1. 基础知识

定义一：称复线性空间 V 上的二元复函数 (alpha,beta) 为 V 上的 Hermite 型，如果 (alpha,beta) 满足：

(1) 对任意 alpha,betain V,(alpha,beta)=overline{(beta,alpha)}

(2) 对任意 alpha_1,alpha_2,betain V,k_1,k_2inmathbb{C},

(k_1alpha_1+k_2alpha_2,beta) = k_1(alpha_1,beta)+k_2(alpha_2,beta) /

特别地，我们称 Q(alpha)=(alpha,alpha) 为 (alpha,beta) 对应的 Hermire 二次型

定义二：若 Ainmathbb{C}^{ntimes n} 满足 bar A'A=Abar A' = I_n，则称其为酉矩阵

例子一：考虑二阶特殊酉矩阵的结构

解： 设 A=begin{pmatrix} a&b / c &d end{pmatrix} in SU(2)，则由 A^* = A^{-1} = bar A' 得

begin{pmatrix} d&-b / -c &a end{pmatrix} = begin{pmatrix} bar a& bar c / bar b & bar d end{pmatrix} /

那么我们得到 a=bar d = alpha, b=-bar c = beta，其中 |alpha|^2+|beta|^2 = 1。即

A = begin{pmatrix} alpha & beta / -barbeta & baralpha end{pmatrix} /

定义三：若 Ainmathbb{C}^{ntimes n} 满足 bar A' = A，则称其为 Hermite 矩阵

定理：设 V 为 n 维酉空间，mathscr{A}inmathrm{End}(V)，则存在唯一的 mathscr{A}^*inmathrm{End}(V) 使得

(mathscr{A}alpha,beta) = (alpha,mathscr{A}^*beta),quadforall alpha,betain V /

称 mathscr{A}^* 为 mathscr{A} 的共轭变换。

证明： 设 alpha_1,ldots,alpha_n 为 V 的标准正交基，alpha,betain V 的坐标分别为 X,Y。若 mathscr{A}^* 存在，设 mathscr{A},mathscr{A}^* 在该基下的矩阵分别为 A,B，则我们有

X'A'bar Y = X' bar B bar Y /

由于 X,Y 的任意性，得到 B = bar A'。（所以存在性可以由 bar A' 给出）

命题：设 V 为酉空间，mathscr{A}inmathrm{End} V，则下列条件等价：

(1) mathscr{A}^* = mathscr{A}^{-1}

(2) mathscr{A} 在标准正交基下的矩阵为酉矩阵

(3) mathscr{A} 将标准正交基映为标准正交基

(4) 对任意 alpha,betain V,(mathscr{A}alpha,mathscr{A}beta)=(alpha,beta)

(5) 对任意 alphain V,|mathscr{A}alpha|=|alpha|

我们称满足上述等价条件的变换为酉变换。

证明： 首先 (1) iff (2) iff (3) iff (4)，由酉矩阵的性质可得。而

(4) Rightarrow (5) 只需令 beta=alpha，(5) Rightarrow (4) 需要用到极化恒等式

(alpha,beta) = dfrac{1}{4}left(Q(alpha+beta)-Q(alpha-beta)+sqrt{-1}Q(alpha+sqrt{-1}beta)-sqrt{-1}Q(alpha-sqrt{-1}beta)right) /

注：我们会在习题 2 证明这个结论。

推论：酉变换的特征值的模为 1.

证明： 设 lambda 为酉变换 mathscr{A} 的特征值，则存在 alpha 使得 mathscr{A}alpha = lambda alpha，所以

|lambda||alpha| = |mathscr{A}alpha| = |alpha| /

即 |lambda| = 1。

2. 习题

1. 设 (alpha,beta) 是复线性空间 V 上的二元函数，对任意 alpha,alpha_1,alpha_2,beta,beta_1,beta_2 in V,k_1,k_2inmathbb{C} 有

(k_1alpha_1+k_2alpha_2,beta) = k_1(alpha_1,beta) + k_2(alpha_2,beta), /[6pt] (alpha,k_1beta_1+k_2beta_2) = bar k_1(alpha,beta_1) + bar k_2 (alpha,beta_2) /

