11.3.0前言

上一节： 11.2 多元连续函数

下一节：12.1 偏导数与全微分

数学分析笔记整理在：数学分析笔记目录

---

本节阐述

1. 紧集上的连续映射
2. 连通集与连通集上的连续映射

11.3.1 正文

11.3.1.1 紧集上的连续映射

先复习一元连续函数在闭区间上的定理

有界性

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a,b]上有界。

1处：xi可能就是端点a或b,故而x in O(xi,delta) cap [a,b],而不是x in O(xi,delta)。

2处：由于a_n le xi le b_n，且lim a_n=lim b_n =xi,故而当n充分大时，必有[a_n,b_n] subset O(xi,delta),由于又是闭区间套，故而[a_n,b_n] subset [a,b]是显然的。

注意

最值定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必然取得最大值和最小值。

1处：limlimits_{k to infty}x_{n_k}= xi,xi in[a,b],由于f(x)在[a,b]上连续，故而有lim f(x_{n_k})=f(xi)，这是函数连续的序列式定义。由极限的夹逼性易得lim f(x_{n_k})=a,故而f(xi)=a。

注意

零点存在定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则必然存在xi in (a,b),使得f(xi)=0。

这个定理的证明我看不太懂。提供另外一种证明手段：

不失一般性，考虑f(a)<0,f(b)>0。

1）令c=frac{a+b}{2},若f(c)=0,则定理得证，否则f(c)<0或f(c)>0。若 f(c)<0,则选取区间[c,b],此时f(c)<0<f(b)；若f(c)>0,则选取区间[a,c],此时f(a)<0<f(c)。无论最后区间是什么，为了方便而言，我们令区间为[a_1,b_1],有f(a_1)<0<f(b_1)且[a_1,b_1] subset [a,b]。

2）重复步骤1，要么中途我们找到一个xi使得f(xi)=0,此时定理得证；

要么我们构造了一个闭区间套[a_n,b_n] subset [a_{n-1},b_{n-1}]dots subset [a_1,b_1] subset [a,b],lim b_n-a_n=0,且 f(a_i)<0<f(b_i),i=1,dots,n。由闭区间套定理可得存在唯一的xi in [a_n,b_n],n=1,dots使得lim a_n=lim b_n=xi。

由于xi in [a,b],则f(x)在xi 处连续，故而lim f(a_n)=lim f(b_n)=f(xi)。由于f(a_n)<0<f(b_n),因此lim f(a_n)le 0le lim f(b_n)。所以f(xi)=lim f(a_n)=lim f(b_n)=0。故而xi就是我们要找的点。

证毕！

中间值定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它一定能够取到f(x)在闭区间[a,b]上最小值m和最大值M之间的任何一个值。

Cantor定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在闭区间[a,b]上必然一致连续。

一致连续的概念

引言

文字描述已经很准确了。

类比一个例子，我要到每个地方去收钱。我的要求很简单，每个地方必须交钱，钱多钱少无所谓，但是必须要交。假定甲地交钱的能力为a元，乙地交钱的能力为b元….。如果交钱能力最低的那个地方交钱的能力都大于0，那么我的要求就满足了，否则我的要求就不能满足。

一致连续定义

这个一致连续的定义应当联系开始的引言。我们说给定函数f(x),与f(x)连续性相关的delta的取值取决于x_0的位置和varepsilon的大小。而上面的一致连续定义，则要求delta仅与varepsilon相关，而抹去了x_0的相关性。

e.g1

e.g2

我们再随手画一个例子

像这种给定varepsilon,当x to +infty时，你这个delta是趋于0的，故而不是一致连续的。

一致连续的等价条件

Cantor定理

---

多元函数具有类似的定理，在讲这些定理之前，我们先引入一些概念。

函数连续定义的拓展

1处：这个类比做得好。

一元函数

在边界的连续性要求是左端点右连续，右端点左连续。

以左端点为例，不妨设左端点为x=a,函数f(x)在左端点右连续的要求为，forall varepsilon>0,exists delta>0,forall x (0 le x-a<delta),有|f(x)-f(a)|<varepsilon。

