说明

最大公因式再相差一个非零常数的意义下是唯一确定的

事实上, 若d_1(x), d_2(x)是f(x), g(x)的最大公因式, 由最大公因式定义, 知

d_1(x)|d_2(x), d_2(x)|d_1(x)

可得

d_1(x)=cd_2(x)

记法

记(f(x), g(x))为f(x)和g(x)的首项为1的最大公因式.

例题

若{f(x),g(x)的公因式}={p(x),q(x)的公因式}

那么{f(x),g(x)的最大公因式}={p(x),q(x)的最大公因式}

即(f(x),g(x))=(p(x),q(x))

证明:

设c(x)是f(x),g(x)的最大公因式, 则c(x)也是p(x),q(x)的最大公因式.

p(x),q(x)的因式都能在f(x), g(x)找到相同的因式, 所以c(x)能被所有因式整除.

c(x)是p(x),q(x)的最大公因式.

公因式的存在及其求法 (辗转相除法)

用辗转相除法求最大公因式.

最大公因式存在及其求法

d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)

辗转相除法证明:

例

互素多项式

定义

设f(x), g(x) in P[x], 如果(f(x), g(x))=1,
称f(x)与g(x)互素(也称互斥).

易知, 两个互素多项式的公因式只有零次多项式.

充分必要条件

f(x), g(x) 互素 Leftrightarrow exist u(x) exist v(x) in P [x], (f(x), g(x))=1

性质

若(f(x), g(x))=1, f(x)|g(x)h(x), 则f(x)|h(x)

证明:

because u(x)f(x)+v(x)g(x)=1

therefore u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x)

because f(x)|g(x)h(x), f(x)|f(x)

therefore f(x)|u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)

therefore f(x)|h(x)

推论

若f_1(x)|g(x), f_2(x)|g(x) 且 (f_1(x), f_2(x))=1, 则f_1(x)f_2(x)|g(x)

证明:

because g(x)=f_1(x)p(x), f_2|g(x)

therefore f_2(x)|f_1(x)p(x)

because (f_1(x), f_2(x))=1

therefore f_2(x)|p(x)

therefore p(x) = f_2(x)q(x)

therefore g(x)=f_1(x)f_2(x)q(x)

therefore f_1(x)f_2(x)|g(x)

最小公倍式

设f_1(x),f_2(x),cdots,f_m(x),C(x)in P[x]

其中f_1(x),f_2(x),cdots,f_m(x)不会为0

如果:
(1) f_i(x)|C(x), i = 1,2,cdots,m
(2) 设f_i(x)|h(x), 有C(x)|h(x), i=1,2,cdots,m

记为[f_1(x),f_2(x),cdots,f_m(x)]

性质

互素性不随数域的扩大而扩大.