聲明：本篇幅僅在知乎發佈！

創作於----Dec 12, 2020

本篇幅將簡單討論留數法實現有理函數拆分的原理，不涉及過多數學專業知識(本人非數系！)。關於計算有理函數積分留數拆分法見下所示。

(更新於:May 8,2022)——修改幾處敘述不清的地方

之前有人問我，關於留數拆分法是怎麼實現的，為什麼有理函數拆分可以使用此方法。在這裡，我作一個統一的答復。

之前在看《電路--邱關源》這本書的時候，後面有個章節叫“動態電路復頻域分析”，書中講瞭幾個關於象函數F(S)分解的例子，然後覺得這種方法在處理有理函數積分的時候有用。於是就將書上的方法應用在瞭計算有理函數積分上，後來上網查閱相關資料才知道該方法叫留數法(復變函數相關知識)。後來，我抽瞭點時間研究瞭下留數法是如何求出待定系數的。

為瞭簡單明瞭的解釋留數法，本人隻通過幾個典型例題來領悟一遍留數法實現原理，過於復雜的情況將不作討論。

★單根情況

★重根情況

★復根情況

★結束語

以下內容不涉及具體關於復變函數以及過於專業化術語，若想深入研究則另當別論。所有例子都是真分式，且分母最高次項系數為1的情況。

一、單根情況

例1：拆分 frac{x+1}{x^2-5x+6}

第一步，按照有理函數拆分原則將該分式拆為：

frac{x+1}{x^2-5x+6}=frac{x+1}{(x-2)(x-3)}=frac{A}{x-2}+frac{B}{x-3}

第二步，就是如何求這兩個未知數。

以往的方法就是將拆出來的幾項進行通分，然後聯立方程組解出相應的未知數。故：隻要是真分式並按照拆分原則進行正確拆分，通過待定系數法一定可求出相應待求系數。或者有一個較快的方法就是通過取特殊值確定其系數。在這裡，將用留數法來解決這兩個待求系數。

先看系數A，將等式兩邊同時乘以(x-2),得

frac{(x+1)(x-2)}{x^2-5x+6}=frac{x+1}{x-3}=A+frac{B(x-2)}{x-3}

在這裡如果按照取值的方法，取x=2是最簡單不過的瞭。因為取x=2可使 frac{B(x-2)}{x-3} 為0。

於是等式左右兩邊同時取x為2得。

[frac{(x+1)(x-2)}{x^2-5x+6}]|_{x=2}=(frac{x+1}{x-3})|_{x=2}=A+[frac{B(x-2)}{x-3}]|_{x=2}

所以， A=(frac{x+1}{x-3})|_{x=2}=-3。按照同樣的方法，將等式左右同乘以(x-3)得,

frac{(x+1)(x-3)}{x^2-5x+6}=frac{x+1}{x-2}=frac{A(x-3)}{x-2}+B ,左右兩邊取x=3得，

[frac{(x+1)(x-3)}{x^2-5x+6}]|_{x=3}=(frac{x+1}{x-2})|_{x=3}=[frac{A(x-3)}{x-2}]|_{x=3}+B ,於是

B=(frac{x+1}{x-2})|_{x=3}=4

當然，我們也可以從極限角度去看待這個問題，這裡以系數A為例。對上面同乘以(x-2)的等式取極限(x→2)可得，

lim_{x rightarrow 2}{frac{(x+1)(x-2)}{x^2-5x+6}}=A+lim_{x rightarrow 2}frac{B(x-2)}{x-3} ,其中極限 lim_{x rightarrow 2}frac{B(x-2)}{x-3}=0 ,

於是可得， A=lim_{x rightarrow 2}{frac{(x+1)(x-2)}{x^2-5x+6}} ，由洛必達法則得

A=lim_{x rightarrow 2}{frac{(x+1)'(x-2)+(x+1)(x-2)'}{(x^2-5x+6)'}}

=lim_{x rightarrow 2}{frac{(x+1)'(x-2)}{(x^2-5x+6)'}}+lim_{x rightarrow 2}{frac{(x+1)(x-2)'}{(x^2-5x+6)'}} (假設極限存在的情況下)

對於上述極限，等式右側第一個極限明顯為0，這時隻需計算第二個即可。

所以， A=lim_{x rightarrow 2}{frac{(x+1)(x-2)'}{(x^2-5x+6)'}}=lim_{x rightarrow 2}{frac{x+1}{(x^2-5x+6)'}}=[frac{x+1}{(x^2-5x+6)'}]|_{x=2}=-3

同理， B=lim_{x rightarrow 3}{frac{x+1}{(x^2-5x+6)'}}=[frac{x+1}{(x^2-5x+6)'}]|_{x=3}=4

