零點存在定理雖然在高中課本上作為一個定理出現，但一直是最沒有人權的（或許這個稱號還有一個競爭對手，平面向量基本定理）。何哉？太過“顯然”瞭。很多同學第一次學這個定理的時候，估計都會內心OS：“就這？這麼明顯的東西還配叫定理？”看看自己知道的其他定理，什麼奔馳定理梅涅勞斯定理塞瓦定理多高大上啊，於是恨不得把零點存在定理從定理這個傢族中除名。每當看到同學對這個定理嗤之以鼻、不屑一顧，我都要捶胸頓足，怒其不爭。可當我試圖告訴他們零點存在定理的美妙之處時，又總是在與他們的爭辯中落到下風。

那麼零點存在定理真的沒有意義嗎？當然不是。如果你也對它抱有上面這樣的偏見，並且想要有所改觀，那請認真看完這篇文章。

一.零點存在定理的使用條件（必看）

先來測試一下你對零點存在定理的熟悉程度：請完整敘述出零點存在定理。（別急著往下翻，強烈建議自己拿筆寫一寫，與下面的答案對照）

零點存在定理：設函數 f(x) 在閉區間 left[ a,b right] 上連續，且 f(a)cdot f(b)<0 ，則 f(x) 在開區間 left( a,b right) 上存在零點。

重點在於第一句話，它很容易被忽略，卻是整個定理的精華所在。“閉區間”有沒有寫成開區間？“連續”這個條件有沒有忘？

首先註明一下：之所以零點存在定理在高中教材上講的不深，也略去瞭證明過程，很大程度上是因為對“連續函數”這一概念沒有準確定義。這一點後面會提到，現在先感性理解即可。

我們接著來看它為什麼重要。如果改變這個條件，定理還成不成立？如果改成......

1. f(x) 不在閉區間上連續

反例如下：

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上面這個函數定義在 left[ 0,5 right] 上，它在 x=3 處發生瞭間斷，所以可能不存在零點。

你或許會說，這不是很明顯的事嗎？但你在敘述定理時就應該考慮到這一情況，否則這個很顯然的東西就成為瞭你的反例。當然，漏掉“連續”也情有可原。高中階段涉及到的都是初等函數，而初等函數在定義域內都是連續的，所以對“連續”不敏感是正常的，見得少瞭而已。

那如果隻是在開區間上連續呢？同樣不行。把上面的間斷點調整到區間端點就又是一個反例。

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2.定義域不是“區間”

為瞭過渡到對實數完備性的討論上，我決定把條件變得更加苛刻。

什麼是“區間”？如果不知道的話，可以停下來稍微想想如何定義。這樣的思考總是有益的。

所謂區間，就是 R 的一個子集 I ，對任意的 a,bin I 且 a<b ，使得任意的 a<c<b ，都有 cin I .定義域不是區間，我也不舉如 (0,1)cup(3,5) 這樣的例子，而是直接把定義域設定為有理數集 Q 。“當一個函數的定義域變成瞭有理數集，這是它的性質發生的變化。”請看函數 y=x^2-2 :

當定義域是 R 時，一切如常，圖中的這個零點就是 x=sqrt2 。但是如果把定義域限制在 Q 上呢？ sqrt2 這個根就消失瞭。這個“連續”函數又沒有瞭零點。

當然，這個“連續”的說法有些草率，畢竟這個定義域貌似是離散的。正確的做法應該是賦予 Q 以歐氏拓撲的子空間拓撲，並在 Q 作為一個度量空間的意義下重新定義“連續函數”。但是這樣就扯遠瞭。

所以此時，再看零點存在定理的這個條件：函數 f(x) 在閉區間 left[ a,b right] 上連續，確實一個字都改不瞭，隨便改動就會出現反例。這就是數學表述的嚴謹性的體現之一。下一個自然的問題就是：既然反例這麼多，零點存在定理又憑什麼正確呢？

二、零點存在定理的簡短證明（盡力看）

再次回到前面 y=x^2-2 的例子上。為什麼這個函數在 R 上有零點，在 Q 上就沒有瞭？ R 不就是比 Q 多瞭些無理數嗎。換個說法，為什麼 Q 沒有“填滿”數軸，但 R 就“填滿”瞭數軸呢？是怎樣一種性質決定瞭這一點？

答案是實數具有完備性。描述完備性有許多等價的公理（有說六大公理，七大公理，甚至還有十大公理的），我們隻介紹其中兩個（連續性公理、閉區間套定理），作為證明零點存在定理的準備。

