虛數是什麼

個人看法,非嚴謹結論。

虛數不是虛無,虛空,虛數和實數一樣是實在的一種表達。

我認為復數不是矢量,仍然是一個標量,所以我不太認同有的同學將虛數認為是一個單獨的維度。虛數更像一個自由度。如果說實數是軸,代表一個可以在軸向上放大縮小,前進後退的自由度,虛數就是繞軸的旋轉,可以左轉右轉,轉多轉少的一個自由度。

物理上一般用實數表示某一個可測量的刻度,包括不限於角度、標量、時間等。可以是“兩個點之間的距離”,“兩條線之間的角度”等等。你想把一個刻度x放大兩倍,就是x*2.

復數中虛部的符號i 可以在物理上代表“原地逆時針旋轉1/4周”,如果廣義一點,就是“1/4周”。你想讓一個東西旋轉 90度(1/4周),就是 x*i.

實數是一種像射線一樣的數,而虛數是一個周向的,旋轉的數。與實數相乘是縮小或膨脹,與虛數相乘是旋轉。實數指數函數 y=a^{x}, xinRe 可以認為是表達物理在 x 這個維度下所占的空間體積,而實數的虛數指數 y=a^{x}, xinIm 可以認為是在復數空間裡旋轉 x 這麼多角度。

例如2+5i, 其實是2+5*i, 即 刻度2加上逆時針旋轉1/4周的刻度5。

虛數指數 y=a^{xi}, xiinIm 表達旋轉角度。可以這麼理解: y=a^{xi}=e^{bxi} 其中 a=e^{b} ,a,b可以是復數。以自然數e為底的指數函數直接可以使用歐拉公式瞭,指數就代表旋轉的角度(弧度)。

還有一個,有的同學說 1+i 就代表旋轉45度,這個不太準確,應該是 i^{1/2} 代表1/8周,也就是45度,同理,1度就是 i^{1/90} , 452度就是 i^{452/90} . 實際上, 1+i = sqrt{2} i^{1/2} ,也就是說,1+i是旋轉瞭1/8周又放大瞭1.414倍。

任何一個復數,都可以寫成 acdot i^{theta} 的形式,其中a 就是復數的“幅值”, theta 就是復數的“輻角”,但是以多少個“1/4周”來表示。例如2+5i 就是 sqrt{29}i^{2atan(5/2)/pi} . 不嚴謹的寫法就是文圖裡的 a+bi=sqrt{a^{2}+b^2}cdot i ^{2atan(b/a)/pi}

同理,實數 -1,可以看成是“原地旋轉半周”, (-1)^{3} 就是原地旋轉一周半 540度, (-1)^{pi} 原地旋轉3.1415....個半周,是多少呢?205.4867度(或者360deg+205.4867deg) ,復數表達就是 -0.9027-0.4303i ,或者用復指數方式 i^{2pi } . 所以你看,虛數才不是虛無,實數函數隨時能給你整出一個虛數表達來。

自然數 1,可以看成原地旋轉360度,也可以看成原地旋轉 0 度,但是兩種看法在計1^0.25的時候就會出現分歧。前者就是“旋轉1/4周”,後者是不旋轉,那麼前者可以得到 1^0.25 = i ,後者還是得到1。這個其實都對(復數的冪函數不隻代表一個數,因為 i^{4n}=1 ,可以利用 1^a=(i^{4n} )^a=i^{4na} 來得到多個解).

虛數當然有很多有用的推論,例如著名的歐拉公式 e^{ix}=cos(x)+i sin(x) ,在電力電子電機控制等領域非常有用。而且,歐拉公式提供瞭另一個實數虛數互換的橋梁: e^{ipi}=-1i=ln(-1)/pi=e^{pi i/2}

比如計算 i^i ,虛數的虛數次冪,其實就可以寫成 i^{i}=(-1)^{i/2}=e^{ipicdot i/2}=e^{-pi/2}approx0.2079 (隻是其中的一個解,詳解請參考鏈接)

借用歐拉公式以後,e^{ix}=cos(x)+i sin(x)=i^{2x/pi},旋轉1弧度可以寫為 i^{2/pi }=e^i ,因為“1/4周”等於 i ,一周就是 i^4 ,而一周有 2pi 弧度,所以1/4周就是 i^{frac{4}{2pi}}=i^{2/pi } 。所以其實你但凡看到有 e^{ivarphi} 形式的表達式,意思是旋轉瞭 varphi 弧度,你去改一筆,寫成 i^{2varphi/pi} 那是絕對正確還很能蒙人的。

還有一個好玩的 e^{x}=cos(ix)-i sin(ix) 一個實數指數函數竟然可以用復三角函數來表達。這個實際物理中恐怕用到的就不多瞭。

但是,也有一些地方有些許不便,例如相量法表達某一瞬間的三相電流:

I_{a}=1 (A), I_{b}=- frac{1}{2}+ frac{sqrt{3}}{2}i (A), I_{c}=- frac{1}{2}- frac{sqrt{3}}{2}i (A)

看著挺麻煩,即使寫成指數形式 I_b = i ^{4/3}, I_c = i^{8/3} 似乎也不太簡便。

因為i 代表1/4周旋轉,而三相電之間相差1/3周,不太合拍。

那麼,定義一個新的虛數 y, 代表“原地逆時針旋轉1/3周”如何?該瞬間的三相電流就可以表達為:

I_{a}=1 (A), I_{b}=y (A), I_{c}=-y=y^2 (A)

明顯簡單不少吧?

同樣,既然定義-1的平方根是{i, -i}, 那麼-1的立方根就是{-1, y, -y}.

再或者,我們定義 sqrt{i} =pm j , 那麼就是 j 在物理上代表“原地逆時針旋轉1/8 周”,搞不好可以用來數學描述一下八卦圖。

所以,虛數不過是我們創造的一個數學工具,它是一種描述物理現實的表達和語言,簡便的表達,美麗的語言。你用這個語言來描述不同的物理現實時,就會具有不同的物理意義。你可以不用虛數符號 i, 就用 (-1)^{0.5} 來表達同樣的意思,但是,物理研究既然已經發展到一定的高度,需要這個“旋轉之數”的概念,那我們就不能不用這個語言。我們也隨時可以創造出一種新的虛數語言或者定義,隻不過恰好“1/4周”的這個虛數定義符合大多數人的審美和習慣罷瞭。


更新:工程師咸知也一直在想為啥恰好是自然數e為底的,指數為 i 的結果就是1弧度呢?即為啥偏偏是 i^{2/pi}=e^i 。我能變成 i^y=pi ^{i} 嗎?這個y是多少?

可以畫一條曲線關系y=f(x): i^y=x^i ,利用歐拉公式,可以簡化為

i^y=e^{frac{pi}{2}icdot y}=x^i=e^{icdot ln (x)} Rightarrow frac{pi}{2} y = ln(x) ,所以任何滿足這個條件的常數都可以用來修改上述式子,那麼令 x=pi , y=frac{2}{pi}ln (pi) , 即 i^{frac{2}{pi}ln (pi)}=pi^i

另一個理解 (-1)^{1/pi}=e^i 的角度就是,-1是旋轉180度, (-1)^{1/pi} 就是旋轉1弧度,即 (-1)^{1/pi}=cos (1) +isin(1) ,所以對任意實數 x 弧度,有 (-1)^{x/pi} = cos (x) +i sin(x)


y=x=e^{ln(x)}=e^{icdot (-i )cdot ln(x)}=cos(-icdot ln(x))+i sin(-icdot ln(x))=cos(icdot ln(x))-i sin(icdot ln(x))

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