“如何证明面面垂直”这个问题看上去非常简单，但不同时候，有不同的体会。首先，我们都知道面面垂直的定义和判定定理，内容分别如下：

面面垂直的定义：二面角为直角，则两个平面互相垂直。

面面垂直的判定定理：若一个平面内一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面互相垂直。

如果用判定定理证明面面垂直，那首先需要证明线面垂直，但如何寻找一个平面内垂直于另一个平面的直线呢？

第一层次：根据面面垂直的性质定理可知，只需要在其中一个平面内寻找垂直于交线的直线，则它一定垂直于另一个平面，也就是说只需证明这条直线垂直于第一个平面即可。

但有时，在两个平面内寻找垂直于交线的直线可能都不好寻找，因此下面的第二层次所说的方法更一般化。

第二层次：根据面面垂直可推得：分别在两个平面内各寻一条直线，若这两条直线互相垂直，则必有其中一条直线垂直于另一平面（证明留作思考）。因此只需分别在两个平面内各寻一条直线，使得两条直线互相垂直，再去斟酌选择其中一条直线，证明其垂直于另一平面。

第二层次的想法是在做本学期高一下学期期末考试题第22题（1）问时，突然迸发的想法，如有不当之处，还请读者批评指正！

附题目：如图，在三棱柱 ABC-A_1B_1C_1中，平面 ACC_1A_1bot 平面 ABC ， angle A_1AC=angle ACB=60^{circ} ， C_1C=AC=2BC ， D 是 BC 的中点．

（1）证明：平面 A_1B_1Dbot 平面 BB_1C_1C ；

（2）若 BC=2，分别求过 A_1， B_1 ， D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．

答案解析