目錄：

反函數，高中知識，但需要復習一下。

一、映射與逆映射

如圖：

• 集合X,Y
• 映射 f:X to Y
• 映射 g: Yto X
• f,g 都是單射。

如果對任意 x in X 都有：

gcirc f (x) =x \

那麼就稱 g 是 f 的逆映射。記作：

g= f^{-1} \

結合圖來討論一些問題：

• f 和 f^{-1}（也就是g) 是不同的映射，因為它們的原象集和象集不同！
• y=f(x) 和 x=f^{-1}(y) 表示的是不同的映射。原因和上面一樣！！

逆映射存在的必要條件：

• 直接映射是單射（或者一一映射）

否則逆映射不存在！

二、函數與反函數

把前節內容中所有

• “映射”換成“函數”
• “逆” 換成 “反”
• ”單射 一一映射“ 換成” 單調函數“

前節所有結論成立。

這裡再補一個幾何上的結論：

• 直接函數與反函數關於 y=x 軸對稱。

三、反函數的求法

設函數為 y=f(x)，定義域 xin X, 值域 y in Y。按照以下步驟求解：

• y=f(x) 在定義域 X 上是不是單調函數？如果不是，給出結論，沒有反函數！如果是，繼續下一步：
• 交換 x,y 的位置，寫出 x=f(y) 。記著此時變成瞭 x in Y,yin X ！
• 根據上面的等式解出 y=g(x)。記著此時變成瞭 x in Y,yin X！
• 寫出完整答案：

y=f^{-1}(x)=g(x), color{red}{left(xin Y, yin X right)} \

紅色部分不可少！至少要寫出定義域！！！

接下來做幾個簡單的練習：

• 例1： 求 y=x^2, x in [0,2] 的反函數。

解：直接函數在其定義域內單調遞增，因此有反函數，於是按上述步驟：

x=y^2 ,quad x in [0,4]\ y= sqrt{x} , quad x in [0,4] \

綜上：題中直接函數的反函數為y= sqrt{x} , quad (x in [0,4]) 。

• 例2：求 y=e^x,(xin R) 的反函數。

解：直接函數在其定義域內單調遞增，因此有反函數，於是按上述步驟：

x= e^y, xin (0,+infty) \ y = ln x , xin (0,+infty) \

綜上：題中直接函數的反函數為y = ln x , (xin (0,+infty)) 。

當然，熟練過後也可以最後再來考慮定義域。但仍然要強調反函數的定義域必須給出！！！

• 例3：求 y=sin x,(xin R) 的反函數。

解： 直接函數在其定義域內為周期函數，不單調！因此沒有反函數！！！！

這是最常犯的錯誤。所謂反三角函數，都是在原三角函數在特定區間上的反函數。

下面來詳細討論這些反三角函數的基本形式：

四、反三角函數

反三角函數的基本形式都是在特定的條件下定義的，它們並不直接代表三角函數的反函數，而是在特定區間上的三角函數的反函數。

• 反正、餘弦函數

begin{array}{|c|c|c|c|} hline text { 反三角函數 } & text { 三角函數} & text {定義域} & 值域 \ hline y=arcsin (x) & x=sin (y) & -1 leq x leq 1 & -frac{pi}{2} leq y leq frac{pi}{2} \ hline y=arccos (x) & x=cos (y) & -1 leq x leq 1 & 0 leq y leq pi \ hline end{array}

8a2d16f90e890bcde9c13507e48241c6

• 反正、餘切函數

begin{array}{|c|c|c|c|} hline text { 反三角函數 } & text { 三角函數} & text {定義域} & 值域 \ hline y=arctan (x) & x=tan (y) & -infty le x +infty & -frac{pi}{2}<y<frac{pi}{2} \ hline y=operatorname{arccot}(x) & x=cot (y) & -infty le x +infty & 0<y<pi \ hline end{array}

e3cd75ee5fa2f59e100703b5874632d6

• 反正、餘割函數

begin{array}{|c|c|c|c|} hline text { 反三角函數 } & text { 三角函數} & text {定義域} & 值域 \ hline y=operatorname{arcsec}(x) & x=sec (y) & x leq-1 text { or } 1 leq x & 0 leq y<frac{pi}{2} text { or } frac{pi}{2}<y leq pi \ hline y=operatorname{arccsc}(x) & x=csc (y) & x leq-1 text { or } 1 leq x & -frac{pi}{2} leq y<0 text { or } 0<y leq frac{pi}{2} \ hline end{array}

