如上圖所示，在[a,b]上取n+1個不同的點xi，即

a = x0 < x1 < x2 < ⋯ < xi − 1 < xi < ⋯ < xn = b （其中i = 1, 2, …, n）

那麼[a,b]就被分成瞭n個小區間，其中相鄰兩個分點構成的閉區間[xi − 1, xi]的長度記為Δxi = xi − xi − 1，因為這些點是任意取的，所以每個這種小區間的長度可以不一樣，在每個小區間內任取一點ξi，用底為Δxi，高為f(ξi)（圖中豎直虛線所示）的矩形近似代替對應區間內小曲邊梯形的面積，這些小矩形的面積之和

fleft( xi_{1} right)Delta x_{1} + fleft( xi_{2} right)Delta x_{2} + cdots + fleft( xi_{n} right)Delta x_{n} = sum_{i = 1}^{n}{f(xi_{i})Delta x_{i}}\

就是整個大的曲邊梯形面積（the area under the curve）的近似。當每個小矩形的底都越來越靠近0，即越來越窄的時候，這些小矩形的面積之和便會越來越接近大的曲邊梯形的面積，

03bab0f8a5577cee0db3533e8b620e4d

所以定這個過程中sum_{i = 1}^{n}{f(xi_{i})Delta x_{i}}的極限為曲邊梯形的面積就顯得很自然而然瞭1。

“每個小矩形的底都越來越靠近0”的一種等價說法是“底邊長度最大的小矩形的底越來越靠近0”（最大的都靠近0瞭，其餘比它小的自然也更靠近0，進而每個都越來越靠近0），這種等價轉述是為瞭方便下面用極限符號來表示上述求曲邊梯形面積的原理。記底邊最長的小矩形的底邊長為λ，顯然λ大於等於每個小矩形的底Δxi，λ → 0時，每個Δxi也都 → 0，所以如果用S代表曲邊梯形的面積的話，那麼上述求面積的原理可以用數學符號表述為2

begin{matrix} lim_{lambda rightarrow 0}left( fleft( xi_{1} right)Delta x_{1} + fleft( xi_{2} right)Delta x_{2} + cdots + fleft( xi_{n} right)Delta x_{n} right) = lim_{lambda rightarrow 0}{sum_{i = 1}^{n}{fleft( xi_{i} right)Delta x_{i} = S}} \ end{matrix}\

下面解答幾個學習過程中可能碰到的疑點：

1. 在每個小矩形的底都越來越靠近0的過程中，小矩形的總數n會越來越多（想想為什麼？），即λ → 0時，每個Δxi也都 → 0， n → ∞。
2. 每個Δxi都 → 0時，每個小矩形的面積f(ξi)Δxi → 0，而這個過程中n → ∞，以至於有學生會認為大的曲邊梯形的面積最終是無數個底為0也即面積為0的小矩形面積相加的結果，這種誤解源於對極限思想的理解不到位，Δxi → 0意味著Δxi在“永無止境”地越來越靠近0，所以根本不存在“Δxi最終變成0”這麼一說，同樣也就不可能有f(ξi)Δxi也變成0的說法。在極限的ε-δ定義中也明確規定過0 < |x − x0| < δ，即在x → x0的過程中x不會變成所趨近的點x0，所以上述求面積的過程中Δxi不會變成0。
3. 既然Δxi最終不會變成0，那麼每一個小矩形和對應的小曲邊梯形的面積總有差異，以至於上述極限過程中任何一個sum_{i = 1}^{n}{f(xi_{i})Delta x_{i}}都不會是最終要求的曲邊梯形的面積的準確值，所以面積準確值究竟是怎麼求出來的呢？這同樣是個對極限思想理解不到位引起的疑問，在此舉一簡單例子來闡明極限思想，比如“當x > 0且x → 0時，x + 1 → 1”，按上述說法在極限過程中x ≠ 0，那麼極限值1究竟是怎麼計算出來的呢？當x從0的右邊永無止境地越來越靠近0的時候，

97ed8e77c0dd2c52f67f3fccf769f12b

任何比1大的數終將在x不斷靠近0的過程中變得大於x+1，以至於x+1最終會小於一切比1大的數，又因為x > 0，所以x+1>1，所以x+1在x無止境地越來越靠近0的過程中不會逼近任何一個比1大的數，隻會逼近1，也就是說極限值1不是“等於出來的”，而是“被逼出來的”，這就是“當x > 0且x → 0時，x + 1 → 1”所蘊含的極限思想。同理，曲邊梯形面積的準確值是通過一系列的sum_{i = 1}^{n}{f(xi_{i})Delta x_{i}}在λ → 0的過程中不斷“逼出來的”。為瞭讓大傢徹底明白用極限求面積的原理，下面再舉一例（按照上面的說法每一個小矩形的高f(ξi)是可以在對應的區間內任意取的，下圖就取對應小區間內最小的f(ξi)），