类比多元函数，以闭球为例

关于这个连续性定义的扩展，再补充几点：

1. 类比一元函数f(x)在闭区间上[a,b]上的连续性，我们知道多元函数连续性定义是对边界点的连续性的扩展。实际上这些多元函数边界点的连续性或许应该有个什么叫法，来对比一元函数f(x)在闭区间上[a,b]上左端点右连续，右端点左连续的说法。当然，直接称边界点连续也可以，前提是你知道边界点连续的具体含义。
2. 既然对边界点的连续性进行了扩展，那么向量值函数的极限也应该进行扩展(尽管书上没提)，要不然这就很奇怪，比如闭球的边界点连续却极限不存在。应该这样修改：S subset mathbf{R}^m，x_0是S上一点，假定f在S setminus x_0上有定义，且f : S setminus x_0 to mathbf{R}^n，若forall varepsilon>0,exists delta>0,forall x in ( O(x_0,delta)setminus x_0 cap S),有|f(x)-A|<varepsilon,那么称f在x=x_0处极限存在。类似的，这种边界点的极限也应该有个什么叫法，来对比一元函数f(x)左极限或右极限的叫法。当然，直接边界点的极限存在也可以，前提是你知道边界点的极限存在的具体含义。
3. 修改后的向量值函数极限仍然满足极限唯一性，局部有界性，极限的四则运算（仅加法减法和线性乘法）。保序性，夹逼性，极限的四则运算的乘法除法一般不存在，除非f的陪域是mathbf{R},即f是多元函数的时候才是存在的。毕竟，多维空间的点是不能比较的，也不能进行乘法和除法运算。
4. 修改后的向量值函数的连续性和修改前的向量值函数的连续性的相关性质没变。

引入紧集概念的原因

定理

上面证明的有些部分我看不懂，按照我自己的话证明一遍。

先证明一个引理：若K是一个紧集，{x_n} subset K且{x_n}中的元素两两不等，则{x_n}必然存在一个子列{x_{n_k}}收敛于a，其中a in K且为{x_n}对应集合的一个聚点。

证明：

不考虑{x_n}的排列顺序，由于{x_n}中的元素两两不等，则其对应一个有无限元素的集合T,且T subset K。由于K的一个紧集，故而T必然存在一个聚点a属于K，即存在{y_n} subset T,y_n to a,y_n ne a,ain K。显然{y_n}只是{x_n}某子列{x_{n_k}}的次序重排，又因为收敛数列在重排之后的新的数列仍然收敛，并且收敛值不变，故而{x_{n_k}} subset T,x_{n_k} to a,x_{n_k} ne a,ain K。

因此我们证明了{x_n}必然存在一个子列{x_{n_k}}收敛于a，其中a in K且为{x_n}对应集合的一个聚点。

证毕!

正式证明定理：

需证明f(K)={y in mathbf{R}^m|y=f(x),xin K}是紧集。

由于集合S是紧集当且仅当集合S的任意无限子集必然存在聚点属于S，故而我们证明f(K)的任意无限子集必然存在聚点属于f(K)。

任取f(K)的无限子集T,则需证明exists {y_n} subset T,y_n to a,y_n ne a且a in f(K)(证明形式如此) 。

由于T是无限元素的集合，故而我们可构造一个两两元素不等的{y_n} subset T,由映射法则可得必然存在一个{x_n} subset K,使得{x_n}中两两元素不等(相等就构不成映射!），且f(x_n)=y_n,n=1,dots。

由引理得{x_n}必然存在一个子列{x_{n_k}}收敛于a，其中a in K且为{x_n}对应集合的一个聚点。

由于f是在K上的连续映射，故而lim y_{n_k}=lim f(x_{n_k})=f(a) in f(K),

由于{y_{n_k}}的元素两两不等，故而最多有一点满足y_{n_k}=f(a)，我们将这个可能存在的点去掉之后形成的新的序列叫做{y_{n_k}'}。

因此{y_{n_k}'} subset T,y_{n_k}' to f(a),y_{n_k}' ne f(a)且f(a) in f(K)。

证毕！

定理

定理11.3.2可由定理11.3.1证明。因为f(K)是紧集，故而是有界闭集，故而是有界的。

证明定理11.3.3，证明手段和一维很类似。

证明：

由11.3.2得f在K上有界，故而f在K上有上确界和下确界(这里仍然是沿用的一维的确界定理)。

不妨令M=inf f(K)，根据确界定义，我们可得forall frac{1}{n}>0,总是exists y_n in f(K),使得 M-frac{1}{n}<y_n le M。

