功能原理，动能定理和内力做功

所谓教学相长，就是随着年龄增加，老师的思维也会变慢，如果鲜有学生来问问题的话，老师也就很难成为老师了。所以，我想起了我高中的化学老师，天天在教室里问：有没有学生问问题呀。现在算是理解了！

近日，有小伙伴问了下面这样一个问题：

例1.如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为K。先用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提升高度为h。此时物体已经离开地面，求拉力所做得功。

为了让这道题看起来更加通用和复杂一些，我作如下改编：

例2.如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为K，轻质弹簧上面又连接一质量为M的物体，先用手拉住上面的物体使弹簧刚好处于原长状态，然后使其缓慢提升高度为h。此时下面的物体已经离开地面，求拉力所做的功。

求解例2的答案后，再令M=0,即可得到例1的答案！所以例1我就不讲了，直接讲例2。

解1：因为外力F为变力，因此不能直接用力和位移的乘积来计算。首先，我们可以考虑图像法。

整个过程都是处于缓慢状态，即始终处于平衡状态。因此，外力F大小随着上升高度变化如下图所示：

注意其中的过程：刚开始，弹簧为原长，没有弹力，此时取上面的物体进行受力分析，如下图：F=Mg。

随着弹簧的伸长F逐渐增大，直到下面的物体刚好离开地面，此时取系统整体进行受力分析，如下图：F=（Mg+mg），随后保持不变。

取下面的物体分析，离地后弹簧的伸长量为：x=F弹/k=mg/k

由弹簧性质可知，在外力F从Mg变化到（M+m）g的过程中，随高度变化为线性变化。

所以外力F做功，即为下图中的阴影面积。

W_F=S=frac{1}{2}(Mg+Mg+mg)frac{mg}{k}+(Mg+mg)(h-frac{mg}{k})=(M+m)gh-frac{1}{2}frac{(mg)^2}{k}

下面，我们从能量的角度来考虑变力做功。

我们知道，做功对应着能量的变化，那么做功与能量变化是如何对应的呢？

对表格内容作一解释，对应四句话：

（1）重力做功，对应重力势能变化，重力作正功，重力势能减小。

（2）弹簧弹力做功，对应弹性势能变化，弹力作正功，弹性势能减小。

注意：弹簧弹性势能是有公式的，为： E_弹=frac{1}{2}kx^2 。其中，k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量，包括压缩和伸长两种情况。在某些地方，该公式属于超纲知识点，但可以通过类似上面变力做功由图像法推导得到。

（3）除重力和弹簧弹力以外的力做功，对应机械能（动能、重力势能、弹性势能）变化，作正功，机械能增加。

注意：很多小伙伴对这一条不是很理解，试试这样想：如果只有重力和弹力做功，物体机械能是守恒的，比如只有重力做功，则物体的能量就在动能和势能之间转化，机械能不变；再比如只有弹力做功，则物体能量就在弹性势能和动能之间转化，机械能不变。因此，只有当有重力和弹力以外的力做功时，才有机械能的变化。

这一条很重要，在解题中可以经常使用。

（4）合外力做功，对应动能变化，合外力作正功，动能增加。

这是非常非常非常有用的动能定理，无论是通过牛顿第二定律推导得到，还是课本中的实验得到，总之这是一条做题时十分重要定理。

解2：我们用（3）条来进行解题，即“除重力和弹簧弹力以外的力做功，对应机械能（动能、重力势能、弹性势能）变化，作正功，机械能增加”。

首先，我们要确定研究对象，我们取系统整体作为研究对象，于是得到：

W_F=Delta E_弹+Delta E_M+Delta E_m

其中： W_F 表示拉力做功，即除重力和弹簧弹力以外的力做功。 Delta E_弹 ， Delta E_M，Delta E_m 分别表示弹簧弹性势能、物体M和物体m重力势能的增量。

根据弹簧长度变化可知：

Delta E_弹=frac{1}{2}kx^2=frac{1}{2}k(frac{mg}{k})^2=frac{1}{2}frac{(mg)^2}{k}

Delta E_M=Mgh

Delta E_m=mg(h-frac{mg}{k})=mgh-frac{(mg)^2}{k}

于是得到：

W_F=(M+m)gh-frac{1}{2}frac{(mg)^2}{k}

同解1。

解3：下面采用动能定理来解，即合外力做功等于物体动能增量。

W_F-W_{GM}-W_{Gm}-W_弹=Delta E_K

其中：W_F 、W_{GM} 、W_{Gm} 、W_弹 分别表示拉力、物体M重力、物体m重力和弹力做功，且物体M重力、物体m重力和弹力均作负功，且 Delta E_K=0 ，因为动能没有变化。

W_{GM}=Mgh

W_{Gm}=mg(h-frac{mg}{k})=mgh-frac{(mg)^2}{k}

W_弹=Delta E_弹=frac{1}{2}kx^2=frac{1}{2}k(frac{mg}{k})^2=frac{1}{2}frac{(mg)^2}{k}

Delta E_K=0

因此：

W_F=Delta E_K+W_{GM}+W_{Gm}+W_弹=(M+m)gh-frac{1}{2}frac{(mg)^2}{k}

答案同解1，解2。

注意：解2和解3本质上是一致的，但是思路是不同的，小伙伴千万不要采用混搭的方式来做题，让人不理解到底是用了动能定理还是功能原理！

其实关于解3中，是有一个隐藏难点的，就是弹力做功，这个弹力做功其实是系统内力做功，耗散了外力做功的能量。我们可以以一对滑动摩擦力做功进行对比理解。

模型.如下图所示，在光滑水平面上有一质量为M的长木板，在长木板右端有一质量为m的小物块，在长木板上作用一恒力F，运动位移为图中所示时，长木板和小物块的速度分别为 v_M 和 v_m，长木板与小物块间的滑动摩擦力大小为f。

对长木板分析，由动能定理：

FL-fL=frac{1}{2}Mv_M^2

对小物块分析，由动能定理：

fl=frac{1}{2}mv_m^2

若将长木板和小物块看作整体，则外力（不包括摩擦力）做功为 W_F=FL 。

而整体的动能为:

E_K=frac{1}{2}Mv_M^2+frac{1}{2}mv_m^2=FL-fL+fl=FL-f(L-l)

于是我们发现：

W_F-E_K=f(L-l)

即外力做功并没有全部转化为动能，一部分被内力耗散了，其中内力摩擦力做功为摩擦力乘以相对位移大小，因此在采用整体法动能定理时要考虑内力做功情况。

因此，上述模型整体法可以写成：

W_F-W_f= E_K

其中 W_f=f(L-l) ，即一对摩擦力做功等于摩擦力乘以相对位移。

不多说了，小伙伴们，下期再见啦！