1.2.1 频率与概率的概念

对于随机试验中的随机事件来说，其在一次试验中是否一定发生，我们是不能预先知道的，但它们在一次实验中发生的可能性是有大小之分的。

比如：在掷硬币时，正面向上的可能性和反面向上的可能性是一样的；掷色子时，点数大于3的可能性比点数大于4的可能性大。

一般的，对于一个随机事件 A ，可以找到一个数与之相对应，此数可以作为事件 A 发生的可能性大小的度量，称此数为事件 A 发生的概率，记为 P(A) 。

但是上面所说的数是怎么来的？不可能凭空得来的。这就涉及到了概率的“测量”问题，为此首先引入频率，他描述了事件发生的频繁程度，进而引出表示事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率。

定义1.2 在相同的条件下重复进行 n 次试验，如果事件 A 在这 n 次试验中出现了 n_A 次，则称比值 frac{n_A}{n} 为事件 A 发生的频率，记为 f_n(A) ，即

f_n(A)=frac{n_A}{n}./

频率的性质：

（1）非负性： f_n(A)geq0 ;（因为 n>0, n_Ageq0 ）

（2）规范性：若 A 为必然事件，则 f_n(A)=1 ;

（3）有限可加性：若 A_1, A_2, A_3, …,A_m 是一组两两互不相容的事件，即 A_iA_j=varnothing (1leq i,jleq m, ine j) ，则 f_n(bigcup_{i=1}^{m}A_i)=sum_{i=1}^{m}f_n(A_i)./ 从定义看，频率 f_n(A) 的大小表示在 n 次试验中事件 A 发生的频繁程度。如果事件 A 发生的频率越大，事件 A 的发生就越频繁，在一次事件中事件 A 发生的可能性就越大，即事件 A 发生的概率越大。因此，我们理所当然的可以想到用频率来描述概率。（存在的问题：比如抛4次硬币，恰好全是正面向上，则频率是1，也就是说正面向上的频率大于反面向上，正面向上的概率大于反面向上，但实际上正面和反面的概率是一样的，下面的表述就可以解决这个问题）

有很多锲而不舍的人（大闲人）做过掷硬币实验

实验者	投掷次数n	正面出现的次数	频率
蒲丰	4040	2048	0.5070
皮尔逊	12000	6019	0.5016
皮尔逊	24000	12012	0.5005

从上表可以看出的是：当投掷试验次数逐渐变大时，频率在0.5附近摆动且逐渐稳定于0.5（距离0.5越来越近）。

我们可以得出一个更加一般的结论：一个随机事件 A 在 n 次试验中出现的频率 f_n(A) 会随着试验次数的增加而在一个常数附近摆动，且逐渐稳定于这个常数。——频率的稳定性

概率的公理化定义：

设有任意一个随机试验 E ， S 为 E 的样本空间，若对于任意事件 A ，有实数 p(A) 与之相对应，且满足下列条件，则实数 p(A) 称为 A 的概率：

（1） 非负性：对于任意的事件 A ，总有 P(A)geq 0 ；

（2）规范型： P(S)=1 ；

（3）可列可加性：若 A_1,A_2,…,A_n,… 为两两互不相容的事件组，则有

P(bigcup_{i=1}^{infty}A_i)=sum_{i=1}^{infty}P(A_i)./ 1.2.2 概率的性质

由概率的定义，我们不难有如下性质：

（1） p(varnothing)=0 ；（ P(S)=P(Scupvarnothing)=P(S)+P(varnothing) ，所以 p(varnothing)=0 ）

（2）（有限可加性）若 A_1,A_2,…,A_n 为两两互不相容的事件组，则有

P(bigcup_{i=1}^{n}A_i)=sum_{i=1}^{n}P(A_i)./（3）对任意的事件 A ，有 P(overline{A})=1-P(A) ；（ 1=P(S)=P(Acupoverline{A})=P(A)+P(overline{A}) ）

