聲子
先談談為什麼會想要推導出聲子的概念，這是用來解決什麼問題的？在得到聲子概念之前，我們是希望研究原子的運動情況的。我們知道，能帶論可以比較好的解釋為什麼會有導體，但是如果純粹以能帶論來解釋電子運動，我們會發現如果給電子一個力，電子的運動速率會無限增大（再等效質量的假設下），因為晶體裡面完全沒有阻力，如此導體的電導率就會趨近於無限大，這顯然是不合理的。那麼這個時候我們要想想問題出在瞭哪裡。看看我們研究電子運動的時候提出的假設，有一個叫做絕熱近似，就是說研究電子運動的時候，假設原子是不動的，整個晶體結構是靜止的。這顯然不太合理。我們知道，給一個晶體加熱，晶體的密度會降低，會發生熱膨脹的現象，顯然原子這裡發生瞭運動。所以我們有必要研究一下原子的運動，說不定妨礙電子運動收到的阻力來自於這裡。
然後我們思考應該如何描述原子的運動——是用量子力學來描述，還是用經典力學來描述。這裡可以使用簡並溫度來作為判據，即粒子的德佈羅意波長與粒子間的距離相等時候的溫度。基於
begin{equation} left{ begin{aligned} &lambda = frac{h}{mv}\ &frac{1}{2}mv^2 = frac{3}{2}k_B T end{aligned} right. end{equation} \
我們可以有 T = frac{h^2}{3mk_B a} \
其中 a 是原子間距離。原子間平均距離是2~3 AA ，原子質量是 10^{-27} kg，電子質量是 10^{30} kg，據此推出原子的簡並溫度為50K左右，電子的簡並溫度為 10^{5} K左右。因此，在大於50K的情況下，我們用經典力學的描述方法是可以的。
既然用經典力學的描述方法，那麼我們現在就要問如何描述原子所受的力瞭。首先我們規定一下符號。原子的位置如下圖所示
圖片引自車靜光《固體物理》課程
其中 R 是原子平衡位置坐標， r 是原子的瞬時位置坐標， u 是原子的偏離位移。
這裡我們假設原子隻是在平衡位置附近做微小的運動，於是我們可以采用簡諧近似。對粒子所受勢能做泰勒展開，我們有
V(a+delta) = V(a) + V'(a)delta + frac{1}{2}V^{''}(a)delta^2 + O(delta^3) \
因為粒子處於平衡位置，所以一次導數近似於0，忽略高階項之後我們得到簡諧近似
V(a+delta) = V(a) + frac{1}{2}V^{''}(a)delta^2\
根據 F = -frac{mathrm{d}V}{mathrm{d}x} ，我們有 F = -frac{mathrm{d}V(a+delta)}{mathrm{d}delta} = -V^{''}(a)delta = -betadelta\
其中 beta= V^{''} 。也就是說力的大小與位移成正比，這是簡諧運動的典型特征瞭。
下面我們來建立原子的運動方程。我們先考慮較為簡單地一維運動。物理圖像如下：
b854373503f9a315ece432705f65d9c2圖片引自車靜光《固體物理》課程
其中， 下標 n是原子編號， x 表示原子偏離平衡位置的距離。當我們隻考慮最近鄰受力的時候，關於原子 n 我們有如下的運動方程： mfrac{mathrm{d}^2x_n}{mathrm{d}t^2} = beta (x_{n+1} - x_n) + beta(x_{n-1} - x_n) = beta frac{mathrm{d}^2x_n}{mathrm{d}n^2}\
這是一個二階常微分方程，解為波動解 x_n(t) = Ae^{i(kn-wt)} \
其中 n 的物理意義是原子在晶格裡面的位置，假設晶格常數是 a ，那麼上式可以改寫成更具有物理意義的式子
x_n(t) = Ae^{i(qna-wt)} \
其中 q = frac{k}{a} ，是波矢，這個式子在形式上更符合Bloch定理瞭。我們把上式代入運動方程，我們可以解出色散關系
omega(q) = sqrt{frac{2beta(1-cos(qa))}{m}} = 2sqrt{frac{beta}{m}}|sinfrac{qa}{2}| \
這是晶格振動中最重要的關系，相當於能帶中的E-k關系。色散關系如下圖所示：
一維單原子振動色散關系，圖片引自吳代鳴《固體物理》3.2節
根據周期性邊界條件 x(0) = x(Na) \
我們得到 q 的取值要求
e^{iqNa} = 1 \
於是有
q = frac{2pi}{Na} l\
其中 l 是整數，其中 -N/2 < l leq N/2 ， q 共有 N 個取值，也就是有 N 種振動模式。
下面討論稍微復雜一點的一維雙原子晶格的振動，篇幅所限，就不詳細介紹每一步驟瞭。
物理圖像如下：
ed6cdf492ddb3770b17000a282aad1a1圖片引自車靜光《固體物理》課程
運動方程為
Mfrac{mathrm{d}^2 u_n}{mathrm{d}t^2} = beta(v_n-u_n) +beta(v_{n-1} - u_n) \ mfrac{mathrm{d}^2 v_n}{mathrm{d}t^2} = beta(u_{n+1 }-v_n) +beta(u_{n} - v_n) \
