1. 点 ne 向量

有人说，这是一句废话。但还是那句话，真理有时候听起来就是废话。

有人说，我们不都是用向量来表示点么?为什么这是两个东西呢？

点代表的是位置，是势(在这里要特别说一句汉语言文字真是博大精深，形容势力大，我们常说，“位高权重”，“炙手可热”，位就是势)。

向量代表的是位置差，是势差。

位置是绝对量，位置差是相对量。

但是有个问题，绝对的东西怎么描述呢？描述只能是相对的。空间当中我们知道有最低的位置，最高的位置，但是具体在哪儿，我们不知道。有趣的是，总可以选定一个位置然后找到比他低的和比他高的，如果我们把选定的位置看做一个“基准”，那么总可以用其他位置相对于这个位置的差来唯一确定其他位置，从而给所有的位置都有一个唯一的表示。这个基本的事实翻译成数学语言就是，选定空间中某点作为原点 O ，空间中某点 P 用向量 vec{OP} 来表示。

好了，到这里仿佛你感觉向量是跟点绑定的。其实不是这样的，很容易想到空间中有无数个两个位置的差等于 vec{OP} 。另外，从线性代数基本定理来看，表示一个向量的时候，只需要一组基，并不需要一组基加一个点，也就是只需要坐标轴不需要坐标原点，这也说明向量跟点是两码事。

那么为什么会混淆呢？因为你没有体现出点比向量多的东西。确切地来说，点 P 应该表示为 P=O+vec{OP} ，我们直接用所谓的与 vec{OP} 同维度的零向量来表示点 O ，这样压根就没有体现出点与向量的不同。那么，多的东西放在哪里呢？在高一维空间表示就可以了，也就是所谓的射影坐标。

如下以二维空间点的三维射影坐标表示为例介绍。

三维射影坐标

如上图所示，二维空间可以看做三维空间的平面，但是三维空间有无数平面，怎么能够体现他们的等价性呢？我们规定从原点发出射线，与平行于 z 轴的平面( xOy 平面除外)相交就得到点的三维射影坐标，点与点之差就是向量的三维射影坐标。很自然地，我们就发现点的三维射影坐标的第三个分量不为零，向量的三维射影坐标的第三个分量为零，这就体现了点和向量的区别。多出来的这一维分量是个尺度，为了减少尺度在计算中的多余操作，我们取 z=1 平面来代表二维空间。躺在 xOy 平面里的射线与平面交于无穷远点，因此无穷远点的第三个分量为零，因此无穷远点就是向量，这个很容易理解，无穷远就不需要描述他的位置了(无论相对于哪个基准点他都是无穷远)，只关心她的方向。

三维空间的点和向量类推，就得到机器人里边的四维射影坐标表示。

理解了点和向量的区别，我们再来观察位姿变换矩阵的结构就很清楚最后一行的东东到底是怎么回事了。

2. 坐标系运动的分解

对于如下坐标系的运动

有两种分解方式：

• 先平移后旋转

这种分解方式是非常直接的，由此我们得到

T=Transleft( rm{p} right)Rotleft( rm{omega},theta right) /

• 螺旋运动

这种分解方式将平移与旋转同时进行，合并为绕着某根轴的螺旋运动，即

T=Screwleft( rm{omega},theta,h right) /

这两种运动的轴向是相同的。而且我们很容易由第一种运动形式得到第二种运动形式。只需要将第一种形式中的平移向量分解为垂直于旋转轴方向和平行于旋转轴方向的两个向量即可，其中垂直于转轴方向的向量就是由螺旋运动中旋转运动所带来的位移，平行于转轴方向的向量是螺旋运动中平移运动带来的位移。相应的转轴移动量也可以简单滴计算出来。