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有趣的概率问题：生日问题

设班级内人数为 n （ n<365 ），则至少有两人的生日在同一天的概率是多少？

解：设一年的天数 N=365 ，事件 A= { n 个人中至少有两人的生日在同一天}，则 overline{A}= {所有人的生日都不在同一天}，由于 P(A) 不容易求，因此我们根据概率的性质（3）可知，可以通过 P(overline{A}) 得到 P(A) ，且

P(overline{A})=frac{C_{N}^{n}}{N^n}=frac{N!}{N^n(N-n)!}/ 或

因为每个人的生日在一年中的一天的概率是 frac{1}{365} ，设第一个人为365天的某一天，则另外一个人与他的生日不在同一天的概率为 frac{364}{365} ，下一个人与上面两个人的生日不在同一天的概率为 frac{363}{365} ，所以 n 个人的生日都不在同一天的概率为

P(overline{A})=1cdotfrac{364}{365}cdotfrac{363}{365}cdot…cdotfrac{365-n+1}{365}=frac{365cdot364cdot363cdot…cdot(365-n+1)}{365^n}/ 所以由 P(A)=1-P(overline{A}) 可得至少有两人的生日在同一天的概率。下面是不同 n 值下 P(A) 的值：

n	10	20	30	50	100
P(A)	0.12	0.41	0.71	0.97	0.9999997

结果让人觉得很离谱。

（上课时，我在100多个人的班里现场验证了一下，差点翻车，我说概率论还好没有毁在我的手上）

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（4）（减法公式）设 A, B 为任意事件，则

P(A-B)=P(A)-P(AB),/ 特别的，若 Bsubset A ，则

（1） P(A-B)=P(A)-P(B) ；

（2） P(A)geq P(B) .

证明：因为 A=A-B+AB 且 A-B 与 AB 互不相容，由性质（2）可得 P(A)=P(A-B+AB)=P(A-B)+P(AB) 。

（5）（加法公式）设 A, B 为任意事件，则

P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(AB)./ 证明：因为 Acup B=Acup(B-AB) 且 A 与 B-AB 互不相容， ABsubset B ，由性质（2）可得

P(Acup B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 。

上述加法公式可以推广至多个事件，常见的是三个事件的加法公式：设 A, B, C 为任意事件，则

P(Acup Bcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)./

补充：

P(AB)+P(Aoverline{B})=P(A)/

P(AB)+P(overline{A}B)=P(B)/ （上面的几个公式画出来 Venn 图就能直接得出来）

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要记公式啊，公式记不住怎么做题！

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例1：已知 P(overline{A})=0.5, P(overline{A}B)=0.2, P(B)=0.4, 求：

(1)P(AB) (2)P(A-B) (3)P(Acup B) (4) P(overline{A}overline{B})

解： P(AB)=P(B)-P(overline{A}B)=0.4-0.2=0.2;

P(A)=1-P(A)=0.5, P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5-0.2=0.3;

P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4+-0.2=0.7;

P(overline{A}overline{B})=P(overline{A}capoverline{B})=P(overline{Acup B})=1-P(AB)=1-0.7=0.3.

例2： A, B, C 是三个事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=frac{1}{4}, P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=frac{1}{8}, 求：

（1） A, B, C 至少有一个发生的概率；

（2） A, B, C 都不发生的概率。

解：（1）A, B, C 至少有一个发生，即 Acup Bcup C ，且

P(Acup Bcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),

又因为 P(AB)=0, 所以 P(ABC)=0 ，故

P(Acup Bcup C)=frac{1}{4}+frac{1}{4}+frac{1}{4}-0-frac{1}{8}-0+0=frac{5}{8};

（2）A, B, C 都不发生，即 overline{A}overline{B}overline{C} ，因此

P(overline{A}overline{B}overline{C})=P(overline{Acup B cup C})=1-P(Acup Bcup C)=1-frac{5}{8}=frac{3}{8}.

例3：已知 P(A)=0.5, P(Acup B)=0.8, P(AB)=0.3, 则 P(B)= , P(Boverline{A})= .

解： P(B)=0.6 , P(Boverline{A})=0.3 .

