一、知识点

0.质心公式

overline{r}=frac{int_{D} r mu mathrm{d} sigma}{int_{D} mu mathrm{d} sigma}

1.平面空间曲线曲面：

（1）对于 F(x,y)=0 表示一条平面曲线，对于某一点

begin{array}{l}{斜率：k=-frac{F_{x}left(x_{0}, y_{0}right)}{F_{y}left(x_{0}, y_{0}right)}=-frac{F_{x_{0}}}{F_{y_{0}}}} / 切线：{F_{x_{0}}left(x-x_{0}right)+F_{y_{0}}left(y-y_{0}right)=0} / 法线：{frac{x-x_{0}}{F_{x_{0}}}=frac{y-y_{0}}{F_{y_{0}}}}end{array}

（2）begin{cases}x=x(t)/ y=y(t)end{cases} 表示一条平面曲线，对于某一点

begin{array}{l}{斜率：k=frac{{y'}left(t_{0}right)}{{x'}left(t_{0}right)}/切线：frac{y-y_{0}}{{y'}(t_0)}=frac{x-x_{0}}{{x'}(t_0)}/法线：{{x'}(t_0)}left(x-x_{0}right)+{y'}(t_0)left(y-y_{0}right)=0}end{array}

（3）对于 F(x,y,z)=0 表示一个空间曲面，对于某一点

begin{array}{l}{切平面：F_{x}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right)left(x-x_{0}right)+F_{y}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right)left(y-y_{0}right)+F_{z}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right)left(z-z_{0}right)=0/ 法线：frac{x-x_{0}}{F_{x}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right)}=frac{y-y_{0}}{F_{y}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right)}=frac{z-z_{0}}{F_{z}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right)}}end{array}

（4）对于 begin{cases}x=x(t,s)/ y=y(t,s)/z=z(t,s)end{cases} 表示一个空间曲面，这个貌似不考？

（5）对于 begin{cases}F(x,y,z)=0/ G(x,y,z)=0end{cases} 表示一个空间曲线，对于某一点

先求出其切向量 n_1 , n_2 ，然后通过法向量的叉积，求出该点的切向量 tau=n_1times n_2

已知该点切向量之后，求切线方程和法平面方程只要带入即可

故有 begin{array}{l}{n_{1}=left(F_{x}^{prime}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right), F_{y}^{prime}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right), F_{z}^{prime}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right)right)} / {n_{2}=left(G_{x}^{prime}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right), G_{y}^{prime}left(x_{0}, y_{0}, z_{0}right), G_{z}^{prime}left(x_{0}, y_{0}, z_{1}right)right)}end{array}

begin{array}{l}{计算得到tau =n_1times n_2= left( A,B,C right)则/ 切线：frac{x-x_{0}}{A}=frac{y-y_{0}}{B}=frac{z-z_{0}}{C}/ 法平面Aleft(x-x_{0}right)+Bleft(y-y_{0}right)+Cleft(z-z_{0}right)=0}end{array}

（6）begin{cases}x=x(t)/ y=y(t)/z=z(t)end{cases} 表示一个空间曲线,对于某一点

begin{array}{l}{切向量：(x^{prime}left(t_{0}right),y^{prime}left(t_{0}right),z^{prime}left(t_{0}right))/切线：frac{x-x_{0}}{x^{prime}left(t_{0}right)}=frac{y-y_{0}}{y^{prime}left(t_{0}right)}=frac{z-z_{0}}{z^{prime}left(t_{0}right)}/ 法平面：x^{prime}left(t_{0}right)left(x-x_{0}right)+y^{prime}left(t_{0}right)left(y-y_{0}right)+z^{prime}left(t_{0}right)left(z-z_{0}right)=0}end{array}

2.判断是否可导

例，判断 f(x)=left{begin{array}{ll}{frac{1-cos x}{sqrt{x}},} & {x>0} / {x^{2} g(x),} & {x leq 0}end{array}right. 在0处是否可导。

f_{+}^{prime}(0)=lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{f(x)-f(0)}{x-0}=lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{1-cos x}{x sqrt{x}}=lim _{x rightarrow 0^{+}} frac{frac{1}{2} x^{2}}{x sqrt{x}}=0

f_{-}^{prime}(0)=lim _{x rightarrow 0^{-}} frac{f(x)-f(0)}{x-0}=lim _{x rightarrow 0^{-}} frac{x^{2} g(x)}{x}=lim _{x rightarrow 0^{-}} x g(x)=0

