一、费马点及结论
费马点:就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
费尔马的结论:对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点;对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点。
二、费马点结论的证明
例:P为△ABC内任一点,请找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?
(1)当△ABC各角不超过120°时,如下图。
解析:如图,把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′,连接PP′.
则△APP′为等边三角形,AP= PP′,P′C′=PC,
所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′.
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点,BC′为定长 ,所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时,PA+PB+PC最小.
这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°,
∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°,
∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°
因此,当的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是120°,可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧,两弧在三角形内的交点就是P点。
(2)当△ABC有一个内角超过120°时,如下图。
解析:如图,延长BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,并且使得AP'=AP, PC'=PC,(说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转)
则△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中,AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以A是费马点
因此,当有一内角大于或等于120°时,所求的P点就是钝角的顶点.
三、费马点的求法
当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时,分别以AB、BC、CA为边,向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE,然后连接DC、BE,则二线交于一点,记作点P,则点P就是所求的费马点。
四、费马点的验证
1.△ABC是等边三角形,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点。则可得出结论:
①AP=BP=CP;
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°;
③△ABP、△ACP、△BCP全等;
④点P是垂心,是△ABC各边的高线的交点;
⑤点P是△ABC各边的中线的交点;
⑥点P是内心,是在三角形三个内角的角平分线的交点;
⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小。
2.△ABC是等腰三角形,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点。则可得出结论:
①∠APB=∠BPC=∠APC=120°;
②△ABP与△ACP全等;
③△BCP为等腰三角形;
④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小。
3.△ABC是直角三角形,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点。则可得出结论:
①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小;
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
五、费马点与中考题
例1(2008年广东中考题)已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为,求此正方形的边长.
分析:连接AC,发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到三个顶点的距离之和,这实际是费尔马问题的变形,只是背景不同.
解:如图1,连接AC,把△AEC绕点C顺时针旋转60°,得到△GFC,连接EF、BG、AG,可知△EFC、△AGC都是等边三角形,则EF=CE.
又FG=AE,
∴AE+BE+CE = BE+EF+FG(图2).
∵ 点B、点G为定点(G为点A绕C点顺时针旋转60°所得).
∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值,此时E、F两点都在BG上(图2).
注:本题旋转△AEB、△BEC也都可以,但都必须绕着定点旋转,不妨一试.
例2(2009年湖州中考题)若点P 为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则点P叫做△ABC的费马点.
(1) 若P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4, 则PB的值为;
(2)如图,在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′,连结BB′.求证:BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.
解:(1)利用相似三角形可求PB的值为2根号3.
(2)设点P为锐角△ABC的费马点,即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
如图,把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE,连结PE,则△EPC为正三角形.
∵∠B′EC = ∠APC =120°,∠PEC=60°
∴∠B′EC+∠PEC=180°
即 P、E、B′三点在同一直线上
∵∠BPC=120°, ∠CPE=60°,
∴∠BPC +∠CPE =180°,
即 B、P、E 三点在同一直线上
∴ B、P、E、B′四点在同一直线上,即BB′过△ABC的费马点P.
又PE=PC,B′E= PA,
∴ BB′=E B′+PB+PE=PA+PB+PC.
注:通过旋转变换,可以改变线段的位置,优化图形的结构.在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,一般地,当题目出现等腰三角形(等边三角形)、正方形条件时,可将图形作旋转60°或90°的几何变换,将不规则图形变为规则图形,或将分散的条件集中在一起,以便挖掘隐含条件,使问题得以解决.
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