老实说我从中学开始就对圆锥曲线不怎么待见,到现在依旧坚持中学数学应该强调线性代数和概率统计,弱化几何。
所以这部分内容会比较基础,后续会考虑在SP部分增加仿射几何。
上回我们说了圆,这次我们来看和圆很相似的图形,椭圆。
椭圆的几何定义有两种,其一是到两个点距离之和为常数。
其二是任意圆锥曲线的通用定义,到一点和到一直线的距离之比为常数。
我们暂时先考虑第一种定义,如图:
AB是两个定点,椭圆上的点C到AB的距离之和为常数,为了方便计算记|AC|+|BC|=2a。
同时这也是椭圆中最长的弦长,即图中x轴和椭圆的割线,被称为长轴。
相应地,椭圆中最短的弦长,即图中y轴和椭圆的割线,被称为短轴,为了便于计算记作2b。
A和B就被称为椭圆的焦点,同样是为了方便计算,记|AB|=2c称为焦距。
有结论:
b^2=a^2-c^2iff a^2=b^2+c^2
练习:证明这个结论。
接着我们计算椭圆方程:
sqrt{(x+c)^2+y^2}+sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a / (x+c)^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2 / sqrt{(x-c)^2+y^2}=displaystylefrac{a^2-cx}{a}/ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2
根据abc之间的关系,再化简得到标准方程:
displaystylefrac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1
这里要注意,长轴的长度应该要大于短轴,即a大于b。
如果a=b,结果就是圆,几何性质与椭圆有所差别。
而如果a小于b,我们只需要交换x和y就行,此时椭圆的焦点和长轴都在y轴上:
displaystylefrac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1
古希腊的阿波罗尼斯对于圆锥曲线有非常深入的研究,当时他发现圆锥曲线满足到一点和到一直线的距离之比为常数。
拿椭圆来举例,我们在之前的计算中有这么一步:
sqrt{(x-c)^2+y^2}=displaystylefrac{a^2-cx}{a}
变形之后:
sqrt{(x-c)^2+y^2}=displaystylefrac{c}{a}(frac{a^2}{c}-x)
左边是椭圆上点到右焦点(c,0)的距离,右边括号内是到定直线 x=displaystylefrac{a^2}{c} 的距离,两者的比值为定值,被称为离心率:
e=displaystylefrac{c}{a}
对于椭圆来说,离心率应该在0和1之间,离心率越大椭圆就越扁:
而离心率为0时只有一个点。
用到定点和定直线的距离之比为定值,即离心率的方法来定义,对所有圆锥曲线有效。
如果离心率等于1,椭圆就不再能闭合,变成了抛物线,大于1,结果就是双曲线。
定直线则被称为准线。
圆锥曲线上的点到焦点的距离则被称为焦半径,利用准线可知右焦半径为|a-ex|。
练习:计算左焦点对应的准线以及左焦半径。
还是阿波罗尼斯,他不仅找到了圆锥曲线的另一种定义,也找到了圆的另一种定义:
一个点到两个定点的距离之比为定值的曲线,是圆。
如图,CD是两个定点,DE和CE的比值为定值所形成的图形是圆:
以两定点的中点作为原点,建立坐标系,设两点为(-t,0)和(t,0),则有:
sqrt{(x+t)^2+y^2}=ksqrt{(x-t)^2+y^2}/ (x-displaystylefrac{k^2+1}{k^2-1}t)^2+y^2=(frac{2kt}{k^2-1})^2
于是这是一个圆方程。
探索:如何用几何方法证明阿波罗尼斯圆?(角平分线定理)