由于 f_{+}^{prime}(0)=f_{-}^{prime}(0)，故函数可导

3.可导、可微、连续之间的关系

对于一元函数：

函数连续不一定可导，例如y=|x| 。可导一定连续，即连续是可导的必要不充分条件，可导是连续的充分不必要条件。

函数可导必然可微，可微必可导，即可导是可微的必要充分条件。^[1]

4.微分的四则运算法则（适用于全微分）

begin{array}{l}{text { (1) } d(u pm v)=d u pm d v} / {text { (2) } d(u v)=v d u+u d v ; quad d(C u)=C d u} / {text { (3) } dleft(frac{u}{v}right)=frac{v d u-u d v}{v^{2}},(v neq 0)}end{array}

5.求二元函数极值点

若 f'_x=0,f'_y=0,f''_{xx}=A,f''_{xy}=B,f''_{yy}=C

begin{cases}AC-B^2>0begin{cases}A>0极小值/A<0极大值end{cases}/ AC-B^2<0 无极值/AC-B^2=0未知，需要用定义讨论end{cases}

6.常系数齐次方程通解

y^{prime prime}+p y^{prime}+q y=0

特征方程 r^{2}+p r+q=0 的两个根 r1,r2 通解

（1）两个不相等的实根 r1,r2则 y=C_{1} mathrm{e}^{r_{1} x}+C_{2} mathrm{e}^{r_{2} x}

（2）两个相等的实根 r1=r2则 y=left(C_{1}+C_{2} xright) mathrm{e}^{r_1 x}

（3）一对共轭复根 r_{1,2}=alpha pm i beta则 y=mathrm{e}^{a x}left(C_{1} cos beta x+C_{2} sin beta xright)

7.常系数非齐次方程求特解

y^{prime prime}+p y^{prime}+q y=f(x)

（1） f(x)=mathrm{e}^{lambda x} P_{m}(x) 型

y^{*}=x^{k} mathrm{e}^{lambda x} Q_{m}(x)

k 是特征方程的根对于 lambda 重数（0不是根，1是1重根，2是2重根）

（2） f(x)=mathrm{e}^{lambda x}left[P_{l}^{(1)}(x) cos w x+P_{n}^{(2)}(x) sin w xright] 型

y^{*}=x^{k} mathrm{e}^{lambda x}left[R_{m}^{(1)}(x) cos w x+R_{m}^{(2)}(x) sin w xright]

m=max {l, n}

k 是特征方程的根对于 lambdapm iomega 的重数（0不是根，1是1重根）

8.书上结论扩展：

（1）若 y_{1}^{*}(x) 和 y_{2}^{*}(x) 分别是 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f_{1}(x) 和 {y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f_{2}(x)} 的解，则 y_{1}^{*}(x)+y_{2}^{*}(x) 是方程 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f_{1}(x)+f_{2}(x) 的解

（2）若 y_{1}^{*}(x) 和 y_{2}^{*}(x) 分别是 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f_{1}(x) 和 {y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f_{2}(x)} 的解，则 y_{1}^{*}(x)-y_{2}^{*}(x) 是方程 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f_{1}(x)-f_{2}(x) 的解

（3）若 y_{1}^{*}(x) 和 y_{2}^{*}(x) 是 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f(x) 的两个不同的特解，则 y_{1}^{*}(x)-y_{2}^{*}(x) 是方程 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=0 的解（对应齐次方程的解） frac{y_{1}^{*}(x)+y_{2}^{*}(x)}2 是方程 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f(x) 的特解。

（4）若 y_{1}^{*}(x) 、 y_{2}^{*}(x)、 y_{3}^{*}(x) 是 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f(x) 的三个不同的特解则 C1(y_1^*-y^*_2)+C2(y_1^*-y^*_3)+y^*_3 是 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f(x) 的通解

（5）若 y_{1}^{*}(x) 、 y_{2}^{*}(x)、 y_{3}^{*}(x) 是 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f(x) 的三个不同的特解则 A(y_1^*-y^*_2)+B(y_1^*-y^*_3)+y^*_3 是 y^{prime prime}+P(x) y^{prime}+Q(x) y=f(x) 的特解（A、B为任意某个常数）

9.