(1) 若对任意 alphain V 有 (alpha,alpha)inmathbb{R}，证明：(alpha,beta)=overline{(beta,alpha)}

证明： 注意到

begin{aligned} (alpha+beta,alpha+beta) = (alpha,alpha)+(beta,beta)+(alpha,beta)+(beta,alpha) end{aligned} /

所以 (alpha,beta)+(beta,alpha) inmathbb{R}，所以我们得到 (alpha,beta) = u_1+iv,(beta,alpha)=u_2-iv 其中 u_1,u_2,vinmathbb{R}。再考虑

begin{aligned} (alpha+ibeta,alpha+ibeta) = (alpha,alpha)+(beta,beta)-i(alpha,beta)+i(beta,alpha) end{aligned} /

得到 i(beta,alpha)-i(alpha,beta) inmathbb{R}，所以得到

i(u_2-u_1) + 2v = m inmathbb{R} /

因此 u_1=u_2，证毕！

(2) 试求所有 Ain mathbb{C}^{ntimes n} 使得对任意 Xinmathbb{C}^n 有 X'Abar X = 0

解： 我们只要考虑对标准正交基成立即可，考虑 e_1 = (1,0,cdots,0)^T，则得到 a_{11}=0，因此我们得到 A 满足 a_{kk}=0,k=1,cdots,n

2. 设 (alpha,beta) 为酉空间 V 上的内积，记 Q(alpha)=(alpha,alpha)，证明极化恒等式

(alpha,beta) = dfrac{1}{4}left(Q(alpha+beta)-Q(alpha-beta)+sqrt{-1}Q(alpha+sqrt{-1}beta)-sqrt{-1}Q(alpha-sqrt{-1}beta)right) /

证明： Q(alpha+beta) 和 Q(alpha+ibeta) 已经在第一题做过展开，考虑剩余的两个

Q(alpha-beta) = (alpha,alpha)+(beta,beta)-(alpha,beta)-(beta,alpha) /[6pt] Q(alpha-ibeta) = (alpha,alpha)+(beta,beta)+i(alpha,beta)-i(beta,alpha) /

那么我们有

Q(alpha+beta)-Q(alpha-beta)+sqrt{-1}Q(alpha+sqrt{-1}beta)-sqrt{-1}Q(alpha-sqrt{-1}beta)=4(alpha,beta) /

3. 试建立 mathrm{SU}(2) 到四维 Euclid 空间的单位球 S^3 = {xinmathbb{R}^4mid |X|=1} 的一一对应

解： 注意到任取 mathrm{SU}(2) 的一个元素

begin{pmatrix} alpha & beta / -barbeta & baralpha end{pmatrix} /

它满足 |alpha|^2+|beta|^2=1，那么我们设 alpha = x+yi,beta = z+wi 其中 x,y,z,winmathbb{R},i=sqrt{-1} 则 x^2+y^2+z^2+w^2=1，则我们建立了它们之间的一一对应。

4.(Cayley 变换) 设 Ainmathbb{C}^{ntimes n},A = {bar{A}}',证明: U = (A-sqrt{-1}I_n)(A+sqrt{-1}I_n)^{-1} 是酉矩阵

证明： 注意到

bar U = (bar A + sqrt{-1}I_n)(bar A – sqrt{-1}I_n)^{-1} /

进一步

bar U ' = (A -sqrt{-1}I_n)^{-1}(A+sqrt{-1}I_n) /

所以我们显然有

begin{aligned} bar U'U &= (A -sqrt{-1}I_n)^{-1}(A+sqrt{-1}I_n)(A-sqrt{-1}I_n)(A+sqrt{-1}I_n)^{-1} /[6pt] &= (A -sqrt{-1}I_n)^{-1}(A-sqrt{-1}I_n)(A+sqrt{-1}I_n)(A+sqrt{-1}I_n)^{-1} /[6pt] & = I_n end{aligned} /