47b52a6fdb742173f451e55816c8756b

每種分割下的小矩形面積之和sum_{i = 1}^{n}{f(xi_{i})Delta x_{i}}都比要求的曲邊梯形的面積要小，但是在每個小矩形的底都越來越靠近0的過程中，sum_{i = 1}^{n}{f(xi_{i})Delta x_{i}}終將超越任何一個比面積準確值小的值，從而把面積準確值給逼出來。

1. 有學生可能會說：“好吧，我承認Δxi最終不會變成0，但它最終會變成一個比0大並且比任何正實數都小的‘無窮小量’，那麼f(ξi)Δxi也會變成無窮小量，所以大的曲邊梯形的面積最終是無數個無窮小量的和”，這種誤解從18世紀就有瞭。首先這種說法提到瞭Δxi“最終”會變成無窮小量，同樣是認為極限過程有一個最終狀態，犯瞭上面2中說到的錯誤，僅這一點就可以否定這種理解；其次在於錯誤地認為存在“一個比0大並且比任何正實數都小的無窮小量”，要糾正這種錯誤觀念首先應該認識到我們討論的用極限求面積是在什麼數系范圍內進行的——實數系，而根據實數系內的阿基米德性質（Archimedean Property for Real Numbers）：對於任意正實數x，總存在正整數n使得frac{1}{n} < x，所以在實數系內不存在“一個比0大並且比任何正實數都小的無窮小量”，因為總有比該量還小的frac{1}{n}存在。這種誤解在Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, Richard Courant, Fritz John, p125處也說過： The definition of the integral as the limit of a sum led Leibnitz to express the integral by the following symbol:int_{a}^{b} f(x) d x\The integral sign is a modification of the summation sign in the shape of a long S used at Leibnitz's time. The passage to the limit from a finite subdivision into portions Delta x_{i} is indicated by the use of the letter d in place of Delta . In using this notation, however, we must not tolerate the eighteenth century mysticism of considering d x as an "infinitely small" or "infinitesimal quantity," or considering the integral as a "sum of an infinite number of infinitely small quantities." Such a conception is devoid of clear meaning and obscures what we have previously formulated with precision. From our present viewpoint the individual symbol d x has not been defined at all. The suggestive combination of symbols int_{a}^{b} f(x) d x is defined for a function f(x) in the interval [a, b] by forming the ordinary sums F_{n} and passing to the limit as n rightarrow infty .

上述取多個小矩形面積之和的極限來計算曲邊梯形面積的方法顯然也適用於計算下圖中由y=2x、x=1、x=5及其x軸圍成的梯形的面積，

而我也打算用這個例子來說明用極限求面積得出來的結果是準確的3。

首先將[1,5]等分成n個小區間，則每個小矩形的底長Delta x = frac{5 - 1}{n} = frac{4}{n}，取每個小區間左端點對應的函數值為對應小區間內的小矩形的高，則所有小矩形的面積之和

{displaystyle {begin{aligned} S_{n}&=2 Delta x+2(1+Delta x) Delta x+2(1+2 Delta x) Delta x +cdots+2[1+(n-1) Delta x] Delta x\&=2 Delta x cdot frac{[2+(n-1) Delta x] cdot n}{2}\&=n Delta x[2+(n-1) Delta x]\&=24-frac{16}{n} end{aligned}}} \

當每個小矩形的底Δx都越來越靠近0，即Δx → 0，這些小矩形的面積之和便會越來越接近大的梯形的面積，因為Delta x = frac{4}{n}，所以這裡Δx → 0等同於n → ∞，因此定lim_{n rightarrow infty}left( 24 - frac{16}{n} right) = 24為梯形的面積就顯得很自然而然瞭，而這個極限值和我們用梯形面積公式求出來的結果frac{(2 + 10) cdot 4}{2} = 24是一樣的，這說明瞭通過極限求出來的面積值是準確的，也印證瞭上面所說：在極限過程中的任何一個S_{n} = 24 - frac{16}{n}都不會是最終要求的面積的準確值，其值是通過極限過程由一系列的Sn“給逼出來的”。

1. 菲赫金哥爾茨，數學分析原理(第一卷)，第9版，p264↩
2. 數學分析，第二版，陳紀修，於崇華，金路，p274↩
3. Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Second Edition, Morris Kline, Chapter 9，Section 2↩

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