求通解

(1)单实根:对应 C e^{r x}

(2)k重实根:对应 k 项 mathrm{e}^{rx}left(C_{1}+C_{2} x+cdots+C_{k} x^{k-1}right)

(3)一对单复根: mathrm{e}^{a x}left(C_{1} cos beta x+C_{2} sin beta xright)

(4)一对k重复根：对应2k项 e^{ax}[(C_{1}+C_{2} x+cdots+C_{k} x^{k-1}) cos beta x+(D_{1}+D_{2} x+cdots+D_{k} x^{k-1}) sin beta x]

10. n次方和差公式

a^{n}-b^{n}=(a-b)left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}+cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}right), quad n in N^{*}

当 n 为奇数时：a^{n}+b^{n}=(a+b)left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}+cdots-a b^{n-2}+b^{n-1}right), quad n in N^{*}，

二、易错点

1.求解微分方程初值问题的时候，往往会求到这样的结果，如 x^2-y=sqrt{x^2+y^2}

这样的结果看似无法再化简了，实际上两边平方可以得到 x^4-2x^2y+y^2=x^2+y^2 从而得到 y=frac{1}{2} x^{2}-frac{1}{2}

2.求解 ln left(u+sqrt{1+u^{2}}right)=ln (C x) 的时候，两边积分往往会得到 u+sqrt{1+u^{2}}=C x ，实际上这里有一个条件就是关于 Cx>0 是否成立的讨论，这个讨论要加上去。

3. f'(a)=0Rightarrow f(x)在a处取极值 是错误的反例 f(x)=x^3

4.在求定积分 frac12int_{-1}^0sec^2frac{t}2dt 的时候注意不要求成 frac12tanfrac{x}2bigg|_{-1} ^0 ,因为之前的 frac12 要拿去凑微分，正确结果是 tanfrac{x}2bigg|_{-1} ^0

5.计算 int cosxdx 的时候我经常算成 -sinx ,当成求导了，应该是 sinx

6. int_{-infty}^{+infty}frac{x}{1+x^2}dx=发散 ，原因详见同济第五章第四节反常积分

7. int e^{xy}dyne e^xint e^ydy这个是我个人常犯的错，基础好的同学无视吧。

6.转化为极坐标这里的 drho 前面还有rho 不要漏了

iint_{D} f(x, y) mathrm{d} sigma=int_{a}^{beta} mathrm{d} theta int_{rho_{1}(rho)}^{rho_{2}(phi)} f(rho cos theta, rho sin theta) rho mathrm{d} rho

7. int_{frac{3}{4} pi}^{pi} arcsin (sin theta) mathrm{d} theta=int_{frac{3}{4} pi}^{pi}theta mathrm{d} theta=frac{7}{32} pi^{2} 是错误的正确的应该是以下，

int_{frac{3}{4} pi}^{pi} arcsin (sin theta) mathrm{d} theta=int_{frac{3}{4} pi}^{pi}(pi-theta) mathrm{d} theta=frac{1}{32} pi^{2}

因为 arcsin(sinx) 是个分段周期函数。如图，在某些区间是 x ,在某些区间是 pi-x

8. intfrac {2}{-x^3}dx 我经常这样求 intfrac {2}{-x^3}dx=frac{2}{-3+1}x^{-3+1}=-x^{-2} ，漏了一个负号，要小心。

9.链式法则要注意，已知 u=u(sqrt{x^2+y^2}) 则frac{d(u'frac{x}{sqrt{x^2+y^2}})}{dx}=u''frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}cdotfrac{x}{sqrt{x^2+y^2}}+frac{d(frac{x}{sqrt{x^2+y^2}})}{dx}u' 而不是 frac{d(u'frac{x}{sqrt{x^2+y^2}})}{dx}=u''frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}+frac{d(frac{x}{sqrt{x^2+y^2}})}{dx}u'

10.解方程 int_0^xf(t)dt+1+cosx=f(x) ①

很多同学下一步就是 f(x)-sinx=f'(x)

解得 f(x)=frac{sinx+cosx}2+Ce^x ②

实际上还要注意这是一个初值问题，上述 ① 式可以得到 f(0)=2 ,需要带入 ② 式才能得到准确的解 f(x)=frac{sinx+cosx}2+frac32e^x

11. ((c1+c2x)e^{-x})ne(c1+c2x)'(e^{-x})'

12. |-frac13A^{-1}|ne-frac13|A^{-1}| 正确的应该是 |-frac13A^{-1}|=(-frac13)^n|A^{-1}|

最后对于嫌打latex公式（我这些公式都是latex写的）麻烦的同学，推荐一个神器 Mathpix Snipping Tool，可以快速将图片公式识别并转化为latex语言。

参考

1. ^函数连续，函数可微，函数可导，偏导数存在，偏导数连续之间的关系 http://www.zhongruitech.com/4891828511.html