5. 设 Ainmathrm{GL}(n,mathbb{C})，证明：存在唯一酉矩阵 U 与对角线上都是正数的上三角矩阵 T，使得 A=UT

证明： 先证明存在性：将矩阵 A 按列分块为 A=(alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n)，由 A 可逆，知 alpha_1,dots,alpha_n 线性无关，用归纳法选取

beta_j = alpha_j – sum_{i=1}^{j-1}dfrac{(alpha_j,beta_i)}{(beta_i,beta_i)} beta_i, j=1,2,cdots,n /

由施密特(Schmidt)正交化定理知 beta_1,ldots,beta_n 两两正交。再取 epsilon_i = dfrac{beta_i}{|beta_i|},i=1,2,ldots,n （单位化），则我们得到 epsilon_1,ldots,epsilon_n 是两两正交的单位向量。则有

A = (epsilon_1,ldots,epsilon_n)mathrm{diag}{|beta_1|,ldots,|beta_n|} begin{pmatrix} 1 & b_{12} & b_{13} & cdots & b_{1n} / & 1 & b_{23} & ldots & b_{2n} / & & ddots & ddots & vdots / & & & 1 & b_{n-1,n} / & & & & 1 end{pmatrix} /

其中 b_{ij} = (alpha_j,beta_i)/(beta_i,beta_i),1leqslant ileqslant jleqslant n。

令

begin{aligned} &U = (epsilon_1,ldots,epsilon_n), /[6pt] &T=mathrm{diag}{|beta_1|,ldots,|beta_n|} begin{pmatrix} 1 & b_{12} & b_{13} & cdots & b_{1n} / & 1 & b_{23} & ldots & b_{2n} / & & ddots & ddots & vdots / & & & 1 & b_{n-1,n} / & & & & 1 end{pmatrix} end{aligned} /

即可。

再证明唯一性：若

A = U_1T_1 = U_2T_2 /

其中 U_1,U_2 为酉矩阵，T_1,T_2 为对角线上都是正数的上三角矩阵，那么

U_2^{-1}U_1 = T_2T_1^{-1} /

所以 T_2T_1^{-1} 是对角元均为正数的上三角酉矩阵，我们断言其必为单位阵。设 T = T_2T_1^{-1}，那么

T = begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & cdots & b_{1n} / & b_{22} & b_{23} & ldots & b_{2n} / & & ddots & ddots & vdots / & & & b_{n-1,n-1} & b_{n-1,n} / & & & & b_{n,n} end{pmatrix} /

其中 b_{kk} > 0,k=1,2,ldots,n 那么

bar T' = begin{pmatrix} b_{11} & & & & / bar b_{12} & b_{22} & & & / bar b_{13} & bar b_{23} & ddots & & / vdots & vdots & ddots& b_{n-1,n-1} &/ bar b_{1n} &bar b_{2n} &cdots &bar b_{n-1,n} & b_{n,n} end{pmatrix} /

由于 Tbar T' = I_n，我们得到 b_{11} = 1 ,b_{12}=cdots=b_{1n} = 0，再依次分析下去有 b_{kk}=1,k=1,2,ldots,n 其余元素都为 0。因此断言成立，证毕！

注：我们这里的内积采用一般形式即 (alpha,beta) = alphabarbeta'，这一点保证了酉矩阵的存在。

6. 设

begin{aligned} U ={Ainmathbb{C}^{ntimes n}mid bar A'=A} / W = {Binmathbb{C}^{ntimes n}mid bar B' = -B} end{aligned} /

(1) 证明：U,W 是 mathbb{C}^{ntimes n} 的实线性子空间，但不是复线性子空间

证明： 仅证明 U。

首先加法的交换律和结合律，以及零向量和负向量的存在性由矩阵加法保证。我们简单验证加法的封闭性：任取 A,Bin U，我们有

overline{A+B}' = (bar A+bar B)' = A + B /

封闭性证毕！

其次我们考虑数乘，对于 k,linmathbb{R},A,Bin U，显然有

begin{aligned} &1A = A;/&(kl)A = k(lA);/&(k+l)A = kA+lA;/&k(A+B)=kA+kB end{aligned}/

