由于很多读者私信说求函数项级数的和函数容易忽略一些小细节，笔者就带来一些总结。

1 .拆分复杂的级数，变成单一幂级数。

2. 将各项中的因子补齐，配成子母型级数。

3. 凑出泰勒级数

4. 将收敛域内无定义点补齐（和函数连续）

一 、一些重要的泰勒级数

1.子型级数

left(1right).sum_{n=0}^{infty}{x^n=}frac{1}{1-x}, xepsilonleft(1,1right)

left(2right).sum_{n=0}^{infty}{left(n+1right)x^n=frac{1}{left(1-xright)^2}},xinleft(-1,1right)

left(3right).sum_{n=0}^{infty}{left(n+2right)left(n+1right)x^n=frac{2}{left(1-xright)^3}} xinleft(-1,1right)

注意：子型级数的角标从0开始

2.母型级数

left(1right).sum_{n=1}^{infty}{frac{x^n}{n}=}-lnleft(1-xright) ,xepsilonleft[-1right.,left.1right)

left(2right).sum_{n=1}^{infty}{left(-1right)^nfrac{x^n}{n}=}-lnleft(1+xright) ,xepsilonleft(-1,left.1right]right.

left(3right).sum_{n=1}^{infty}{left(-1right)^{n-1}frac{x^{2n-1}}{2n-1}=}arctanx ,x epsilonleft(-1,1right)

left(4right).sum_{n=1}^{infty}{frac{x^{2n-1}}{2n-1}=frac{1}{2}lnfrac{1+x}{1-x}} , xepsilonleft(-1,1right)

注意：母型级数的角标从1开始

3.阶乘型级数：

left(1right).sum_{n=0}^{infty}{frac{x^n}{n!}=e^x,} xepsilonleft(-infty,left.+inftyright)right.

left(2right).sum_{n=0}^{infty}{left(-1right)^nfrac{x^{2n+1}}{left(2n+1right)!}=sinx,}xepsilonleft(-infty,left.+inftyright)right.

left(3right).sum_{n=0}^{infty}{left(-1right)^nfrac{x^{2n}}{left(2nright)!}=cosx,}xepsilonleft(-infty,left.+inftyright)right.

注意：阶乘型级数的角标从1开始

4.微分方程型级数

Sleft(xright)={Ce}^{-int pleft(xright)dx}+e^{-int pleft(xright)dx}int{Qleft(xright)e^{int pleft(xright)dx}dx}

有了这些级数做支撑，求解考研范围内的函数项级数的和函数将会变得易如反掌。

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Exercise：

exercise ：1、求幂级数 sum_{n=0}^{infty}{n^2x^n} 的收敛域以及和函数。

Solution

利用柯西判别法： lim_{nrightarrow infty}{}sqrt[n]{n^2x^n}<1Rightarrowleft|xright|<1

由题中已知条件可以轻易得出收敛半径 R=1 且该级数在 pm1 处发散。收敛域为 left(-1,1right)

1拆；该级数为子型级数：

//sum_{n=0}^{infty}{n^2x^n=}k_1sum_{n=0}^{infty}{left(n+1right)left(n+2right)x^n+k_2sum_{n=0}^{infty}{left(n+1right)x^n}}+k_3sum_{n=0}^{infty}x^n

2配；右两边分别赋值（级数分解定理）

//sum_{n=0}^{infty}{n^2x^n=}sum_{n=0}^{infty}{left(n+1right)left(n+2right)x^n-3sum_{n=0}^{infty}{left(n+1right)x^n+sum_{n=0}^{infty}x^n}}

3凑；

sum_{n=0}^{infty}{left(n+1right)left(n+2right)x^n-3sum_{n=0}^{infty}{left(n+1right)x^n+sum_{n=0}^{infty}x^n}}=frac{2}{left(1-xright)^3}-frac{1}{left(1-xright)^2}+frac{1}{1-x}

4补；

注意到该和函数在收敛域内连续，没有无定义点。

//Sleft(xright)=frac{2}{left(1-xright)^3}-frac{1}{left(1-xright)^2}+frac{1}{1-x} ,xinleft(-1,1right)

当然这种单一型级数还是很简单的。

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下面是一个母型级数

exercise ：求幂级数 sum_{n=1}^{infty}frac{x^{n-1}}{{n2}^n} 的收敛域及和函数。

Solution

由柯西判别法 lim_{nrightarrow infty}{}{sqrt[n]{frac{x^{n-1}}{{n2}^n}}}=left|frac{x}{2}right|<1Rightarrowleft|xright|<2

注意到该级数在-2处收敛，而在2处发散，收敛域为 left[-2,left.2right)right.