綜上我們可得出一個基本結論，

結論1：若 frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}=frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+...+frac{A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}+... ( Q_{m}(x)可分解為含有若幹單因式的項),

則A_{k}(kin N^{*})=[frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}·(a_{k}x+b_{k})]∣_{x=-frac{b_{k}}{a_{k}}}=[frac{a_{k}·P_{n}(x)}{Q'_{m}(x)}]∣_{x=-frac{b_{k}}{a_{k}}}

若 a_{i}=1(i=1,2,...,n) ,則 A_{k}(kin N^{*})=[frac{P_{n}(x)}{Q'_{m}(x)}]∣_{x=-b_{k}}

※※※PS：隻有拆出來的項中，分母為單根才能使用上述結論，否則就不行。打個比方,對於下面這個有理分式。

frac{1}{(x-2)(x-3)^2}=frac{A}{x-2}+frac{B}{x-3}+frac{C}{(x-3)^2}

對於該分式系數A可以使用結論1，因為x-2=0隻有一個根x=2，B、C就不能使用該法則，因為(x-3)^2=0的解為二重根( x_{1、2}=3 ).

二、重根情況

例2：拆分frac{1}{(x+1)^{3}x²}

按照有理函數拆分原則將該分式拆為：

frac{1}{(x+1)^{3}x²}=frac{A_{1}}{x+1}+frac{A_{2}}{(x+1)^{2}}+frac{A_{3}}{(x+1)^{3}}+frac{B_{1}}{x}+frac{B_{2}}{x²}（等式原式）

首先考慮B1、B2,他們的情況較為簡單。

首先，將上式兩邊同時乘以x^2，得式①，

frac{1}{(x+1)^{3}}=frac{A_{1}·x^2}{x+1}+frac{A_{2}·x^2}{(x+1)^{2}}+frac{A_{3}·x^2}{(x+1)^{3}}+B_{1}x+B_{2} ,（①）

顯然等式兩邊同時取x=0可得， B_{2}=frac{1}{(x+1)^{3}}∣_{x=0}=1

PS:B2的求法與上述結論1第一個等號後面的方法類似。

對於B1，取x=0會將B1消掉，於是我們就不能直接將x=0代入，我們就要想辦法把B1中的未知數x給消掉。

在這裡,介紹兩種方法。

NO.1(極限法) 等式原式兩邊同時乘以x可得，

frac{1}{x(x+1)^{3}}=frac{A_{1}·x}{x+1}+frac{A_{2}·x}{(x+1)^{2}}+frac{A_{3}·x}{(x+1)^{3}}+B_{1}+frac{B_{2}}{x} ，由於B2的結果已知，然後等式兩邊同時去極限(x→0)可得，

lim_{x rightarrow 0}{}frac{1}{x(x+1)^{3}}=lim_{x rightarrow 0}{}[frac{A_{1}·x}{x+1}+frac{A_{2}·x}{(x+1)^{2}}+frac{A_{3}·x}{(x+1)^{3}}]+B_{1}+lim_{x rightarrow 0}{}frac{1}{x}

其中A1-A3這三個系數所代表的極限為0，於是

B_{1}=lim_{x rightarrow 0}[frac{1}{x(x+1)^{3}}-frac{1}{x}]=lim_{x rightarrow 0}{frac{1-(x+1)^3}{x(x+1)^3}}=lim_{x rightarrow 0}{frac{-3(x+1)^2}{(x+1)^3+3x(x+1)^2}}=-3

NO.2(留數法) 對等式①左右進行求導並取x=0得，

[frac{1}{(x+1)^{3}}]'|_{x=0}=[frac{A_{1}·x^2}{x+1}]'|_{x=0}+[frac{A_{2}·x^2}{(x+1)^{2}}]'|_{x=0}+[frac{A_{3}·x^2}{(x+1)^{3}}]'|_{x=0}+B_{1}

在這裡可直接計算出B1，可能很多人問為什麼不計算A1-A3這三個系數所代表的導數？我們這樣來看，以A1為例,[frac{A_{1}·x^2}{x+1}]'=[frac{A_{1}}{x+1}·x^2]'，根據求導法則有，

[frac{A_{1}·x^2}{x+1}]'=[frac{A_{1}}{x+1}·x^2]'=(frac{A_{1}}{x+1})'·x^2+(frac{A_{1}}{x+1})·2x

從上式可以看出第二個等號後面第一部分為一個含有A1的分式求導後乘瞭個x^2，因此第一部分不管x^2前面的分式求導後結果有多麼復雜，乘以x^2取x為0後的結果必然為0。第二個等號後面第二部分是一個關於A1的分式乘以x^2求導後的一個式子，顯然x^2求導後還是含有x，取x=0結果依然為0。於是，