。 我们只需验证数乘的封闭性：

overline{kA}' = koverline{A}' = kA /

然而这对于复数来说是不成立的，因为 bar k = k 不总成立。

(2) 证明：作为实线性空间有 mathbb{C}^{ntimes n} = Uoplus W

证明： 我们先证明 Ucap W = {0}，设 alpha in Ucap W，那么

alpha = baralpha' = -alpha /

再考虑 Ainmathbb{C}^{ntimes n}，则

A = dfrac{A+ bar A'}{2} + dfrac{ A- bar A'}{2} =: B+C /

那么有 Bin U,Cin W 证毕！

(3) 试求 mathrm{dim} U 和 mathrm{dim} W

证明： 首先我们有 mathrm{dim} U + mathrm{dim} W = 2n^2。由于 forall Bin U,B = bar B'，所以

A = begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & cdots & b_{1n} / bar b_{12} & b_{22} & b_{23} & ldots & b_{2n} / bar b_{13} &bar b_{23} & ddots & ddots & vdots / vdots & vdots &ddots & b_{n-1,n-1} & b_{n-1,n} / bar b_{1n} &bar b_{2n} & cdots & bar b_{n-1,n} & b_{n,n} end{pmatrix} /

那么 mathrm{dim} U = n^2,mathrm{dim} W = n^2

7. 设 (alpha,beta) 是酉空间 V 上的内积，对任意 betain V，定义 V 上函数 f_beta 为

f_beta(alpha) = (alpha,beta) /

(1) 证明：f_betain V^*。（V^*=mathrm{Hom}(V,mathbb{F})，即 mathbb{F} 上的线性空间 V 的所有从 V 到 mathbb{F} 的线性函数的全体）

证明： 任取 alpha_1,alpha_2in V，则

begin{aligned} f_{beta}(alpha_1+alpha_2) &= (alpha_1+alpha_2,beta)/[6pt]&= (alpha_1,beta)+(alpha_2,beta) /[6pt]&= f_{beta}(alpha_1)+f_beta(alpha_2) end{aligned} /

再任取 kinmathbb{F}，则

f_beta(kalpha) = (kalpha,beta) = k(alpha,beta) /

所以 f_betain V^*

(2) 映射 beta mapsto f_beta 是 V 到 V^* 的线性同构吗？

证明：我们先验证单射，若存在 beta_1,beta_2in V，使得 varphi(beta_1)=varphi(beta_2)，则 forall alphain V，有

(alpha,beta_1-beta_2) = 0 /

可以得到 beta_1-beta_2=0.

我们断言：若 V 是有限维时，varphi 是满射。我们只需要证明 mathrm{dim} V^* = mathrm{dim} V。设 V 是 n 维的，考虑映射 sigma: V^* tomathbb{F}^{1times n}，给定 V 的一组基 alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n, 令

sigma(f) = (f(alpha_1),cdots,f(alpha_n)) /

我们只需证明 sigma 是线性同构。

证明单射：对于 alphain V，我们有 alpha = (alpha_1,ldots,alpha_n)X，则对任意 fin V^*，我们有

f(alpha) = fleft(sum_{i=1}^{n} x_ialpha_iright) = (f(alpha_1),ldots,f(alpha_n))X /

即 f(alpha) 由 (f(alpha_1),ldots,f(alpha_n))in mathbb{F}^{1times n} 唯一确定

证明满射：任取 (b_1,ldots,b_n)inmathbb{F}^{1times n}，定义函数 f: Vto F 为

fleft(sum_{i=1}^{n} x_ialpha_iright) = sum_{i=1}^{n} x_ib_i /

容易验证 fin V^*。又若 gin V^*， 也满足 g(alpha_i)=b_i,i=1:n，则

gleft(sum_{i=1}^{n} x_ialpha_iright) = sum_{i=1}^{n} x_ib_i = fleft(sum_{i=1}^{n} x_ialpha_iright) /

