一、费马点及结论

费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。

费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。

二、费马点结论的证明

例：P为△ABC内任一点，请找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

（1）当△ABC各角不超过120°时，如下图。

解析：如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．

则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，

所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．

点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长 ，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．

这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，

∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，

∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°

因此，当的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点。

（2）当△ABC有一个内角超过120°时，如下图。

解析：如图，延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）

则△APC≌△AP'C'

∵∠BAC≥120°

∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°

∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'

∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC

所以A是费马点

因此，当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．

三、费马点的求法

当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。

四、费马点的验证

1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论：

①AP=BP=CP；

②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；

③△ABP、△ACP、△BCP全等；

④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；

⑤点P是△ABC各边的中线的交点；

⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；

⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小。

2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论：

①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；

②△ABP与△ACP全等；

③△BCP为等腰三角形；

④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小。

3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论：

①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小；

②∠APB=∠BPC=∠APC=120°

五、费马点与中考题

例1（2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．

分析：连接AC，发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同．

解：如图1，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．

又FG=AE，

∴AE+BE+CE = BE+EF+FG（图2）．

∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．

∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（图2）．

注：本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，不妨一试．

例2（2009年湖州中考题）若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则点P叫做△ABC的费马点．

（1） 若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 则PB的值为；

（2）如图，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．

解：（1）利用相似三角形可求PB的值为2根号3．

（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°

如图，把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．

∵∠B′EC = ∠APC =120°，∠PEC=60°

∴∠B′EC+∠PEC=180°

即 P、E、B′三点在同一直线上

∵∠BPC=120°, ∠CPE=60°，

∴∠BPC +∠CPE =180°，

即 B、P、E 三点在同一直线上

∴ B、P、E、B′四点在同一直线上，即BB′过△ABC的费马点P．

又PE=PC，B′E= PA，

∴ BB′=E B′+PB+PE=PA+PB+PC．

注：通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构．在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．