn(a)

ψ(a)=min{x<Ω|x∉C(a)}

這幾條拗口無比的式子看上去就不像好懂的東西吧？是的，這比枚舉不動點的φ函數理解難度高瞭幾條街。C的定義依賴於ψ，而ψ的定義又依賴於C，所以我自己也一兩年都沒搞懂，感覺是雞生蛋蛋生雞的死循環。最近聽別人分析瞭幾段話，我才有點醍醐灌頂，這幾條式子還真是遞歸的定義，並且能等價的轉化成和Ω有關的套娃表示(雖然很復雜)。

首先來計算ψ(0)，我們隻需要看C(0)。可以看出來對所有k∈N，Ck(0)中的可計算序數都隻可能通過0.1.ω用+.×.^這三種運算得到。ε₀是滿足ω^ε=ε的最小序數，所以不能靠乘方得到，+和×比乘方更弱，就更不行瞭。而小於ε₀的序數能寫成Cantor的標準形式，所以都能用+.×.^得到。所以最小的不在C(0)中的可計算序數就是ε₀，即ψ(0)=ε₀。再來計算ψ(1)，我們先看C(1)。對所有k∈N，Ck(1)中的可計算序數也是用+.×.^得到，但初始集合裡已經包含瞭ψ(0)中的ε₀。通過0.1.ω.ε₀仍然不能靠+.×.^得到的最小序數就是滿足ω^ε=ε的第二個序數ε₁。也就是說C(1)中不包含的最小可計算序數是ε₁，即ψ(1)=ε₁。

以此類推，我們得到ψ(a)=ε_a。但這個規律永遠成立嗎？我們來考慮一下ψ(φ(2,0))。因為φ(2,0)是ε函數的第一個不動點，所以對任意a<φ(2,0)，都有ψ(a)=ε_a<φ(2,0)。於是C(φ(2,0))中不包含φ(2,0)，那ψ(φ(2,0))也隻能無奈的等於φ(2,0)瞭。繼續下去，考慮C(φ(2,0)+1)，之前的C(φ(2,0))不包含φ(2,0)，而靠+.×.^都無法把φ(2,0)以下的序數提升到φ(2,0)，所以C(φ(2,0)+1)中還是不包含φ(2,0)，那ψ(φ(2,0)+1)仍然隻能無奈的等於φ(2,0)。繼續推下去可以發現，ψ函數似乎石化瞭。對所有可計算序數a>φ(2,0)，都有ψ(a)=φ(2,0)，甚至對第一個admissible序數Ω，仍然有ψ(Ω)=φ(2,0)。

然而當a=Ω+1時，石化瞭一段悠久歲月的ψ函數又滿血復活瞭。我們來計算ψ(Ω+1)。因為Ω<Ω+1，我們可以在C₁(Ω+1)中加入ψ(Ω)=φ(2,0)。經過+.×.^的搗鼓，最終的C(Ω+1)會含有ε_(φ(2,0)+1)之下的所有序數。於是ψ(Ω+1)=ε_(φ(2,0)+1)，打破瞭之前的魔咒。接下來又恢復如常，ψ(Ω+a)=ε_(φ(2,0)+a)。可是到瞭φ(2,1)時，魔咒又卷土重來。ψ(Ω+φ(2,1))=ε_(φ(2,0)+φ(2,1))=φ(2,1)仍然成立。繼續考慮ψ(Ω+φ(2,1)+1)。因為對所有a<φ(2,1)，都有ε_a<φ(2,1)，所以C(Ω+φ(2,1))中不包含φ(2,1)，這導致C(Ω+φ(2,1)+1)中也不能包含φ(2,1)。於是ψ(Ω+φ(2,1)+1)再次無奈的等於φ(2,1)，ψ函數又雙叒叕石化瞭，這次的石化一直持續到ψ(Ω×2)=φ(2,1)。接下來ψ函數再次復活，計算結果還是老規矩，用ε函數表示，ψ(Ω×2+1)=ε_(φ(2,1)+1)。

就這樣，ψ函數一次一次的石化，又一次一次的復活，路就這樣起起落落的走下去。ψ函數克服瞭無數次的石化，最終戰勝瞭失敗變得強大起來，比生來就是順風順水結構的φ函數(逢不動點就進位，就像用十進制數數，永遠是越數越大，不會停下來)的終點要強大的多，這也是一個炒雞勵志的故事。

不知不覺又寫瞭兩千字。這篇文章主要是對OCF這個概念的認識。OCF具體的強大之處，以及如何用OCF的思想給序數系統化的命名，還有如何設計基本列來表示增長率極大的函數，都留到第⑥篇再說瞭。