事实上, 若d_1(x), d_2(x)是f(x), g(x)的最大公因式, 由最大公因式定义, 知
d_1(x)|d_2(x), d_2(x)|d_1(x)
可得
d_1(x)=cd_2(x)
记(f(x), g(x))为f(x)和g(x)的首项为1的最大公因式.
若{f(x),g(x)的公因式}={p(x),q(x)的公因式}
那么{f(x),g(x)的最大公因式}={p(x),q(x)的最大公因式}
即(f(x),g(x))=(p(x),q(x))
设c(x)是f(x),g(x)的最大公因式, 则c(x)也是p(x),q(x)的最大公因式.
p(x),q(x)的因式都能在f(x), g(x)找到相同的因式, 所以c(x)能被所有因式整除.
c(x)是p(x),q(x)的最大公因式.
用辗转相除法求最大公因式.
d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)
设f(x), g(x) in P[x], 如果(f(x), g(x))=1,
称f(x)与g(x)互素(也称互斥).
易知, 两个互素多项式的公因式只有零次多项式.
f(x), g(x) 互素 Leftrightarrow exist u(x) exist v(x) in P [x], (f(x), g(x))=1
若(f(x), g(x))=1, f(x)|g(x)h(x), 则f(x)|h(x)
because u(x)f(x)+v(x)g(x)=1
therefore u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x)
because f(x)|g(x)h(x), f(x)|f(x)
therefore f(x)|u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)
therefore f(x)|h(x)
若f_1(x)|g(x), f_2(x)|g(x) 且 (f_1(x), f_2(x))=1, 则f_1(x)f_2(x)|g(x)
because g(x)=f_1(x)p(x), f_2|g(x)
therefore f_2(x)|f_1(x)p(x)
because (f_1(x), f_2(x))=1
therefore f_2(x)|p(x)
therefore p(x) = f_2(x)q(x)
therefore g(x)=f_1(x)f_2(x)q(x)
therefore f_1(x)f_2(x)|g(x)
设f_1(x),f_2(x),cdots,f_m(x),C(x)in P[x]
其中f_1(x),f_2(x),cdots,f_m(x)不会为0
如果:
(1) f_i(x)|C(x), i = 1,2,cdots,m
(2) 设f_i(x)|h(x), 有C(x)|h(x), i=1,2,cdots,m
记为[f_1(x),f_2(x),cdots,f_m(x)]
互素性不随数域的扩大而扩大.
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