五、與反三角函數有關的反函數舉例

• 例4：求 y=sin x , xin[frac{1}{2}pi,frac{3}{2}pi] 的反函數。

解：該函數在其定義域內單調遞減，因此有反函數。

註意：該函數的反函數並不是 y=arcsin x，因為它的定義域和原直接函數的值域不同！

要利用上節的結論，就必須要原直接函數中 sin 函數中的自變量變成在 [-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] 中的角。

此時不妨考慮這種寫法：

y= sin u Leftrightarrow u= arcsin y,uin [-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] \

那麼顯然，如果我們令 u= pi-x，那麼由 xin[frac{1}{2}pi,frac{3}{2}pi] 就能得到 uin [-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] 。而註意到

sin (pi-x) = sin x \

於是原直接函數就可以寫成：

y = sin (pi-x), xin[frac{1}{2}pi,frac{3}{2}pi] \

那麼此時替換 x,y 的位置：

x= sin (pi-y), xin[-1,1] \

解出反函數，這裡慢慢寫，不著急：

begin{align} &x= sin (pi-y) \ Rightarrow & quad x= sin (pi-y) \ Rightarrow & quadarcsin x=pi-y \ Rightarrow & quad y=pi-arcsin (x) \ end{align} \

於是得到最終結果，題中函數的反函數為：

y=pi-arcsin (x), xin[-1,1] \

再看一眼圖象，對稱性基本可以目測：

註意：從圖中也可以看出，如果沒有定義域的限制，這種對稱性也就不存在。

這個例子的關鍵其實是引入瞭一個中間變量 u= pi-x， 從而將原直接函數變回瞭基本的形式

y = sin u Leftrightarrow arcsin y = u , uin [-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] \

那麼從這個角度來理解，它本質上就是復合函數的反函數。

六、復合函數的反函數

這裡我們通過一個稍復雜的函數來鞏固一下這個問題：

• 例5：求 y = sinfrac{1-x}{1+x},xin[0,2] 的反函數。

解：這裡仍然要先考慮它的單調性。這裡為方便起見我們直接畫出圖象：

c80af9975f021bc0dd79462c09468618

可以清楚地看到，該函數在其定義域上是單調遞增的，因此反函數存在。

於是進入下一步，此時仍然是要考慮 sin 的變量范圍。那麼有瞭上面的經驗這裡就比較好辦瞭，直接令 u=frac{1-x}{1+x}，註意到 xin[0,2] 時 u in [-frac{1}{3},1] subset [-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] （註意這步是保證後面可行的關鍵）。於是原直接函數就可以寫為：

y = sin u Leftrightarrow arcsin y = u \

亦即：

arcsin y = frac{1-x}{1+x} \

此時交換 x,y 得到：

arcsin x = frac{1-y}{1+y} Rightarrow color{red}{y= frac{1-arcsin x}{1+arcsin x}} \

這時再次註意，我們還要求出定義域。當然這也簡單，由於原直接函數是單調函數，因此它的值域為：

[sinfrac{1-2}{1+2},sinfrac{1-0}{1+0}] \

即：

color{red}{[sin (-frac{1}{3}),sin 1]} \

綜合這兩個部分我們就得到瞭原直接函數的反函數：

y= frac{1-arcsin x}{1+arcsin x}, xin{[sin (-frac{1}{3}),sin 1]} \

再看看圖象：

完美對稱！

七、小結一下

這裡我們簡單回顧瞭一下反函數的概念，特別強調瞭：

• 隻有單調函數才有反函數！因此反三角函數並不是三角函數的反函數！！！而是在特定區間上的三角函數的反函數。
• 在討論反函數時一定要註意定義域（和值域）。弄清這一點也就更加清楚： f 和 f^{-1} 的關系，y=f(x) 和 x=f^{-1}(y) 的關系。
• 在掌握瞭上述內容的前提之下，我們引出瞭復合函數的反函數的兩個例子。用這兩個例子的方法我們可以解決更為復雜的問題，同時也通過這兩個例子展示瞭反函數存在的前提(單調)和定義域的重要性。