前言

老实说我从中学开始就对圆锥曲线不怎么待见，到现在依旧坚持中学数学应该强调线性代数和概率统计，弱化几何。

所以这部分内容会比较基础，后续会考虑在SP部分增加仿射几何。

椭圆的定义

上回我们说了圆，这次我们来看和圆很相似的图形，椭圆。

椭圆的几何定义有两种，其一是到两个点距离之和为常数。

其二是任意圆锥曲线的通用定义，到一点和到一直线的距离之比为常数。

我们暂时先考虑第一种定义，如图：

AB是两个定点，椭圆上的点C到AB的距离之和为常数，为了方便计算记|AC|+|BC|=2a。

同时这也是椭圆中最长的弦长，即图中x轴和椭圆的割线，被称为长轴。

相应地，椭圆中最短的弦长，即图中y轴和椭圆的割线，被称为短轴，为了便于计算记作2b。

A和B就被称为椭圆的焦点，同样是为了方便计算，记|AB|=2c称为焦距。

有结论：

​ b^2=a^2-c^2iff a^2=b^2+c^2

练习：证明这个结论。

接着我们计算椭圆方程：

​sqrt{(x+c)^2+y^2}+sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a / (x+c)^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2 / sqrt{(x-c)^2+y^2}=displaystylefrac{a^2-cx}{a}/ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2

根据abc之间的关系，再化简得到标准方程：

​ displaystylefrac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1

这里要注意，长轴的长度应该要大于短轴，即a大于b。

如果a=b，结果就是圆，几何性质与椭圆有所差别。

而如果a小于b，我们只需要交换x和y就行，此时椭圆的焦点和长轴都在y轴上：

displaystylefrac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1

圆锥曲线的通用定义

古希腊的阿波罗尼斯对于圆锥曲线有非常深入的研究，当时他发现圆锥曲线满足到一点和到一直线的距离之比为常数。

拿椭圆来举例，我们在之前的计算中有这么一步：

sqrt{(x-c)^2+y^2}=displaystylefrac{a^2-cx}{a}

变形之后：

sqrt{(x-c)^2+y^2}=displaystylefrac{c}{a}(frac{a^2}{c}-x)

左边是椭圆上点到右焦点(c,0)的距离，右边括号内是到定直线​ x=displaystylefrac{a^2}{c} 的距离，两者的比值为定值，被称为离心率：

e=displaystylefrac{c}{a}

对于椭圆来说，离心率应该在0和1之间，离心率越大椭圆就越扁：

而离心率为0时只有一个点。

用到定点和定直线的距离之比为定值，即离心率的方法来定义，对所有圆锥曲线有效。

如果离心率等于1，椭圆就不再能闭合，变成了抛物线，大于1，结果就是双曲线。

定直线则被称为准线。

圆锥曲线上的点到焦点的距离则被称为焦半径，利用准线可知右焦半径为|a-ex|。

练习：计算左焦点对应的准线以及左焦半径。

阿波罗尼斯圆

还是阿波罗尼斯，他不仅找到了圆锥曲线的另一种定义，也找到了圆的另一种定义：

一个点到两个定点的距离之比为定值的曲线，是圆。

如图，CD是两个定点，DE和CE的比值为定值所形成的图形是圆：

以两定点的中点作为原点，建立坐标系，设两点为(-t,0)和(t,0)，则有：

sqrt{(x+t)^2+y^2}=ksqrt{(x-t)^2+y^2}/ (x-displaystylefrac{k^2+1}{k^2-1}t)^2+y^2=(frac{2kt}{k^2-1})^2

于是这是一个圆方程。

探索：如何用几何方法证明阿波罗尼斯圆？（角平分线定理）