1.2.3 古典概型

如果一类随机实验满足：

（1）样本空间的基本事件（样本点）有有限个（不妨设为 e_1, e_2,…, e_n ）；

（2）每个基本事件出现的可能性是相等的（即 P(e_1)=P(e_2)=…=P(e_n) ），

则称这种模型为古典概型（又称等可能概型）。

若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A={e_{i_1}}cup{e_{i_2}}cup…cup{e_{i_k}} ，其中 i_1, i_2,…, i_k 是 1, 2,…, k 中个不相同的数，则有

P(A)=sum_{j=1}^kP({e_{i_j}})=frac{k}{n}=frac{A中包含的基本事件数}{S中基本事件总数}/ 初学者碰到的很多试验（题型）都是满足古典概型的，而在计算过程中又大都需要用到排列组合的知识。

排列组合：

排列：从 n 个不同元素中，任取 k （ kleq n ，且 k 与 n 都是自然数）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 k 个元素的一个排列。

从 n 个不同元素中取 k 个不同的元素的所有排列的个数常用 A_n^k 表示，且

A_n^k=frac{n!}{(n-k)!}=ntimes (n-1)times…times (n-k+1)./ 组合：从 n 个不同元素中，任取 k （ kleq n ，且 k 与 n 都是自然数）个不同的元素合并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 k 个元素的一个组合。

从 n 个不同元素中取 k 个不同的元素的所有组合的个数常用 C_n^k 表示，且

C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}./ 注：① 排列可以理解为从 n 个不同元素中，分 k 次取 k 个不同的元素；

② 组合可以理解为从 n 个不同元素中，一次取 k 个不同的元素（不考虑取出元素的顺序）；

③ C_n^k=frac{A_n^k}{k!}.

例4：从1、2、3、4、5 中等可能地、有放回的连续抽取三个数字。试求下面事件发生的概率：

（1） A= {三个数字完全不相同}；

（2） B= {三个数字中不含“2”和“5”}；

（3）C= {三个数字中“3”恰好出现两次}；

（4）D= {三个数字中至少出现一次“5”}。

上述试验满足古典概型，且基本事件总数为 5^3，则

（1）事件 A 要求三个数字完全不相同，且取出来的数字顺序不同的话，则表示的数字也不同，因此可以用排列，5个数字中选三个，即 A_5^3 ，所以： P(A)=frac{A_5^3}{5^3}=0.48 ;

同理可得：（2） P(B)=frac{3^3}{5^3}=0.216 ;

（3）三个数字中“3”出现两次，可以是三次中的任意两次，共有 C_3^2 种，剩下的一个位置只能是1、2、4、5 中的一个数，有 C_4^1 （或者 A_4^1 ）种，所以 P(C)=frac{C_3^2A_4^1}{5^3}=0.096 ;

（4） D 包含了“5”出现一次、两次和三次情况，所以事件 D 包含的事件个数为 C_3^1A_4^1A_4^1+C_3^2A_4^1+C_3^3 ，所以 P(D)=frac{C_3^1A_4^1A_4^1+C_3^2A_4^1+C_3^3}{5^3}=0.488 ;

或者：通过对立事件的概率从侧面求解事件 D 的概率。因为overline{D}= {三个数字没有数字“5”}，所以事件 overline{D} 包含的事件个数为 4^3 ，因此 P(D)=1-P(overline{D})=1-frac{4^3}{5^3}=0.488 。

1.2.4 几何概型

我们可以发现古典概型的一个重要特点就是样本点的有限性，这就导致当样本点个数为无限多个的时候古典概型就不再使用，因此出现了下述的几何概型，几何概型保留了等可能性，将将试验的可能结果推广到无限多个。

一般情况下，几何概型主要有如下特点：

（1）随机试验的样本空间 S 是某个区域（可以为一维区间、二维平面区域、三维空间区域）；

（2）每个样本点发生的可能性是相等的。

事件 A 发生的概率公式为

P(A)=frac{m(A)}{m(S)},/ 其中 m(cdot) 表示并不总是一个意思，在一维区间中表示长度，二维平面区域中表示面积、三维空间区域中表示体积。

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几何概型在初学概率时，用的不多，不再详细介绍。