B_{1}=frac{d}{dx}[frac{1}{(x+1)^{3}}]∣_{x=0}=-3

按照同樣的方法可求出A1-A3相應的系數，這裡還是運用這兩種方法。將拆分出的等式兩邊同乘(x+1)^3可得式②

frac{1}{x²}=A_{1}(x+1)^{2}+A_{2}(x+1)+A_{3}+frac{B_{1}(x+1)^3}{x}+frac{B_{2}(x+1)^3}{x²} （②）

顯然取x=-1，得A3=1。至於A1、A2，運用兩種方法去處理它。

NO.1(極限法)

(1).等式②兩邊同時除以(x+1)可得，

frac{1}{x^2(x+1)}=A_{1}(x+1)+A_{2}+frac{A_{3}}{x+1}+frac{B_{1}(x+1)^2}{x}+frac{B_{2}(x+1)^2}{x²}

等式兩邊同時取極限( x→-1 )得，lim_{xrightarrow -1}frac{1}{x^2(x+1)}=lim_{xrightarrow -1}[A_{1}(x+1)+frac{B_{1}(x+1)^2}{x}+frac{B_{2}(x+1)^2}{x²}]+A_{2}+lim_{xrightarrow -1}frac{A_{3}}{x+1}

於是代入A3得， A_{2}=lim_{x rightarrow -1}[{frac{1}{x^2(x+1)}}-frac{1}{x+1}]=lim_{x rightarrow -1}{frac{1-x^2}{x^2(x+1)}}=lim_{x rightarrow -1}{frac{-2x}{x^2}}=2

(2).等式②兩邊同時除以(x+1)^2可得，

frac{1}{x^2(x+1)^2}=A_{1}+frac{A_{2}}{x+1}+frac{A_{3}}{(x+1)^2}+frac{B_{1}(x+1)}{x}+frac{B_{2}(x+1)}{x²}

等式兩邊同時取極限( x→-1 )得，

lim_{xrightarrow -1}frac{1}{x^2(x+1)^2}=lim_{xrightarrow -1}[frac{B_{1}(x+1)}{x}+frac{B_{2}(x+1)}{x²}]+A_{1}+lim_{xrightarrow -1}[frac{A_{2}}{x+1}+frac{A_{3}}{(x+1)^2}]

代入A2、A3值，最後算出

A_{1}=lim_{xrightarrow -1}[frac{1}{x^2(x+1)^2}-frac{2}{x+1}-frac{1}{(x+1)^2}]=lim_{x rightarrow -1}{frac{1-2x^2(x+1)-x^2}{x^2(x+1)^2}}

=lim_{x rightarrow -1}frac{-4x(x+1)-2x^2-2x}{2x(x+1)^2+2x^2(x+1)}=lim_{x rightarrow -1}frac{-3}{(x+1)+x}=3

NO.2(留數法)

(1).等式②兩邊同時求導可得，

[frac{1}{x²}]'=2A_{1}(x+1)+A_{2}+[frac{B_{1}(x+1)^3}{x}]'+[frac{B_{2}(x+1)^3}{x²}]'

這裡 [frac{B_{1}(x+1)^3}{x}]'|_{x=-1}=[frac{B_{2}(x+1)^3}{x²}]'|_{x=-1}=0，與上面那個情況類似，這裡就不作過多解釋。

於是， A_{2}=[frac{1}{x²}]'|_{x=-1}=2

(1).再對等式②兩邊求導可得，

[frac{1}{x²}]''=2A_{1}+[frac{B_{1}(x+1)^3}{x}]''+[frac{B_{2}(x+1)^3}{x²}]''

則 A_{1}=frac{1}{2!}[frac{1}{x²}]''|_{x=-1}=3 從上面可以看出，留數法比極限法來得更加快捷方便，於是根據留數重根情況可以得出如下結論。

結論2：

frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}=frac{A_{1}}{x+b}+...+frac{A_{n}}{(x+b)^{n}}+... ( Q_{m}(x)可分解為含有n重單因式的項)

★當k=n時，A_{n}(nin N^{*})=[frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}·(x+b)^{n}]∣_{x=-b}(PS：其中a=1，a≠1情形見下)

★當1leq k＜n,kin N^{*}時

A_{k}(kin N^{*})=frac{1}{(n-k)!}frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}[frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}·(x+b)^{n}]∣_{x=-b}