对于序列{y_n},我们可以找到对应的{x_n } subset K,使得y_n =f(x_n),由于K是紧集，故而K是有界的，故而{x_n }是有界的序列，根据波尔查诺-维尔斯特拉斯定理可得，其必然存在收敛子列{x_{n_k}}，不妨设其收敛值为a。

(1) 要么这个数列{x_{n_k}}存在x_{n_i}=a,则由于x_{n_i} in K,故而a in K。

(2) 要么{x_{n_k}}不存在x_{n_i}=a的项，此时由于x_{n_k} to a,x_{n_k} ne a,{x_{n_k}} subset K，故a是K的一个聚点，由于K

是闭集，所以ain K。

无论哪种情况，都说明a in K。

由 M-frac{1}{n}<y_n le M，不难得到lim y_{n_k}=M。

由于f在K上连续，那么可得f(a)=lim f(x_{n_k})=lim y_{n_k}=M。

因此f在K上必然取得最大值。

证毕！

f在K上必然取得最小值证明是类似的，除此以外我们还可以整理出一个小结论，即若K为有界闭集，则其必然存在一个收敛序列{x_n} subset K，且其收敛值a in K。

一致连续的定义

一致连续性定理

证明很神奇！

11.3.1.2 连通集与连通集上的连续映射

这个定义很抽象，据说涉及到了点集拓扑的知识，据老师说在欧几里得空间上道路连通和联通的概念是等同的。

1处：据老师说，表述上称r为S中的道路，实际上我们知道r[0,1]才是S中的道路。

1处说的区间，比如[a,b],(a,b),(a,+infty)等都是区间，重点是连通的。

2处这个我暂时不知道怎么找。

由于连续映射将紧集映射成紧集，将连通集映射成连通集，故而将连通的紧集映射成连通的紧集，由于是连通函数，故而这里映射结果，即连通的紧集就是闭区间。

注意！中间值定理包含了零点定理(考虑m<0,M>0)。

11.3.2 总结

紧集上的连续映射

1. 向量值函数在x=x_0处连续的定义扩展(兼顾边界点而进行扩展)。我认为向量值函的极限也应该进行扩展，即S subset mathbf{R}^m，x_0是S上一点，假定f在S setminus x_0上有定义，且f : S setminus x_0 to mathbf{R}^n，若forall varepsilon>0,exists delta>0,forall x in ( O(x_0,delta)setminus x_0 cap S),有|f(x)-A|<varepsilon,那么称f在x=x_0处极限存在。
2. 若K是一个紧集，{x_n} subset K且{x_n}中的元素两两不等，则{x_n}必然存在一个子列{x_{n_k}}收敛于a，其中a in K且为{x_n}对应集合的一个聚点。
3. 连续映射将紧集映射成紧集。
4. 若K为有界闭集，则其必然存在一个收敛序列{x_n} subset K，且其收敛值a in K。
5. 有界性定理和最值定理。
6. 一致连续的定义。f在K上一致连续，则f在K上必然连续，但反之不然。
7. 若K是mathbf{R}^n上的一个紧集，f:K to mathbf{R}^n的一个连续映射，则f在K上一致连续。

连通集与连通集上的连续映射

1. 道路，道路起点，道路终点，(道路)连通，连通集的定义。
2. 连通的开集称为(开)区域，(开)区域的闭包称为闭区域。
3. 连续映射将连通集映射成连通集。
4. 连续函数将连通的紧集映射成闭区间。
5. 中间值定理(暗含零点定理)。

最后再说几句：

(1) 连续函数f在紧集上是有界的，这个主要利用了连续映射将紧集映射成紧集，而紧集是有界的概念。

(2) 连续函数f在紧集上可取到最大值和最小值，这个主要利用了连续映射将紧集映射成紧集，而紧集是有界闭集的概念。

(3) 连续函数f在连通的紧集上可取得包括最大值和最小值在内的之间的任何值，这个主要利用了连续函数将连通的紧集映射成闭区间的概念。

三者的要求是逐步增高的，此外需要注意函数和映射是不一样的概念，前者是映射到一维，后者是映射到一维或多维。比如上面的(1)，你完全可以修改为连续映射f在紧集上是有界的，但是(2)和(3)却不能这么改。

嗯，其实连通集与连通集上的连续映射这块似懂非懂，先会用定理吧。

11.3.3参考

1. 数学分析 陈纪修老师 1080p高清版(全集)_哔哩哔哩_bilibili
2. 《数学分析》陈纪修编著