1. 拆：注意到该级数为纯粹的母型级数，省略此部。

2. 配：将其配成标准母型级数

//sum_{n=1}^{infty}frac{x^{n-1}}{{n2}^n}=frac{1}{x}sum_{n=1}^{infty}frac{left(frac{x}{2}right)^n}{n}=frac{1}{x}sum_{n=1}^{infty}{frac{left(tright)^n}{n},xneq0}

3. 凑: 利用公式将其凑成母型和函数

//frac{1}{x}sum_{n=1}^{infty}{frac{left(tright)^n}{n}=-}frac{1}{x}lnleft(1-tright) ,xneq0

4. 补：将收敛域内无定义点补齐

//lim_{x rightarrow 0}{}-frac{1}{x}lnleft(1-frac{x}{2}right)=frac{1}{2}

所以： Sleft(xright)=-frac{1}{x}lnleft(1-frac{x}{2}right),x in left[-2,left.0right)andleft(0,2right)right. Sleft(0right)=frac{1}{2}

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接下来再来看一个子母混合型级数据说是某一年真题

exercise： 求幂级数 sum_{n=0}^{infty}{frac{4n^2+6n+3}{2n+1}x^{2n}} 的收敛域以及和函数。

Solution

利用柯西判别法： lim_{n rightarrow infty}{}{sqrt[n]{frac{4n^2+6n+3}{2n+1}x^{2n}}}=left|x^2right|<1

且级数在x=1和x=-1处发散，收敛域为 left(-1,1right)

1. 拆：将假分式其拆成真分式：

/sum_{n=0}^{infty}{frac{4n^2+6n+3}{2n+1}x^{2n}}=sum_{n=0}^{infty}frac{{4n}^2+4n+1+2n+1+1}{2n+1}

2. 配：将其配成标准子母型级数：

S_0left(xright)=sum_{n=0}^{infty}2left(n+1right)x^{2n}-sum_{n=0}^{infty}x^{2n}+sum_{n=0}^{infty}x^{2n}+frac{1}{x}sum_{n=0}^{infty}frac{x^{2n+1}}{2n+1},xneq0

3. 凑：利用基本公式凑出和函数：

//S_0left(xright)=frac{2}{left(1-x^2right)^2}+frac{1}{2x}lnfrac{1+x}{1-x}

4.补：将无定义点补齐，将x=0带入，(注意级数里面 0^0=1 !!!!!)

//Sleft(0right)=3{times0}^0=3

答案为：Sleft(xright)=frac{2}{left(1-x^2right)^2}+frac{1}{2x}lnfrac{1+x}{1-x},0<left|xright|<1,/Sleft(0right)=3

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关于抽象和函数，以及题题目所给的是数列形式，考虑微分方程求解

再来一道比较简单的考研题吧

exercise （2020 数一）设数列 a_n , a_1=1, {left(n+1right)a}_{n+1}=left(n+frac{1}{2}right)a_n ,证明：当 left|xright|<1 时，幂级数 sum_{n=1}^{infty}{a_nx^n} 收敛，并求出和函数。

Solution 1.

由比值判别法：

//rho=lim_{n rightarrow infty}{}{frac{a_{n+1}}{a_n}}=lim_{n rightarrow infty}{}{frac{n+frac{1}{2}}{n+1}}=1

故该级数收敛半径 R=1 ,且在 left|xright|<1 内收敛。

注意到通项为递推形式，优先考虑微分方程求解，令 Sleft(xright)=sum_{n=1}^{infty}{a_nx^n}

S^primeleft(xright)=sum_{n=1}^{infty}{na_nx^{n-1}}Rightarrow sum_{n=0}^{infty}{{left(n+1right)a}_{n+1}x^n}=sum_{n=1}^{infty}{{left(n+1right)a}_{n+1}x^n}+a_1

注意到 S^primeleft(xright)=sum_{n=1}^{infty}{{left(n+1right)a}_{n+1}x^n}+a_1=sum_{n=1}^{infty}{left(n+frac{1}{2}right)a_nx^n}+1

S^primeleft(xright)=sum_{n=1}^{infty}{left(n+frac{1}{2}right)a_nx^n}+1=sum_{n=1}^{infty}{na_nx^n}+sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{2}a_nx^n}+1

建立的微分方程为： left(1-xright)S^primeleft(xright)-frac{1}{2}Sleft(xright)=1

利用一阶线性微分方程通解公式：

{Ce}^{-int pleft(xright)dx}+e^{-int pleft(xright)dx}int{Qleft(xright)e^{int pleft(xright)dx}dx}

Sleft(xright)={Ce}^{frac{1}{2}int{frac{1}{1-x}dx}}+e^{frac{1}{2}int{frac{1}{1-x}dx}}int{frac{1}{1-x}e^{-frac{1}{2}int{frac{1}{1-x}dx}}dx}

不难看出： Sleft(xright)=frac{C}{sqrt{1-x}}+frac{1}{sqrt{1-x}}int{frac{1}{sqrt{1-x}}dx}=frac{C}{sqrt{1-x}}-2

由 Sleft(0right)=0 ， Sleft(xright)=frac{2}{sqrt{1-x}}-2

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希望对考研的同学有所帮助。