即 (b_1,ldots,b_n) 唯一确定了一个 f

证明线性映射：对任意 k,linmathbb{F},f,gin V^* 有

begin{aligned} sigma(kf+lg) &= ((kf+lg)(alpha_1),cdots,(kf+lg)(alpha_n)) /[6pt] &= k(f(alpha_1),cdots,f(alpha_n)) + l (g(alpha_1),cdots,g(alpha_n)) /[6pt] &= ksigma(f) + lsigma(g) end{aligned} /

证毕！

(3) 如果定义 g_alpha(beta)=(alpha,beta)，是否有 g_alpha in V^*

解： g_alpha 不再满足线性条件，因为对 任意kinmathbb{C},betain V

g_alpha(kbeta) = (alpha,kbeta) = bar k(alpha,beta) not= kg_alpha(beta) /

8. 设 B,Cinmathbb{R}^{ntimes n},A=B+sqrt{-1}C，证明：A 为酉矩阵当且仅当 begin{pmatrix} B&C/ -C&B end{pmatrix} 为（特殊）正交矩阵。

证明： Leftarrow: 由于

begin{aligned} &quad begin{pmatrix} B&C/ -C&B end{pmatrix}begin{pmatrix} B'&-C'/ C'&B' end{pmatrix}/[6pt]&= begin{pmatrix} BB'+CC'&CB'-BC'/ BC'-CB'& BB'+CC' end{pmatrix} = I_{2n} end{aligned} /

所以 BB'+CC' = I_n,BC'=CB'. 注意到

begin{aligned} Abar A' &= (B+sqrt{-1}C)(B'-sqrt{-1}C') /[6pt]&= (BB'+CC') + (CB'-BC')sqrt{-1} /[6pt]&= I_n end{aligned} /

所以 A 为酉矩阵。注意到上述过程可逆，所以 Rightarrow 也成立。

9. 设 V 为 n 维酉空间，其上内积为 (alpha,beta),epsilon_1,epsilon_2,ldots,epsilon_n 为 V 的一组标准正交基

(1) 将 V 看成实线性空间，记为 V_mathbb{R}，证明：langle alpha,beta rangle = mathrm{Re}(alpha,beta) 是 V_mathbb{R} 上的内积

证明： 正定性：注意到 langle alpha,alpharangle = mathrm{Re}(alpha,alpha) geqslant 0，并且 langle alpha,alpharangle = 0 rightarrow alpha=0

双线性函数：任取 k,linmathbb{R},alpha,alpha_1,alpha_2,beta,beta_1,beta_2in V，注意到

begin{aligned} langle kalpha_1+lalpha_2,betarangle = klanglealpha_1,betarangle + llangle alpha_2,beta rangle /[6pt] langle alpha,kbeta_1+lbeta_2rangle = klangle alpha,beta_1rangle + llangle alpha,beta_2rangle end{aligned} /

证毕！（实际上我们只需验证第一行，因为由 (alpha_k,beta_k)=overline{(beta_k,alpha_k)}，可以推出 langle alpha_k,beta_krangle = langle beta_k,alpha_krangle）

(2) 试求 V_mathbb{R} 的一组标准正交基

解： 考虑 epsilon_1,ldots,epsilon_n,sqrt{-1}epsilon_1,ldots,sqrt{-1}epsilon_n in V，显然它们在 V_mathbb{R} 意义下是线性无关的。那么我们希望它们是标准正交的，注意到

begin{aligned} &langle sqrt{-1}epsilon_j, sqrt{-1}epsilon_jrangle = 1, / &langle sqrt{-1}epsilon_i, sqrt{-1}epsilon_jrangle = langle epsilon_i, sqrt{-1}epsilon_jrangle = 0 end{aligned} /

所以它们是标准正交的。并且我们说这 2n 个线性无关的向量肯定是 V_mathbb{R} 的一组基，forall alphain V_mathbb{R}，我们有

alpha = sum_{i=1}^{n} c_iepsilon_i = sum_{i=1}^{n} mathrm{Re}(c_i)epsilon_i+sum_{i=1}^{n} mathrm{Im}(c_i)sqrt{-1}epsilon_i /

