这本关于电力电子的笔记的结构如下：

1. 解决问题的数学方法
2. 在Mathematica计算环境中实现解决方案
3. 所得结果的物理解释。Mathematica代码不会包含在这里，因为可以使用等效的软件工具。

阅读这些教程的需要电气工程的基础知识。

耗尽层

让我们考虑两种半导体，第一种是n型，第二种是p型。如果两者都处于开路状态(图1)，则不会有电荷的净流动，而是由于热扰动而产生的移动电荷随机游动。

图1：两种半导体都是开路

现在让我们制作技术上称为pn结的东西，这是一种冶金结，充当两个半导体之间的交界面。在保持开路的情况下，我们预计初始瞬变的特征是空穴从p区流向n区，电子沿相反方向流动。这种瞬变是电荷梯度造成的。它注定会衰减，直到出现一个以双势垒为特征的静止状态，该势垒阻止了电荷载流子在结的两个纵向方向上运动。

更具体地说，让我们研究一下图2，其中我们在建立了一个以y轴为结交界处延申方向的笛卡尔坐标系(Oxy)后，突出了p区中受体离子的存在，以及n区中供体离子的存在。相应的空穴会中和每个受体。同样，每个供体都被相应的电子中和。因此，总电荷为零。

分别用NA和ND表示受体和供体的浓度，我们有：

如前所述，将有一个初始瞬态，在此期间，一定比例的空穴设法穿过结，电子则相反。然而，这些移动的电荷与符号相反的电荷结合，决定了耗尽层DL的形成，其中只有离子存在，因为它们“静止”在晶格的节点中。

由于晶格的周期性，我们期望电荷分布均匀且仅存在离子。更准确地说，我们可以这样写：

图2：开路的pn结。在p区中，仅表示了一个受体和一个空穴。这种简化只是出于图形原因；NA存在体积单位的受体和空穴。类似的分布出现在n区

相应的结称为突变结。由于晶格缺陷引起的周期性不可避免的偏差，这代表了一个相当大的近似值。在下一个近似步骤中，我们仅在横向(y轴)保持晶格周期性，因此ρ仅取决于x以避免求解泊松方程的复杂边界值问题。众所周知，它返回的电势现在仅取决于x。

为了详细说明耗尽层的唯象模型，我们必须指定电荷分布ρ(x)，然后我们应用已知的公式来计算电场和电势。计算并不复杂，但很繁琐。我们已将它们开发到最小的细节并适用于所有可能的配置。在这里，我们仅限于绘制电荷载流子在其各自配置中的势能。

图3报告了突变结的载流子(红色为电子，蓝色为空穴)的势能。电荷密度突然从恒定的负值变为正值。粗体水平线定义了两个载流子的允许值的上下限。换句话说，电荷载流子没有足够的能量穿过它们各自的势垒。

其余情况如图4、5和6所示。

图3：对称突变结的双势垒

图4：不对称突变结的双势垒

图5：对称正弦结的双势垒(即，ρ(x)随正弦规律变化)

图6：不对称正弦波结的双势垒

过渡电容

让我们简要回顾一下，如果电介质将两个导体1和2分开，分别带电+Q和-Q，则在它们之间就会产生一个电位差V，使得Q=CV，因为C>0为导体的电容，从而形成电容器的极板。请注意，C仅取决于导体的几何形状。在两个无限延伸的导电平面的特定情况下，在适当的笛卡尔平面(图7)中，上述平面之间区域的电场为：

也就是说，它是模数E0>0的常数向量，方向从正电荷指向负电荷。电势为V(x)=−E0x。由此可见，等势曲线是平行于y轴的直线。

图7：由距离d=2∆分隔的两个无限延伸的导电平面的截面

实际上，考虑到装甲的有限范围，电容由下式给出：

其中S是由距离d隔开的加固物面积。如果d相对于S1/2小到可以忽略不计，则此关系不考虑边界效应，并且良好的近似值是有效的。如果不是，则很难进行正确的修正。计算上有效的方法包括将电势写成两个变量(x,y)，并使用通过所谓的Lambert函数表示的复合函数，定义如下：

它是Mathematica中通过指令ProductLog[k,z]实现的复变函数，其中相对整数k标识第k个分支。在笛卡尔平面(0xy)中，加固的截面是长度为h的两段，位于x=±Δ中。以无量纲单位表示的电势可以写成如下：

等势线绘制在图8中，从中我们可以看到Lambert函数如何产生约束效应。

图8：具有有限延伸极板的平板电容器的电场的等势线

耗尽层的行为与电介质相同，我们实际上可以追踪穿过电荷分布ρ(x)各自中心(相对于结点对称)的相应电容器的极板，因此使用等式(4):

其中CT是结的过渡电容，而ε=ε0εr其中ε0真空介电常数，εr是半导体介电常数。等式(7)是有效的，因为与结的横向尺寸相比，耗尽层的振幅Δn+Δp可以忽略不计。然而，计算S的问题仍然存在。此外，如果结处于反向偏置，则过渡电容会随着电压值的增加而减小。事实上，通过采用反向极化中V<0的惯例，我们可以得出耗尽层的振幅随着|V|的增加而增加，因为更高的电压值将电荷载流子从结中推走。所以CT取决于V：

其中q是“虚拟板”上的电荷，V是反向偏置电压。