來源：微信公眾號@中國數學會（原創）

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摘要：中國古代數學在人類歷史上是熠熠生輝的！

關鍵詞：中國古代數學，《九章算術》

談起古代數學，很多人都知道古希臘曾在幾何學中獲得瞭偉大成就，但我們對中國古代數學曾經的歷史卻沒那麼瞭解。實際上，我國古代對於數學的研究也是非常深刻並且很輝煌的，對於中華民族乃至人類文明的發展都做出瞭很大貢獻。下面，我們就把中國古代數學的發展分為三部分，為大傢簡單介紹一下我們自己的數學發展歷史。

一、起源

圖片1

我們國傢源遠流長、起源甚早，在祖先從蠻荒走向開化的路途中，少不瞭對於數字和形狀的研究與琢磨。早在殷商時期（公元前1400——公元前1100年）挖掘的甲骨文中，就已經出現瞭13種計數單字。從“一”到“三萬”，其中已經蘊含瞭十進制的規則。而對於幾何知識來說，根據當時的傳說，伏羲創造瞭“規”用來畫圓，“矩”用來畫方形。後來大禹治水之時，便左準繩、右規矩的來規劃方向和形狀。人們後來用這些工具丈量土地、測算山谷、計算產出、制定歷法。商朝之後的周朝，更是把數學作為瞭名門貴族必須學習的六藝之一。但是在那個遠古時期，普通百姓想要接觸數學、學習數學知識還是非常困難的。

981db2e2e5054708b2c014a6a63d1b35圖片2-規矩鏡

到瞭有史可追的春秋時期，皇權衰弱、諸王興起。生產力的不斷提高導致百姓必須要掌握一定的數學知識才能更好的為官、從商、務農。這時，大量的私人學塾出現。最晚在春秋末年人們就已經普遍的掌握瞭十進制的計數方法，並且可以輕易使用“算籌”這種工具進行運算。甚至人們已經熟練運用起瞭九九乘法口訣、整數四則運算和分數。這在世界史的同時期都是領先於人的。

二、《九章算術》

春秋而後便到瞭戰國和兩漢，在這個時間段，諸侯國都基本完成瞭封建制度的完善。此時是中國古代一次思想進步爆發時期，不論是哲學還是科學，都開始瞭百傢爭鳴的局面。這為各種科學技術的發展都提供瞭肥沃的土壤，也就是在此不久以後，我國古代偉大的數學專著《九章算術》也初露雛形。

秦始皇結束瞭戰國紛亂，一統華夏江山，按理說這時應該是數學傢們集中起來，共同推動數學進步的一個時期，不過秦始皇的暴政加上他焚書坑儒的行動，給當時的文化產業造成瞭毀滅性的打擊。這場文化浩劫持續到劉邦推翻暴政成立漢朝，數學和其他科學才得以重新發展。也就是在漢朝時期，人們開始進行先秦文化典籍的整理和搶救。而其中數學上搶救工作的結晶便是中國第一部數學專著《九章算術》被正式整理出來。它的作者已經不可考證，我們現在認為它是由歷代各傢所整理修訂，逐漸形成定稿的。

圖片3-九章算術有很多整理版本，初稿已不可尋

《九章算術》涵蓋瞭戰國、秦朝、漢朝時期的數學成就，它還先進性的提到瞭分數問題和盈不足問題。《九章算術》按照不同的用途和問題的性質分為方田、粟米、衰分等九章。其中講述瞭平面幾何的計算、比例的算法、通過面積體積求邊長徑長、還介紹瞭開平方開立方的方法。特別是最後三章盈不足、方程、勾股更是體現出瞭先輩們的智慧。

盈不足章節中提到瞭三種類型的盈虧問題，這是領先世界的成果，在傳到西方以後，也造成瞭巨大影響。方程主要是研究一次方程組的解法，通過分離系數來表示線性方程也就是現在我們所說的“矩陣”；而其中的直除法是世界上最早的完整線性方程解法，在西方直到17世紀才提出瞭他們的完整解法。還引進並使用瞭負數的概念，這是世界數學史上的一次偉大突破——人類第一次突破瞭正數的范圍，拓展瞭數系。在外國的數學發展史上，7世紀的印度才認識瞭負數。

《九章算術》的最後一章“勾股”更是赫赫有名瞭。我們大多數人所熟知的勾股定理就是出自於九章算術的最後一章，書中提出瞭勾股數問題的通解公式。而在西方，不論是畢達哥拉斯還是歐幾裡得都隻是得到瞭通解公式的幾個特殊情況（如等腰直角三角形），直到公元300年左右他們才取得相似結果。而這已經比《九章算術》的出現晚瞭三百多年。

183d9c27c58f1bbd93a833362a926014圖片4-九章算術中對於勾股提出的問題

《九章算術》的出現標志著我國古代數學形成瞭一個完整的體系。它是當時世界上最先進的數學寶典。在西方數學傳入之前，朝鮮、日本等東亞國傢都把《九章算術》作為數學教科書。同時其中一些篇章問題也經過印度和阿拉伯人傳到瞭歐洲，對歐洲代數的復興也起到瞭推動的作用。雖然《九章算術》也有著不能忽視的缺點，譬如缺少數學概念的定義和推導與證明。但是它對我國、對世界數學發展的貢獻是無法抹去的。

