個人看法，非嚴謹結論。

虛數不是虛無，虛空，虛數和實數一樣是實在的一種表達。

我認為復數不是矢量，仍然是一個標量，所以我不太認同有的同學將虛數認為是一個單獨的維度。虛數更像一個自由度。如果說實數是軸，代表一個可以在軸向上放大縮小，前進後退的自由度，虛數就是繞軸的旋轉，可以左轉右轉，轉多轉少的一個自由度。

物理上一般用實數表示某一個可測量的刻度，包括不限於角度、標量、時間等。可以是“兩個點之間的距離”，“兩條線之間的角度”等等。你想把一個刻度x放大兩倍，就是x*2.

復數中虛部的符號i 可以在物理上代表“原地逆時針旋轉1/4周”，如果廣義一點，就是“1/4周”。你想讓一個東西旋轉 90度(1/4周)，就是 x*i.

實數是一種像射線一樣的數，而虛數是一個周向的，旋轉的數。與實數相乘是縮小或膨脹，與虛數相乘是旋轉。實數指數函數 y=a^{x}, xinRe 可以認為是表達物理在 x 這個維度下所占的空間體積，而實數的虛數指數 y=a^{x}, xinIm 可以認為是在復數空間裡旋轉 x 這麼多角度。

例如2+5i, 其實是2+5*i, 即 刻度2加上逆時針旋轉1/4周的刻度5。

虛數指數 y=a^{xi}, xiinIm 表達旋轉角度。可以這麼理解： y=a^{xi}=e^{bxi} 其中 a=e^{b} ，a,b可以是復數。以自然數e為底的指數函數直接可以使用歐拉公式瞭，指數就代表旋轉的角度（弧度）。

還有一個，有的同學說 1+i 就代表旋轉45度，這個不太準確，應該是 i^{1/2} 代表1/8周，也就是45度，同理，1度就是 i^{1/90} , 452度就是 i^{452/90} . 實際上， 1+i = sqrt{2} i^{1/2} ，也就是說，1+i是旋轉瞭1/8周又放大瞭1.414倍。

任何一個復數，都可以寫成 acdot i^{theta} 的形式，其中a 就是復數的“幅值”， theta 就是復數的“輻角”，但是以多少個“1/4周”來表示。例如2+5i 就是 sqrt{29}i^{2atan(5/2)/pi} . 不嚴謹的寫法就是文圖裡的 a+bi=sqrt{a^{2}+b^2}cdot i ^{2atan(b/a)/pi} 。

同理，實數 -1，可以看成是“原地旋轉半周”， (-1)^{3} 就是原地旋轉一周半 540度， (-1)^{pi} 原地旋轉3.1415....個半周，是多少呢？205.4867度(或者360deg+205.4867deg) ，復數表達就是 -0.9027-0.4303i ，或者用復指數方式 i^{2pi } . 所以你看，虛數才不是虛無，實數函數隨時能給你整出一個虛數表達來。

自然數 1，可以看成原地旋轉360度，也可以看成原地旋轉 0 度，但是兩種看法在計1^0.25的時候就會出現分歧。前者就是“旋轉1/4周”，後者是不旋轉，那麼前者可以得到 1^0.25 = i ，後者還是得到1。這個其實都對（復數的冪函數不隻代表一個數，因為 i^{4n}=1 ，可以利用 1^a=(i^{4n} )^a=i^{4na} 來得到多個解）.

虛數當然有很多有用的推論，例如著名的歐拉公式 e^{ix}=cos(x)+i sin(x) ，在電力電子電機控制等領域非常有用。而且，歐拉公式提供瞭另一個實數虛數互換的橋梁： e^{ipi}=-1 或 i=ln(-1)/pi=e^{pi i/2} 。

比如計算 i^i ，虛數的虛數次冪，其實就可以寫成 i^{i}=(-1)^{i/2}=e^{ipicdot i/2}=e^{-pi/2}approx0.2079 （隻是其中的一個解，詳解請參考鏈接）

借用歐拉公式以後，e^{ix}=cos(x)+i sin(x)=i^{2x/pi}，旋轉1弧度可以寫為 i^{2/pi }=e^i ，因為“1/4周”等於 i ，一周就是 i^4 ，而一周有 2pi 弧度，所以1/4周就是 i^{frac{4}{2pi}}=i^{2/pi } 。所以其實你但凡看到有 e^{ivarphi} 形式的表達式，意思是旋轉瞭 varphi 弧度，你去改一筆，寫成 i^{2varphi/pi} 那是絕對正確還很能蒙人的。

還有一個好玩的 e^{x}=cos(ix)-i sin(ix) 一個實數指數函數竟然可以用復三角函數來表達。這個實際物理中恐怕用到的就不多瞭。

但是，也有一些地方有些許不便，例如相量法表達某一瞬間的三相電流：

I_{a}=1 (A), I_{b}=- frac{1}{2}+ frac{sqrt{3}}{2}i (A), I_{c}=- frac{1}{2}- frac{sqrt{3}}{2}i (A)

看著挺麻煩，即使寫成指數形式 I_b = i ^{4/3}, I_c = i^{8/3} 似乎也不太簡便。

因為i 代表1/4周旋轉，而三相電之間相差1/3周，不太合拍。

那麼，定義一個新的虛數 y, 代表“原地逆時針旋轉1/3周”如何？該瞬間的三相電流就可以表達為：

I_{a}=1 (A), I_{b}=y (A), I_{c}=-y=y^2 (A)

明顯簡單不少吧？

同樣，既然定義-1的平方根是{i, -i}, 那麼-1的立方根就是{-1, y, -y}.

再或者，我們定義 sqrt{i} =pm j , 那麼就是 j 在物理上代表“原地逆時針旋轉1/8 周”，搞不好可以用來數學描述一下八卦圖。

所以，虛數不過是我們創造的一個數學工具，它是一種描述物理現實的表達和語言，簡便的表達，美麗的語言。你用這個語言來描述不同的物理現實時，就會具有不同的物理意義。你可以不用虛數符號 i, 就用 (-1)^{0.5} 來表達同樣的意思，但是，物理研究既然已經發展到一定的高度，需要這個“旋轉之數”的概念，那我們就不能不用這個語言。我們也隨時可以創造出一種新的虛數語言或者定義，隻不過恰好“1/4周”的這個虛數定義符合大多數人的審美和習慣罷瞭。

更新：工程師咸知也一直在想為啥恰好是自然數e為底的，指數為 i 的結果就是1弧度呢？即為啥偏偏是 i^{2/pi}=e^i 。我能變成 i^y=pi ^{i} 嗎？這個y是多少？

可以畫一條曲線關系y=f(x)： i^y=x^i ，利用歐拉公式，可以簡化為

i^y=e^{frac{pi}{2}icdot y}=x^i=e^{icdot ln (x)} Rightarrow frac{pi}{2} y = ln(x) ,所以任何滿足這個條件的常數都可以用來修改上述式子，那麼令 x=pi , y=frac{2}{pi}ln (pi) , 即 i^{frac{2}{pi}ln (pi)}=pi^i。

另一個理解 (-1)^{1/pi}=e^i 的角度就是，-1是旋轉180度， (-1)^{1/pi} 就是旋轉1弧度，即 (-1)^{1/pi}=cos (1) +isin(1) ，所以對任意實數 x 弧度，有 (-1)^{x/pi} = cos (x) +i sin(x)

y=x=e^{ln(x)}=e^{icdot (-i )cdot ln(x)}=cos(-icdot ln(x))+i sin(-icdot ln(x))=cos(icdot ln(x))-i sin(icdot ln(x))