一圈是 360° ，这听起来似乎很自然，自然到不会去问为什么。我们习惯于用 360° 形容转一圈的角度，但当学习进一步深入，就开始接触一个新的用于描述角度的单位——弧度。而科学家说：“弧度让数学更简单！”那这是为什么呢？

首先说说为什么一圈是 360° 。

我们将地球绕太阳一周定义为理论上的一年。其实际所需的时间约为 365.25 天，人们为了取整方便，就定义了闰年，每隔4年出现一次，在 365 天的基础上加一天，正好也能够补偿前 3 年所累计的误差。

那有人就会问了，既然如此，为什么一圈是 360° ，而不是 365° 或是 365.25° ？

因为 360° 容易被整除， 360 的真因数除了 1 和自身以外，一共有 22 个（2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180），所以很多特殊角的角度都是整数^{[1]。另外，这也更加符合以 60 为进制的“巴比伦数字”系统[2]。}

如果说这还不具有说服力，还有一个例子，就是中国的二十八星宿(xiu，读第四音)。（看到这张图，突然想到了“物华天宝，龙光射牛斗之墟；人杰地灵，徐孺下陈蕃之榻”。）

（图片来源：Wikipedia）

由于月球绕行地球一周为 27.3 日，所行路径为白道（与黄道夹角 5.145^circ ），古人将白道圈分成 28 段，即将黄道和天赤道附近的天区划分为二十八个区域，因此月球大约每日可入宿到 28 段中的一个星宿内。二十八宿又分为四组，每组七宿，与东西南北四个方位和青龙、白虎、朱雀、玄武四种动物形象相配，称为四象^[3]。

（图片来源：Wikipedia）

（图片来源：Wikipedia）

而因为潮汐锁定而形成月球的同步自转（自转周期和公转周期相等），导致月球永远只能一面面对地球（当然这一特点和星宿划分并没有什么直接关系）^[4]。

（图片来源：Wikipedia）

总之，星宿就是以行星、恒星运动周期来划分圆周的一个典型例子。

中国人看星宿，西方人看星座。下图是 2008 年一年间纽约夜空所观察到的大熊座（Great Bear，中国称为北斗七星）的位置变化情况。可以看出，每过一年就会循环一圈^[5]。

（图片来源：Betterexplained）

以绕太阳一周为周期似乎是一个不错的方法，对于生活在地球上的人类来说，这很自然。但如果参考标准变化，就会发现这样的划分其实掺杂了太多的人为因素。

例如，如果人类生活在火星，而不是地球上，或许人们就会把一个圆周定为 680° ，因为一个火星年大约是 680 天。而对于某些建筑或土木工程人员，他们可能更习惯用梯度，即将一个圆周划分为 400 份。

（图片来源：Wikipedia）

为了避免这种任意性所带来的标准不统一，人们需要一个新的定义来定义角度。因此有了“弧度”的概念，如下图，圆的一圈(不管圆的半径大小，角度都是 2π 弧度），这是因为圆的直半径与周长之间的恒定的比例关系造成的，详细证明可见：古人是如何寻找到π的？。

弧度定义的演示 (图片来源: http://1ucasvb.tumblr.com)

可以把“度数”的定义视为是一种以自己为中心来看待角度问题的方法，而将“弧度”的定义视为是一种站在他人立场上看待角度问题的方法。听起来有些绕口。

举个例子，你站在操场中心，另一个人与你之间有一定的距离且绕着你沿圆周跑步，你要做的就是保持你的脸始终朝向那个人。假设那个人跑的长度为 S ，根据你和那个人之间的距离 r 就可以计算出你的头偏转的角度。

（图片来源：Betterexplained）

也就是说“度数”关心的是你的头偏转的角度，而“弧度”则关心的是那个人奔跑的距离。其本质区别在于参考对象变了。

弧度的定义就是：以某一点为中心（圆心点，对应于上图中的蓝色圆圈），运动点（对应于上图中的红色圆圈）绕圆心点做圆周运动的长度除以运动点到圆心点的距离。

通常写为下式：

因此，一圈是 360° 或 2π 弧度，1弧度约为 frac{360}{2π}≈57.3° 。

那么，弧度为什么会给工程带来方便呢？其原因就在于弧度是站在“运动点”的角度看问题，而不是站在“圆心点”的角度看问题。

例如，在测量某些转速时，人们通常使用的是rpm(Revolutions per minute)，即每分钟多少转，而不是每秒钟或每分钟多少度。

举一个更具体的例子，就能感受到弧度到底方便之处。假设你有一辆汽车，汽车轮胎半径2米（夸张一下），先用角度的概念提问，若车轮每秒转 2000° ，问汽车前进的速度有多快？

计算方法是：

1、计算每秒轮胎转过的圈数： frac{2000}{360}=frac{50}{9} 圈；

2、计算每秒转过的周长： 2×π×2×frac{50}{9}=frac{200π}{9} m/s 。

现在用弧度的概念提问，若车轮每秒转 6 弧度，问汽车前进的速度有多快？

计算方法是：

直接用轮胎半径乘以每秒转动的弧度： 2×6=12 m/s 。

嗯嗯，这样方便多了。果然老司机。

参考

1. ^Degree(angle);  https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(angle)
2. ^Babylonian numberals;  https://en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_numerals
3. ^Lunar node;  https://en.wikipedia.org/wiki/Lunar_node
4. ^Tidal locking;  https://en.wikipedia.org/wiki/Tidal_locking
5. ^Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians;  https://betterexplained.com/articles/intuitive-guide-to-angles-degrees-and-radians/