衍射是波的一个性质。比如，从门缝里传来的声音不是只在门缝后才能听到，这就是声波的衍射；水波会穿过涵洞，这是水波的衍射……光在传播过程中遇到障碍物,能够绕过障碍物的边缘前进,这种偏离直线传播的现象称为光的衍射现象。那么我们在生活中为什么不易察觉到衍射呢？那是因为衍射现象只有当障碍物尺寸小到与波长可比拟时才明显。我们生活中一般没有这么小的障碍物，因此我们用“光是直线传播的”去近似处理了。

衍射的两种类型

一般情况下，为数学和物理处理上的方便，按照光源和观察屏到衍射物的距离不同，将衍射分为两类Fresnel衍射和Fruanhofer衍射。当光源及观察屏到衍射物的距离为有限远时，发生近场衍射，也叫Fresnel衍射；当光源及观察屏到衍射物的距离为无限远时，发生远场衍射，也叫Fruanhofer衍射。在物理上，我们这样看，在衍射物的范围内，入射波和出射波的波面可近似为平面时，为Fraunhofer衍射，否则为Fresnel衍射。

图 1

我们还给出一种定量的近似条件，如图1

when quad d_1,d_2 gg frac{D^2}{lambda}/

发生Fruanhofer衍射，否则发生Fresnel衍射。

Fresnel衍射

要解释这个问题，我们先要介绍一下Huygens-Fresnel原理。

Huygens-Fresnel原理

这个原理由惠更斯子波原理和菲涅尔子波叠加原理构成。惠更斯提出光波前上每一点可看成一个新的次级波源，发出子波；下一个时刻的波前为所有子波的共同包络面；波的传播方向就是沿子波源与子波面和包络面的切点的连线方向。

图 2

这个理论可以很好的解释折射定律，但是它不能解释空间中的光强分布。菲涅尔修正了这个原理，他指出所有子波在空间中线性叠加，各子波贡献的大小用权重因子表示。如果从这个角度看，那么干涉与衍射便都是光波叠加的问题了，只不过干涉讨论双光波或多光波问题，而衍射是讨论无限个光波的叠加。对于无限个光波的叠加，我们可以用积分来进行数学的分析。

Huygens-Fresnel 原理的数学表示

图 3

我们来看图3，我们现在想通过分析波面 Sigma 上的面元对P点的光强影响，来积分得到整个波面对P点的光强影响。

我们让Q面元 ds 发出的子波对P点的光场贡献为 dU_Q(P,t) ，菲尼尔猜想 dU_Q(P,t) 正比于Q处发出的子波到达P点的光振幅 frac{e^{i(omega t- kr)}}{r} （这个可以参考球面波的表达式）、Q处的光场 U_0(Q) 、倾斜因子 K(theta_0 ,theta) 、Q处面元大小 ds ，总的可以写成

dU_Q(P,t) propto U_0(Q) cdot K(theta_0,theta) frac{e^{i(omega t- kr)}}{r} ds /

那么对整个波面积分就是

U_Q(P,t) = A iint limits_{Sigma} U_0(Q) cdot K(theta_0,theta) frac{e^{i(omega t- kr)}}{r} ds /

A是一个比例系数，从严格的波动理论可证明

K(theta_0,theta) = frac{cos theta_0 + costheta}{2}/ A = frac{i}{lambda}

又因为 U(P,t) = E(P) e^{iomega t} ，所以P点的场强就可以写出了

E(P) = frac{i}{lambda} iint limits_{Sigma} U_0(Q) cdot frac{cos theta_0 + cos theta}{2} frac{e^{-ikr}}{r} ds/

当 Sigma 是球面波时，即 theta_0 = 0 ，有

E(P) = frac{i}{lambda} iint limits_{Sigma} U_0(Q) cdot frac{1 + cos theta}{2} frac{e^{-ikr}}{r} ds/

下面我们讨论一下半周期带模型，这是理解菲涅尔衍射的一个简单模型。

图 4

从图5分割考虑每个环带的面积有

图 5

ds = 2pi(rho sin varphi) rho dvarphi/

又因为余弦定理有

r^2 = rho^2+ (rho + r^2_0) – 2rho(rho + r_0)cosvarphi/

两边同时进行微分，有

2rdr = 2rho (rho + r_0)sinvarphi dvarphi/

所以建立 ds and dr 的联系

ds = frac{2 pi rho r}{r_0 + rho} dr/

又因为球面波的表达式，所以有

U_0(Q) = a frac{e^{ikrho}}{rho}/

最后给出第n个环带对P点场强贡献的表达式

E_n(P) = frac{i}{lambda} int_{r_0 +(n-1)frac{lambda}{2}}^{r_0 +nfrac{lambda}{2}} afrac{e^{ikrho}}{rho} K(theta_n) frac{e^{-ikr}}{r} frac{2pi r rho}{rho + r_0} dr/

然后积分得到（这一步存疑，答主没有推下来，暂且写下）

E_n(P) = (-1)^{n+1} afrac{2 K(theta_n)}{rho + r_0} e^{-ik(rho+r_0)}/

所以，如果分出m个环带，就有

E(P) = E_1(P) + E_2(P)+ ……+E_m(P)/

为了方便讨论我们写成

left| E(P) right| = left|E_1(P)right| – left|E_2(P)right|+ ……pm left|E_m(P)right|/

当m为奇数时，有

left| E(P) right| = left|E_1(P)right| – left|E_2(P)right|+ ……+ left|E_m(P)right|/

经过一些数学处理，可以化简成

left| E(P) right| = frac{left|E_1(P)right|}{2} + frac{left|E_m(P)right|}{2}/

当m为偶数时，经过一些数学处理，可以化简成

left| E(P) right| = frac{left|E_1(P)right|}{2} – frac{left|E_m(P)right|}{2}/

那么关于半周期带模型的具体使用，我们要用下一节介绍的矢量图处理。