設 M > m ，上式的試探解為
u_n = Ae^{i(naq -omega t)} \ v_n= Be^{i(naq -omega t)} \
代入運動方程有
(2beta-Momega^2)A - beta(1+e^{-iomega q})B = 0 \ - beta(1+e^{iomega q})A +(2beta-momega^2)B = 0 \
該方程有非零解的條件是系數行列式等於0，由此可以解出色散關系
omega^2(q) = frac{beta}{Mm}[M+mpm(M^2+m^2+2Mmcos qa)^{1/2}] \
可以看出這個情況下色散關系有兩個。我們把頻率較高的稱作光學支，頻率較低的稱作聲學支。
a839a8ed10b3812a1fdc0a33578ff814一維雙原子振動色散關系，圖片引自吳代鳴《固體物理基礎》3.2節
對於光學支，相鄰原子振幅之比
frac{A}{B} = frac{beta(1+cos qa)}{2beta - Momega_{+}^2(q)} < 0\
所以相鄰原子振動相反，在 q=0 的情況下， omega(q) neq 0 ，這種特征的格波稱之為光學模。在長波極限（ q approx 0 ）下， frac{A}{B} approx frac{m}{M}，這表明原子相對振動的時候質心不變。在離子晶體內，正負離子如果產生這樣的運動則可以產生迅速變化的電偶極矩可以與電磁波作用，這也是它被稱為光學支的原因。
對於聲學支， frac{A}{B} = frac{beta(1+cos qa)}{2beta - Momega_{-}^2(q)} > 0\
表明原子振動方向相同，長波極限下， frac{A}{B} approx1 ，所以長的聲學模代表質心的運動，當 qa << 1 的時候， omega^2_{-}(q) approx frac{beta a^2 q^2}{2(M+m)} \
頻率與波矢成正比，類似於連續介質中的聲學波，所以稱為聲學模。
光學模（上）聲學模（下）中原子位移示意圖，圖片引自吳代鳴《固體物理基礎》
根據周期性邊界條件可以得出 q 有 N 個取值（與一維單原子類似），因為有兩支格波，所以總共有 2N 個獨立振動模式，而這個數正好等於晶體的總自由度。這邊我們提到瞭“獨立”的概念，我們知道晶體內的原子的振動是彼此不獨立的，但是原子的集體振動的模式是彼此獨立的，至少我們沒有從任何地方發現不同集體振動模式之間有什麼依賴。這個發現很重要，這個發現為聲子概念的提出鋪好瞭道路。
從一維單原子與一維雙原子的運動模式，我們可以比較合理的推測一維s原子模型的振動模式有 sN 個，那麼三維s原子模型的振動模式有 3sN 個。事實上的確如此，但是三維晶格的振動推導較為復雜，此處暫時不予推導。
到這裡為止，我們發現我們通過簡諧近似對原子的運動進行描寫，發現原子的集體運動模式是互相獨立的格波，再往前走一點點，有沒有發現這種獨立有點“量子化”的感覺？如果我們把集體運動看成是一個叫做“集體”的粒子的運動，那麼這個粒子就擁有分立的運動狀態與能量，這太“量子力學”瞭。於是我們可以嘗試是否可以用量子力學來實現這種推導，從而可以導出這個叫做“集體”的粒子的方程。
下面我們就嘗試用量子力學處理一維的單原子晶格。對於一位單原子晶格中，原子的振動偏移的普遍解為
u_n = sum_{l} A_l e^{i(naq_l-omega_lt)} \
此處 u_n 是與上文一維單原子運動推倒的 x_n是一個含義，代表原子的振動偏移。既然要解薛定諤方程，我們就先寫出體系的哈密頓量：
H = frac{1}{2}Msum_{n=1}^N u_n^{'2} + frac{1}{2}betasum_{n=1}^N(u_{n-1} - u_n)^2 \
其中 u^{'} 表示速度，關於體系哈密頓量的勢能部分的推導參考《固體物理基礎》[1]。這個哈密頓量的問題在於勢能項包含 u_nu_{n-1} ，無法分離變量，所以不好解，所以我們要想辦法能不能做一個變量替換，從而實現變量的解耦。於是我們引入如下變換：
u_n = frac{1}{sqrt{Nm}} sum_q Q_q(t)e^{iqna} \
相當於引入 Q_q 作為一個新的坐標，這個坐標可以降低原子運動空間描述的冗餘，因此稱為簡正坐標。把這個坐標替換到哈密頓量中，最終我們可以得到如下的哈密頓量：
H = frac{1}{2}sum_q(|Q_q^{'}|^2 + omega_q^2|Q_q|^2) \
如此就可以過渡到量子力學的處理——簡諧振子方程，最終可以解出能量：
E(omega_q) = (n_q + frac{1}{2})hbar omega_q \
我們稱這種粒子為聲子，聲子代表的就是一個獨立格波。引入聲子概念對於研究晶體振動有關的物理現象是很方便的，比如在研究光子、電子等微觀粒子與格波的相互作用時，可以描述為它們與聲子的相互作用，通過產生或者吸收某種聲子從而改變自身的能量與動量，使得物理圖像更加直觀生動，便於理論分析。[2]
這樣我們就在簡寫近似下得到瞭一個新的準粒子——聲子。好瞭，關於聲子概念的起源，就先介紹到這裡。
參考
- ^《固體物理基礎》吳代鳴，3.1 節
- ^《固體物理基礎》吳代鳴，3.4.1節