連續性公理：設 X 和 Y 是 R 的兩個非空子集，且滿足對任意 xin X 以及 yin Y ，都有 xleq y ，則存在 cin R ，使得對任意 xin X 以及 yin Y，都有 xleq cleq y 。

形式有些抽象，不是嗎？但是記住實數滿足該性質但有理數不滿足，而實數和有理數的區別就在於無理數，就容易理解它。對於有理數集，我們劃分為兩個集合: X=left{ x|xin Q,xleq sqrt2 right} 和 Y=left{ y|yin Q ,y>sqrt2right}.那麼X中的任意元素都小於Y中的任意元素。那麼是否存在一個 cin Q ，使得對任意 xin X 以及 yin Y，都有xleq cleq y 呢？不存在。但是將同樣的劃分放在實數集裡面考慮，就存在一個 c=sqrt2 滿足上述條件。

一言以蔽之，連續性公理幫我們構造出瞭無理數。

閉區間套定理：對於任何閉區間套 I_1supset I_2supsetcdotssupset I_nsupsetcdots ，若 I_n 的長度趨於零（更準確地說，對任意 varepsilon>0 ，都存在 I_k 使得 left| I_k right|<varepsilon ），則存在唯一的一點 c ,它包含於這所有的閉區間。

簡單來說，這個閉區間套退化成瞭一個點。其證明可以用連續性公理來完成，讀者自行嘗試，我有空補出完整證明（基本上就是鴿掉瞭）。但思路是清楚的。

存在性：所有這些閉區間的左端點構成一個集合，右端點也構成一個集合，對這兩個集合應用連續性公理。 唯一性：假設存在兩個不同的c，那麼閉區間套的長度就不會趨於0.

具體細節請自行補完。

最後，我們就來到瞭零點存在定理。

零點存在定理：設函數 f(x) 在閉區間left[ a,b right] 上連續，且 f(a)cdot f(b)<0 ，則 f(x) 在開區間 left( a,b right) 上存在零點。

證明：用二分法+閉區間套定理。將區間 left[ a,b right] 平分成兩半。若在中點處函數值為零，那我們直接找到瞭這個零點；如果不為零，那麼這兩個區間中一定有一個，使函數在兩端取異號的值，將它記為第一個閉區間 I_1 。繼續平分 I_1=left[ a_1,b_1 right] ，重復上述過程，得到 I_2,I_3,cdots ,繼而得到一個閉區間套。且 I_n=[a_n,b_n] 的長度為 frac{1}{2^n} ，趨於0，滿足閉區間套定理的條件。所以閉區間套存在唯一的一個公共點 c 。

又根據閉區間套的取法，一定有 f(a_n)<0 , f(b_n)>0 .並且 lim_{n rightarrow infty}{a_n}=lim_{n rightarrow infty}{b_n}=c .那麼就有 f(c)=f(lim_{n rightarrow infty}{a_n})=lim_{n rightarrow infty}{f(a_n)}leq0 , f(c)=f(lim_{n rightarrow infty}{b_n})=lim_{n rightarrow infty}{f(b_n)}geq0 . 因此， f(c)=0 ，即存在零點。

上面證明的第二段用到瞭函數極限和連續函數的一些性質，不懂也罷。但依然可以意會。

總而言之，零點存在定理是完備性的必然推論。這一節可以沒看懂，但這句話一定要記住。無論是為瞭提升數學素養，還是為瞭裝x，都非常好用。

三、寫在最後

寫這篇文章的初衷並非真的想讓讀者完全明白零點存在定理的證明，也不想詳細展開實數的完備性，這在短短兩千個字中也沒法實現。但是我希望能夠傳遞一些思想：

1.數學是一門追求絕對嚴謹的學科，不容一點利用直覺跳步的餘地。一個定理，之所以能成為定理，就一定有其重要價值。高中數學重視計算，重視知識的實用價值，這無可厚非，畢竟不是所有人以後都會上數學系的。但是，無論數學的技巧再天花亂墜，隻要追根溯源，其基石都是一個個看似顯然的公理或定理。舍本逐末不可取。

2.我們初中就知道，一個定理包括兩部分，題設和結論。我們往往重視結論，亂用定理，卻不先驗證它是否滿足定理成立的條件。高中階段提前學習一些高等知識不是不好，但一定要學紮實，而不是當作“秒殺”的工具。不然，不是未定式還胡亂洛必達、泰勒展開而不知道什麼是餘項，寫成級數的形式卻根本不考慮收斂域，還來知乎提問為什麼自己這樣用不行，這些情況將永遠沒法停止。因為你從來就沒有真正學會它。