宏觀數據的預測分析上經常會發現數據的頻率是不同的。比如，GDP的數據是季度數據，社融、M2等數據是月度數據，匯率、利率、股指等數據又是日度數據。直覺上來說GDP 肯定是跟社融、M2、股指等方面是有關系的，但是，傳統的回歸分析要求自變量和因變量具有相同的頻率。那麼，如何將高頻數據融入到低頻回歸中就成瞭亟待解決的問題。因此，混頻數據分析， MIDAS（Mixed Data Sampling）就應運而生瞭（Ghysels, E., Santa-Clara, P., & Valkanov, R. 2004）。

本文用Eview做的分析講解，截至23年9月Stata還沒有官方用於分析混頻數據的包，人大經濟論壇上有人發佈瞭個人寫的程序包，但是是收費的，大概在400元左右。R和Matlab聽說已經有免費包瞭，但是我個人對此並不十分熟練，所以留待後續研究。

一、MIDAS的原理

（一）直觀理念

MIDAS的理念很簡單，既然高頻數據沒有辦法直接進行回歸，那我通過一個函數將高頻數據處理成低頻數據，不就是回到瞭已知的道路上嘛。

Y_{t}^{L}=sum_{i}^{q}beta_{i}{Y_{t-i}^{L}}+lambda f(gamma,X_{j,t}^{H})+varepsilon_{t}

Y_{t} 是一個低頻時序數據， X_{j,t} 是一系列的高頻自變量，我想做的第一步就是找到一個函數f(gamma,X_{j,t}^{H})把高頻數據處理成低頻的。最直觀的方法就是將高頻數據取平均，比如通過月度低頻與日度高頻回歸，1月時，就是將31天的高頻數據求算數平均瞭。

f(gamma,X_{j,t}^{H}) = frac{1}{n}sum_{i}^{n}{X_{j,t}^{H}}，gamma=frac{1}{n}

（二）權重函數選擇

當然，我們也可以選擇不同的函數形式來處理高頻數據。直觀上我們就可以給臨近的數據賦予較高的權重，而給較遠的數據賦予較低低的權重。另一個值得註意的問題是，如果數據量不大，我們估計的權重個數不會很多，但是如果數據頻率較高，比如說是日度數據，我們就需要權衡模型效率、參數識別和準確度等方面。

那麼在實際選擇的過程中，我們既要考慮選擇多少期的滯後項（t-j）來匯總高頻數據，又要考慮如何選擇權重(γ)將高頻數據匯總。

高頻數據變低頻概念示意

1.無約束權重

在我們完全沒有任何權重假設時，最一般的想法肯定時無約束權重。此時我們隻考慮選擇滯後階數，讓軟件根據滯後階數，自行選擇權重，並輸出擬合效果最好的權重和模型。此時，每個滯後階數的權重（γ）大概率都是不一樣的，因此，又被稱之為無約束權重。

2. Step 權重

在無約束權重的基礎上，我們可以假設權重隻在有限的幾個常數中選擇，這也就是Step權重。Step權重直觀上就是像走臺階，前N個滯後階數的權重是相同的，N到2N權重也是相同的，以此類推。比如我們在用高頻日度數據回歸月度數據的時候，可以對第1~7天的數據選擇第1個等權重，對8~14天選擇第2個等權重。

3. Almon (PDL)權重

Almon權重將所有的權重都通過一個P階多項式表達出來。

gamma_{0} = a_{0}

gamma_{1} = a_{0}+a_{1}+a_{1}+...+a_{p}

gamma_{2} = a_{0}+2a_{1}+2^{2}a_{2}+...+2^{p}a_{p}

gamma_{j} = a_{0}+ja_{1}+j^{2}a_{2}+...+j^{p}a_{p}

這種方法最大的優勢就是進一步提高瞭估計的效率。我們不再需要像無約束權重一樣估計每一個權重系數，而是通過更少的多項式系數選擇將每一個權重表達出來。EViews一般采用三階多項式。

4. Exponential Amlon 權重

類似的我們也可以不用多項式形式而采用指數形式來表達權重。

gamma_{k} = frac{exp(ktheta_{1}+k^{2}theta_{2})}{sum_{j=0}^{k}{exp(jtheta_{1}+j^{2}theta_{2})}}

指數型權重，將要估計的參數進一步縮小到兩個。也就是說每一期滯後階數的權重，都可以用一個兩參數的指數函數換算出來。指數型權重的特點是當這兩個參數都等於0的時候，它可以退化為等權重算術平均形式，同時指數性權重也是高度非線性的，權重降得很快。

5. Beta 權重

Beta權重可以看作是更一般化非線性權重。

gamma_{k} = frac{omega_{k}^{theta_{1}-1}(1-omega_{k})^{theta_{2}-1})}{sum_{j=0}^{k}{omega_{k}^{theta_{1}-1}(1-omega_{k})^{theta_{2}-1}}}+theta_{3}

omega_{k}=frac{j-1}{k-1}

貝塔函數有三個待估參數 theta_{1}theta_{2}theta_{3} 。而這三個參數的變化可以將貝塔函數退化為多種形式，遞增，遞減，水平，U型，倒U型等。比如：

theta_{1}=theta_{2}=1，算數平均

theta_{1}=1， theta_{2}>1，遞增

theta_{1}=1， theta_{2}<1，遞減

三、Eview實操

（一）數據錄入

混頻數據分析在EViews中比較有趣的一點是，由於數據的頻率不同，所以高頻和低頻數據不能放在同一個數據頁上。

（二）定義訓練集和預測集（可以不做，選擇每次在Sample窗口手動輸入）

我們希望先通過訓練集來訓練出一個模型，並根據訓練出的模型估計值與真實值的差，來判斷這個模型的好壞。在根據預測集來幫我們預測未來的數據。

比如，在Command窗口輸入：

sample train @first 2020Q2

sample forcast 2020Q3 @last

第一個命令指，我們將第1個數據到2020年第2季度的數據定義為訓練級，稱之為train。第二個命令指，我們將2022年第3季度數據到最後一個已知數據定義為預測集，稱之為forecast。

（三）進行回歸估計

選擇Quick→ Estimate Equation，在Method field, 選擇MIDAS – Mixed Data Sampling Regression.

a85d70f3c4010a6b898285a7450c9646

可以選擇自動挑選滯後階數，也可以根據你的模型假設，固定滯後階數。要註意的是自動選擇滯後階數，僅適用於almon和step權重。Option選項，可以按需選擇權重。

631ad54ffabff93ab2f3939d773404be無約束權重結果step權重結果ebe21c59bdc2b3ffb5458be71aa66e13Almon權重結果

（四）模型擬合

點擊Forcast，就對模型擬合進行評價，Dynamic是預測數據進行再輸入，Static是用真實值再輸入，所以Static方法隻能外延一步。

Eview會給4種判斷模型優劣的參數，所有參數都是越小越好。

Root Mean Squared Error和Mean Absolute Error會受到數據大小縮放的影響。Mean Abs. Percent Error 和 Theil Inequality Coefficient兩個取值均在0~1之間，不會受到數據縮放變換的影響。

Bias是預測值與真實值之間的差距, Variance是預測值方差和真實值的方差的差距, Covariance判斷的是仍未解釋的非系統性預測偏誤。

（五）模型外推

對模型進行外推預測，要將自變量進行拓展延長，否則模型無法輸出數據。

參考文獻：

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學無止境，永保好奇~