3. 位姿的描述

根据2中的两种运动过程，我们可以得到位姿的两种描述：

• 坐标原点位置加坐标基变换 left( sideset{^O}{_{vec{OO^{prime}}}}p,sideset{^O}{_{O^{prime}}}R right)

sideset{^O}{_{O^{prime}}}{T}=begin{pmatrix}0&sideset{^O}{_{vec{OO^{prime}}}}p/0&1end{pmatrix}begin{pmatrix}sideset{^O}{_{O^{prime}}}R&0/0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}sideset{^O}{_{O^{prime}}}R&sideset{^O}{_{vec{OO^{prime}}}}p/0&1end{pmatrix} /

• 旋量 xi=left( v^T,omega^T right)^T

begin{align} sideset{^O}{_{O^{prime}}}{T}&=expleft( sideset{^O}{}{hat{xi}} right)/ &=begin{pmatrix}expleft(hat{omega}right)& Jv/0&1end{pmatrix} end{align} /

其中，

hat{xi} = begin{pmatrix}hat{omega}&v / 0&0end{pmatrix},hat{omega}=left[ omega right]times / J=left( bm{rm{I}}+frac{1-cos{|bm{rm{omega}}|}}{|bm{rm{omega}}|^2}left[ bm{rm{omega}}right]times+frac{|bm{rm{omega}}|-sin|bm{rm{omega}}|}{|bm{rm{omega}}|^3}left[ bm{rm{omega}}right]timesleft[ bm{rm{omega}}right]times right)

以上结果通过将矩阵指数函数进行泰勒展开，再利用反对称矩阵整数次幂的性质即可得到。

不过，我们这里不用级数化简的方法，而是从几何角度考虑，同时也给出旋量的物理意义。

sideset{^O}{_{O^{prime}}}{T} 包含基变换和平移两部分，基变换的部分利用旋转矩阵 expleft(hat{omega}right) 表示即可，下面我们结合下图来分析一下平移。图中分别由点 O 和 O^{prime}向转轴做垂线，垂足分别为点 P 和 P^{prime} ，将 vec{P^{prime}O^{prime}} 沿着轴线平移，得到 vec{PO^{primeprime}} ， ang{OP{O^{primeprime}}}=theta=|omega|

平移研究的是位置变化也就是点的运动。我们任取一个点，不妨就是点 O ，经过螺旋运动以后点 O 到达 O^{prime} ,向量 vec{OO^{prime}} 就是所求的平移。那么怎么把 vec{OO^{prime}} 跟 xi 联系起来呢？我们可以给点 O 赋予一个螺旋运动速度 ，然后在一个单位时间完成运动。螺旋运动速度如下：

v=|omega|left( frac{-left[ omega right]times{vec{OP}}}{|omega|} +frac{vec{PP^{prime}}}{|omega|}right) /

这个表达式很容易理解。括号里边第一项是单位时间旋转单位角度所产生的线速度，其位于与转轴垂直的平面；第二项是单位时间旋转单位角度沿着转轴平移的速度，其方向与转轴保持一致。由以下几何关系

vec{OP}=frac{left[ omega right]times}{|omega|}frac{v}{|omega|} /

vec{PO^{primeprime}}=-expleft( {left[ omega right]}times right)vec{OP} /

vec{PP^{prime}}=frac{omegaomega^T}{|omega|^2}v /

vec{OO^{prime}}=vec{OP}+vec{PO^{primeprime}}+vec{PP^{prime}} /

可以得到

begin{align}vec{OO^{prime}}&=sideset{^O}{_{O^{prime}}}Tv / &=left(left( I -expleft( {left[ omega right]}times right)right)frac{left[ omega right]times}{|omega|^2}+frac{omegaomega^T}{|omega|^2}right){v} / &=left( left( frac{-sin{omega}}{|omega|}left[ omega right]times-frac{1-cos{omega}}{|omega|^2}left[ omega right]timesleft[ omega right]times right)frac{left[ omega right]times}{|omega|^2}+I+frac{left[ omega right]timesleft[ omega right]times}{|omega|^2} right) / &=Jv end{align} /

4. 位姿的规划

5. 位姿的控制

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做人呐，最重要的就是开心喽。能帮到别人是最大的快乐，希望本菜鸡能对小白们有所帮助，希望大佬们的批评能帮助本菜鸡成长！

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