(3) 设酉变换 mathscr{A} 在基 epsilon_1,ldots,epsilon_n 下的矩阵为 A=B+sqrt{-1}C, 其中 B,Cinmathbb{R}^{ntimes n}，将 mathscr{A} 看成 V_mathbb{R} 下的线性变换，记为 mathscr{A}_mathbb{R}，证明：mathscr{A}_mathbb{R} 是 V_mathbb{R} 上的正交变换。试求 mathscr{A} 在一组标准正交基下的矩阵。

证明： 考虑 V_mathbb{R} 的一组标准正交基 epsilon_1,ldots,epsilon_n,sqrt{-1}epsilon_1,ldots,sqrt{-1}epsilon_n，我们有

begin{aligned} &quad mathscr{A}(epsilon_1,ldots,epsilon_n,sqrt{-1}epsilon_1,ldots,sqrt{-1}epsilon_n) /[6pt]&= (epsilon_1,ldots,epsilon_n,sqrt{-1}epsilon_1,ldots,sqrt{-1}epsilon_n)begin{pmatrix} B & C / -C&Bend{pmatrix} end{aligned} /

由第 8 题我们知道 begin{pmatrix} B & C/ -C &Bend{pmatrix} 为正交矩阵，因此 mathscr{A} 是 V_mathbb{R} 下的正交变换。

10.（2021 大学生数学竞赛）设 P 为对称酉矩阵，证明：存在可逆复矩阵 Q 使得 P=bar QQ^{-1}

证明： 设 P 为 n 阶矩阵，因为 P 为酉矩阵，自然为正规矩阵，所以存在酉矩阵 U^{-1}PU=D 为对角阵，设

D = mathrm{diag}{alpha_1,ldots,alpha_n} /

并设 beta_1,ldots,beta_n 为复数满足 beta_i^2=alpha_i,1leqslant ileqslant n，令 E=mathrm{diag}{beta_1,ldots,beta_n}，由 Lagrange 插值公式知存在复系数多项式 f(x) 使得 f(alpha_i)=beta_i,1leqslant ileqslant n，从而

E = mathrm{diag}{f(alpha_1),ldots,f(alpha_n)} = f(D) /

且 E^2 = D。现在 D'=D,P'=P,U'=bar U^{-1}，所以

begin{aligned} D &= D' = (U^{-1}PU)' = U'P'(U^{-1})'/[6pt]& = bar U^{-1} P bar U = bar U^{-1}UDU^{-1}bar U end{aligned} /

从而 U^{-1}bar U 与 D 可交换。又 E=f(D)，所以 E 也与 U^{-1}bar U 可交换，即 EU^{-1}bar U = U^{-1}bar U E，或写为

UEU^{-1} = bar U E bar U^{-1} /

由于 P 为酉矩阵，即 bar P'P=I_n，再由 U 也是酉矩阵得到

begin{aligned} bar D D &= bar D' D = (overline{U^{-1}PU})'U^{-1}PU /[6pt]&= bar U^T bar P^T (bar U^{-1})' U^{-1}PU = bar U'U=I_n end{aligned} /

所以对任意 1leqslant ileqslant n,baralpha_ialpha_i=1，即复数 alpha_i 的模为 1，从而 beta_i 的模也为 1，故 barbeta_i=beta_i^{-1}，由此得到 bar E=E^{-1}，令 Q=Ubar EU^{-1}，则显然 Q 可逆且有 bar Q = bar UEbar U^{-1}，又 Q^{-1}=Ubar E^{-1}U^{-1}=UEU^{-1}，所以

begin{aligned} bar QQ^{-1} &= (UEU^{-1})^2 = UE^2U^{-1} /[6pt]&= UDU^{-1} = P end{aligned} /

注： 由基础知识部分的命题和推论，我们显然得到 P 相似于对角矩阵 D，即存在酉矩阵 U 使得

U^{-1}PU = D /

且对角矩阵元素的模都为 1。

注：本文内容部分取自 《高等代数与解析几何》，朱富海，陈智奇著，科学出版社出版。