上一篇文章提供瞭數列收斂的直觀解釋，這數不勝數得重要，務必理解清楚：數列的收斂性。並且我提到引入有界性和單調性是為瞭描述收斂性，那麼接下來就先討論收斂性與有界性的關系。

我還是先列出有界性和收斂性的定義：設 left{x_nright} 是數列，則

1. left{x_nright} 有界是指存在 m,Minmathbb R, 使得對於任意 ninmathbb N_+, 成立 mle x_nle M.
2. left{x_nright} 收斂是指存在 xinmathbb R, 使得對於任意 varepsiloninmathbb R_+, 成立存在 Ninmathbb N_+, 使得對於任意 ninmathbb N_+, 成立若 n>N, 則 left|x_n-xright|<varepsilon.

所謂兩種性質的關系，主要就是充分性和必要性。根據直覺，從收斂性應該很容易推出有界性。我先從直覺的角度說明原因，再給出嚴格證明。希望這種做法可以讓你更容易理解證明當中所用的技巧背後的想法。

首先，有限數集一定有界。其次，給一個有界數集並上一個有限數集，依然成立有界性。收斂數列必定從某一項起，後面的項構成的數列有界，而前面的項有限，所以有界。

若 left{x_nright} 收斂，則存在 xinmathbb R 和 Ninmathbb N_+, 使得對於任意 ninmathbb N_+, 成立若 n>N, 則 left|x_n-xright|<1. 另一方面，歸納可知有限集有最值。取

begin{align}&m=minleft{x_1,cdots,x_N,x-1right},\&M=maxleft{x_1,cdots,x_N,x+1right},end{align}

則對於任意 ninmathbb N_+, 成立 mle x_nle M.

但是很明顯，有界數列不一定收斂，我們可以找到一個很簡單的反例是 left{left(-1right)^nright}.

不過我不希望這個問題回答到如此簡單的程度就完事瞭，而是希望對於有界數列找到一個成立的關於收斂性的稍弱的結論，這種想法在數學上是很好的。

依然觀察剛才那個反例，雖然它本身不收斂，但是它的奇數項或者偶數項所成的數列是恒等數列，於是收斂。推廣之，引入子列概念，註意從現在開始，當我沒有前提地使用子列這個詞時，默認是無窮的子列。

對於數列 left{x_nright}, 取 mathbb N_+ 的一個無限子集，此集中的元素從小到大排成 k_1,k_2,cdots, 則稱 left{x_{k_n}right} 是 left{x_nright} 的一個子列。

按照剛才的發現，我們猜想有界數列必有收斂子列。我同樣先給出對此的一種直觀解釋，再給出嚴格證明。

對於一個有界數列，指定它的一組上下界。現在把這個上界進行縮小，如果處在這樣的界內的項無限，就把它作為一個子列，否則就以這個界之外的部分作為一個界。如此我們可以對於任何縮小上界的操作指定縮小瞭界的子列。這樣的操作可以無限進行下去，最終確定一個收斂子列。

設 left{x_nright} 的一個上下界分別是 M,m. 取 a_1=tfrac{M+m}{2}, 則由反證法，滿足 a_1le x_nle M 和 mle x_nle a_1 的 n 至少有一方有無限多個。若前者有無限多個，則取 m_1=a_1, M_1=M, 否則取 m_1=m, M_1=a_1, 則 M_1-m_1=tfrac{M-m}{2}. 然後取 a_2=tfrac{M_1+m_1}{2}, 以此類推。

歸納可知 M_n-m_n=tfrac{M-m}{2^n}. 所以對於任意 varepsiloninmathbb R, 取 K 為一個不小於 log_2tfrac{M-m}{varepsilon} 的正整數，成立操作 N 次後，記所得的子列為 left{x_{k_n}right}, 則

left|x_{k_n}-a_{K+1}right|lefrac{M_K-m_K}{2}<varepsilon.

其中第一個不等號按是否成立 x_{k_n}ge a_{K+1} 討論證明，第二個不等號處的計算過程為

frac{M_K-m_K}{2}=frac{M-m}{2^{K+1}}lefrac{M-m}{2cdotfrac{M-m}{varepsilon}}<varepsilon.