PS：當k=n時，該請況與結論1中的第一個等號後面的法則類似。

※若ane1怎麼辦？

答：當然是將把待拆有理函數分母重根部分中的ax±b部分弄成x±(b/a)的形式，這時候就可以繼續用結論2瞭，見如下例3。

例3：拆分frac{1}{x(2x-1)^{3}}

解： frac{1}{x(2x-1)^{3}}=frac{A}{x}+frac{B}{2x-1}+frac{C}{(2x-1)^{2}}+frac{D}{(2x-1)^3}

首先，按照單值代入法，可得

A=[frac{1}{(2x-1)^{3}}]∣_{x=0}=left{ frac{1}{[x(2x-1)^3]'} right}|_{x=0}=-1 ；

D=(frac{1}{x})|_{x=frac{1}{2}}=2

對於未知數B、C，由於分母未知項系數不為1，若按照上述重根代入的方法將會出現錯誤。在這裡，隻需要將上述等式左右兩邊待求未知項系數變為1即可。

frac{frac{1}{8}}{x(x-frac{1}{2})^{3}}=frac{A}{x}+frac{frac{B}{2}}{x-frac{1}{2}}+frac{frac{C}{4}}{(x-frac{1}{2})^{2}}+frac{D}{(2x-1)^3}

上式左右同乘以8得，

frac{1}{x(x-frac{1}{2})^{3}}=frac{8A}{x}+frac{4B}{x-frac{1}{2}}+frac{2C}{(x-frac{1}{2})^{2}}+frac{8D}{(2x-1)^3}

於是，按照重根代入法:

2C=frac{d}{dx}(frac{1}{x})|_{x=frac{1}{2}}=(-frac{1}{x^2})|_{x=frac{1}{2}}=-4

4B=frac{1}{2!}frac{d^{2}}{dx^{2}}(frac{1}{x})|_{x=frac{1}{2}}=frac{1}{2}frac{d}{dx}(-frac{1}{x^2})|_{x=frac{1}{2}}=(frac{1}{x^3})|_{x=frac{1}{2}}=8

故B=2，C=-2。所以

frac{1}{x(2x-1)^{3}}=frac{-1}{x}+frac{2}{2x-1}+frac{-2}{(2x-1)^{2}}+frac{2}{(2x-1)^3}

三、復根情況

有瞭單根、重根情況後，復根情況就不以為然瞭。其實，復根情況可看作是單根的特殊情形，為什麼這樣說呢？舉個例子就明白。

例4：拆分frac{x+2}{(2x+1)(x²+x+1)}

按照部分分式原則，該有理分式可拆分為，

frac{x+2}{(2x+1)(x²+x+1)}=frac{A}{2x+1}+frac{Bx+D}{x²+x+1}

這裡首先按照單根情況可計算出系數A，

A=[frac{x+2}{x²+x+1}]∣_{x=-frac{1}{2}}=left{ frac{2(x+2)}{[(2x+1)(x^2+x+1)]'} right}|_{x=-frac{1}{2}}=2

這裡主要討論B、D怎麼求。以下方法可對比留數定理當中的重根情況。

如果從留數定理角度去考慮話，這個題還可以繼續拆分。

由於 x²+x+1=0有一對共軛復根，其解為x=-frac{1}{2}pmfrac{sqrt{3}}{2}i

於是將有理分式拆為：

frac{x+2}{(2x+1)(x²+x+1)}=frac{A}{2x+1}+frac{B}{x-(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)}+frac{D}{x-(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)}

其中系數A按照單根代入法解出，這裡主要討論B、D的解法，B、D可以看作為關於復數的單根情況(總的來說以上等式拆分後都是關於單根情況，隻是一個是實數，另外兩個是復數罷瞭！)，B、D的分母是關於單復根的因式且未知數系數為1，這裡按照單根代入法求即可，於是

B=left{ frac{x+2}{[(2x+1)(x^2+x+1)]'} right}|_{x=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i}=-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{6}i

D=left{ frac{x+2}{[(2x+1)(x^2+x+1)]'} right}|_{x=-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i}=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{6}i

於是上述拆分的結果為，

frac{x+2}{(2x+1)(x²+x+1)}=frac{2}{2x+1}+frac{-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{6}i}{x-(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)}+frac{-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{6}i}{x-(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)}

其中 frac{-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{6}i}{x-(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)}+frac{-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{6}i}{x-(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)}=frac{(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{6}i)[x-(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)]+(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{6}i)[x-(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)]}{[x-(-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i)][x-(-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i)]}

=frac{-x}{x^2+x+1}

最後算出來的結果需將含有復分式結果化為實函數。

以上方法是我在處理有理函數積分時常用方法，方法僅供參考！適用才是硬道理。

In The End.

Thanks for your reading！