三、發展

漢朝以後，進入瞭魏晉南北朝時期，在這個階段，出現瞭我國古代偉大的三位數學傢——劉徽與祖沖之父子。他們的研究也與數學中一直非常神秘的“圓周率”發生瞭聯系。

劉徽出生在西晉前後，他通過對《九章算術》中缺少註解、過程的缺陷進行瞭註解，著作瞭《九章算術註》一書。書中不但詳細地解讀瞭《九章算術》提到的各種問題。還在其基礎上提出瞭極限思想，並且創立瞭“割圓術”這一突破性的數學方法。圓內接正多邊形的邊數無限增加，其周長就愈逼近圓周長。通過計算圓內接正一百九十二邊形的面積，劉徽得出瞭圓周率約為3.1416。

圖片5-祖沖之

而後的祖沖之父子則在割圓術的基礎上把圓周率精確到瞭小數點後7位的π值。得出瞭圓周率超過3.1415926但不足3.1415927，甚至還算出瞭兩個近似分數值，密率355/113和約率22/7，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值（公元466年）。現在我們可以輕易地算出圓周率的值，但在過去，歐洲直到十六世紀數學傢們才算出同樣的結果。祖沖之的計算領先瞭世界將近千年。

圖片6-唐代精美的繡工設計與幾何學的發展關系緊密

魏晉南北朝之後便是唐朝。而從唐朝中葉到宋元時期，中國數學的發展達到瞭歷史高潮。早在隋唐時期，中央直屬機構國子監中便成立瞭算術館，同時設立瞭“算學博士”、“助教”來指導學生的學習。唐代的數學傢李淳風在公元656年左右為《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》等十部數學典籍作註，也就是著名的《算經十書》。

到瞭宋元時期，數學研究的繁榮頂點出現，在這一時期也湧現出瞭大批有成就的數學傢。其中以“宋元四大傢”為代表。在這個百花齊放的年代，中國古代數學發現瞭增乘開方、開四次方解法、開高階等差級數求和、提出弓形弧長近似公式、負系數方程。以及朱世傑討論的高次方程組的解法、高階等差數求和還有高次內插法等等。美國著名科學史傢曾評論朱世傑是“漢民族的、他所生存時代、同時也是貫穿古今的一位最傑出數學傢。”

圖片7-宋元時期，繪畫、科學、數學都進入瞭古代最輝煌的時期

而到瞭之後的明清時期，由於西方數學著作的引入，中國的數學研究逐漸轉入瞭低迷。不但在數學想法上缺少創新，而且問題逐漸脫離瞭實際生活的背景。這也是數學發展思想的轉化和演變的過程。

四、小結

中國數學起源上古到西漢末期，發展在隋朝並且到元朝後期達到瞭頂點，之後一直到清朝中期發展的都比較緩慢。我們統計瞭中國古代數學的一些主要發展成果。

十進制記數法和零的使用

二進制的思想起源（周易）早於世界2000年

幾何思想起源（戰國《墨經》）早於世界100多年

勾股定理（西周人商高）早於世界550年

幻方（《論語》《書經》）早於世界600年

分數運算及小數使用（公元一世紀《九章算術》）領先世界500年，而運用最小公倍數和小數都領先瞭1000年

負數（《九章算術》）領先印度600年，領先世界1600年

盈不足術（《九章算術》）領先世界1200年

方程算法（《九章算術》）領先世界600年

10.圓周率（“祖率”）保持精確記錄約千年

但是我國古代數學研究有兩個遺憾，一是由於地理、文化差異的影響，我國古代數學的絕大多數成就沒有傳播到全世界，而與外國學者和學術界的交流極其有限。二是公理化體系的缺失，沒有嚴謹的推理過程，很難有更深入的探討。

ad13156d6406385f4083ee9bdb653682圖片8-我國幅員遼闊，從遠古到近代，始終自給自足缺乏交流

中國古代數學最明顯的特點是解決的往往是生活中實際遇到的問題；偏重於問題本身的求解，而非一些抽象的概念；往往列出明確的程序化的算法，來告訴你如何一步一步做下去。例如《九章算術》把當時人們關心的數學問題分成九類，對這九類大問題的不同小問題分別給出解決的方法。它給出的解決方法是算法化的，或者說是程序化、機械化的，使用者無需思考問題本身，隻要按照算法正確操作下去，就能獲得想要的結果。比方說計算物體的體積或面積，通過書中介紹的方法，即使是沒有相關幾何學背景，隻學過簡單算術的人也可以一步一步計算出相應的結果。

圖片9-我國古代幾何學更多的是為實際生產服務

西方古代數學的方法和思路與中國古代數學有著非常明顯的差別。古希臘的數學主要遵循的是公理定理的證明體系：給出若幹抽象的數學公理，然後通過推理一步一步推出各種定理。例如：幾何原本中各個定理的證明，都是先給出事實存在的條件，再進行下一階段的推理。這套基於公理的推理體系有著高度的嚴謹性，為近代數學的繁榮發展提供瞭強有力的支持，當今世界的主流數學主體上繼承的也是西方的推理體系。

圖片10-從發展方向上講，外國率先建立瞭公理化的研究體系

中國古代數學曾經非常輝煌，雖然有些典籍已經遺失。但現存的著作依舊讓我們不禁感嘆古代數學傢的聰明才智。近幾十年來，特別是隨著計算機技術的發展，算術算法體系的優點被越來越多地發現，其被承認的范圍也越來越廣，認可的人也越來越多。舉一個例子，幾乎所有的幾何定理，可以完全不通過西方的公理、定理體系，而是通過給出一個固定的算法，在計算機上計算出定理是否正確。又例如四色定理是十分著名的數學難題，這個定理到目前為止還沒有公理體系的證明方法。但在1976年，兩個青年數學傢哈肯和阿佩爾使用瞭機械化的方法，在計算機上算瞭1200個小時，成功計算出這個定理是正確的。