初看稠密集，一时也摸不著头脑。倒是说起稠密就一定会想起有理数的稠密性。

有理数稠密性

回顾数系扩充的历史，集合中任意两个元素经过某种运算得到的元素还在这个集合中，则称这个集合关于这种计算封闭。自然数集关于 + ,times 封闭，但两个自然数相减所得的数可能不再是自然数，引入减法，任意两个整数经过 +,-,times 所得的数仍是整数，自然数集被扩充为整数集，整数集关于 +,-,times 封闭。但任意两个整数相除所得的数可能不再是整数，整数集关于除法运算不封闭，在引入除法之后，整数集被扩充成有理数集，有理数集关于四则运算封闭。

对于任意相邻的两个整数而言，比如1，2，已经无法在他们之间找到另外一个整数了，不同整数之间至少相差了“1”的长度，称整数集是“离散的”。就“可以找到任意两点之间的最小距离，使得无法在相邻两整数之中找到另外一个不同的整数”这个性质来说，与整数相比，有理数集是截然不同的。对有理数而言，无法找到如同整数一样“相邻”的两个有理数，找到不同有理数之间的最小距离，无论两个不同的有理数的距离多么小，总能找到另外一个有理数夹在这两个有理数中间，得到一个更小的距离。或者也可以理解为，在数轴上取一个线段，不管这个线段多么短，总能在这个线段上找到一个有理数，称有理数这样的性质为“稠密性”。从这样的描述中容易在直观上感觉到似乎在数轴上处处都充满了有理数点，似乎关于“数系”已经完美了。从现代数学的角度，我们当然知道这是错误的，但在公元前五世纪，毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数（整数）”一度成为“当时的真理”。

发现无理数，成为数学史上第一次危机和第一次“违反直观”的概念，给了信仰“万物皆数”的毕达哥拉斯学派致命打击。从公元前470年左右希巴斯第一次提出无理数 sqrt{2} ，直到19世纪80年代初康托的出现才彻底让人们清楚完全地认识了无理数、实数的面貌。对于有理数的稠密性和实数的连续性之间的概念，一时之间无法理解清楚似乎也是可以原谅的事情，毕竟人类花了近2500年的时间才彻底搞明白。

从上述集合关于运算封闭性的角度考虑，有理数集关于开根号的运算是不封闭的，如 sqrt{2}，sqrt{3} 等，因此在有理数集中引入开根号运算，有理数集就被扩充为实数集，实数集关于四则运算和开根号运算封闭。发现这些无理数的存在，让人们意识到，直观上有理数点充满整个数轴的认识是错误的，数轴上还有许多“点”无法被有理数点填充，这些点就是无理数所在。有理数已有无穷多个，正因如此才让人难以直观地想象无穷多个却不能完全填满数轴。此时，放弃直观，从抽象思维出发才能真正理解有理数的稠密性。有理数和无理数都是无穷多个，但这两类数集之间的无穷与无穷可以比较大小吗？可以参考下面的文章，了解如何给无穷“计数”。

有理数的稠密性，从直观的角度去理解：在数轴上任意选一个线段，不管这个线段都么短，只要这个线段不是一个点，就一定能找到一个有理数。有理数在数轴上选取的任何线段中都存在，但在某个点上就可能不存在了，这就是有理数的稠密性。对实数而言，不需要在数轴上选取线段，任意选取一个点，这个点就一定是实数，这时候对数轴来说才是真正的“完整”了，没有任何的“间断点”。

从上面的分析中我们发现，所谓数轴上关于实数的完整、连续也是基于四则计算和 sqrt[n]{x} 而言的，如果未来有一天有人发现，实数集关于某种新运算不再封闭，或许就意味着实数会如同当初的有理数一样，被扩充，也会从现在的“连续”变为将来的“稠密”。

稠密集

科学的研究总是从某个特殊的发现推广到一般的规律。数学家们考虑有理数集作为一种特殊的集合，具有稠密性这样的性质，能不能性质推广到其它集合上。只有有理数集才具有稠密性吗？还是其它数集也具有稠密性，更一般地，是否其它点集（集合的元素不再是数，可能是方程或者别的东西）也具有稠密性？将稠密性推广至更加一般的集合，就是稠密集了。

定义：设是 A,B 距离空间 X 中的点集，如果 bar{B}supset A ，则 B 在 A 中稠密。

理解：

1. 集合 A,B 之间没有要求 Bsubset A 或者 Bsupset A .

2. 为什么要定义在距离空间中：接触点全体是闭包，即： O(x,varepsilon)bigcap Bne phi, 在闭包的定义中，开球 O(x,varepsilon) 中的 varepsilon 是由距离定义出的开球半径。不同的距离定义下，开球的半径也有不同的值，开球 O(x,varepsilon) 中的元素也不相同，因此讨论稠密集要有明确的距离定义。

3. 回顾有理数的例子，有理数是在实数集中稠密的，但在其它，如函数集，整数集中不一定稠密。集合的稠密性一定要说清楚在哪个集合中稠密，比如有理数集在实数集中稠密，有理数集在无理数集中稠密，但不能直接说有理数集稠密。

定义稠密集是为了定义可分空间，对稠密集的深入理解，除了理解概念中蕴含的内容，也要不断地通过一些实例加深自己的理解，最主要的是在将来的学习中，能够知道定义稠密集的目的所在，如果能够了解内涵，明白实例，知道用处，就能够将抽象的概念融会贯通了。

关于稠密集的用处，我还需学习，后续有所得再补充。