自然坐標系是沿質點的運動軌道建立的坐標系。在質點運動軌道上任取一點作為坐標原點，質點在任意時刻的位置都可用它到坐標原點的軌跡的長度 s 來表示。在此之前，我們先簡單介紹一些質點運動學的基本概念及其數學描述。

1. 基本概念

位置矢量：從原點到質點位置的矢量 vec{r} ，簡稱位矢

位移：位置矢量的變化量， Deltavec{r}=vec{r_2}-vec{r_1}

速度：位置矢量隨時間的導數， vec{v}=frac{dvec{r}}{dt}

加速度：速度隨時間的導數， vec{a}=frac{dvec{v}}{dt}

位置矢量和位移的定義

2. 速度和加速度在直角坐標系下的表述

直角坐標系中，我們用三個兩兩垂直的基矢 vec{i}, vec{j},vec{k} 來表示任意矢量：

vec{r}=xvec{i}+yvec{j}+zvec{k}

vec{v}=frac{dx}{dt}vec{i}+frac{dy}{dt}vec{j}+frac{dz}{dt}vec{k}

vec{a}=frac{d^2x}{dt^2}vec{i}+frac{d^2y}{dt^2}vec{j}+frac{d^2z}{dt^2}vec{k}

5e16ffe892c169caac962936898aa22d直角坐標系的定義

直角坐標系的三個基矢是常矢量，因此速度和加速度具有很簡單的形式，描述質點的運動也很方便。但是有些時候曲線坐標系也有優點，如柱坐標和球坐標，但是這些坐標系的基矢不是常矢量，會隨質點的位置發生變化，因此求解速度和加速度的時候還要考慮基矢的時間導數，就會變得異常麻煩。而我們接下來要介紹的自然坐標系雖然也是基矢隨時間的變化的坐標系，但是能給出一些別的參考系很難得到的漂亮結論。

3. 自然坐標系

自然坐標系是建立在質點運動軌跡上的坐標系，我們假設質點的運動方程 vec{r}(t) 已知，選取一點（如 t=0 時刻）為零點， s(t) 定義為物體在 t 時刻的路徑長度，在任意時刻 t ，我們可以定義三個互相垂直的單位向量作為基矢：

軌跡切向： vec{e_tau}=frac{dvec{r}}{ds}

軌跡主法向： vec{e_n}=frac{dvec{e_tau}}{ds}/|frac{dvec{e_tau}}{ds}|

軌跡次法向： vec{e_nu}=vec{e_tau}timesvec{e_n}

主法向就是質點軌跡彎曲的方向，主法向和切向確定的平面就是質點運動軌跡所在的瞬時平面，叫做密切平面。

3913695ce6d4ae30e1186bed9beac756自然坐標系的定義

取一段很短的軌跡，這段軌跡可以近似認為是圓弧的一部分，圓弧的半徑就是這段軌跡的曲率半徑：

R=1/|frac{dvec{e_tau}}{ds}|

曲率半徑的計算

接下來我們考察在自然坐標系中速度和加速度的表述。

速度： vec{v}=frac{dvec{r}}{dt}=frac{dvec{r}}{ds}frac{ds}{dt}=frac{ds}{dt}vec{e_tau}

加速度： vec{a}=frac{dvec{v}}{dt}=frac{d^2s}{dt^2}vec{e_tau}+frac{ds}{dt}frac{dvec{e_tau}}{dt}=frac{d^2s}{dt^2}vec{e_tau}+(frac{ds}{dt})^2frac{dvec{e_tau}}{ds}

結合 vec{v}=frac{ds}{dt}vec{e_tau} 和 R=1/|frac{dvec{e_tau}}{ds}| 以及 vec{e_n}=frac{dvec{e_tau}}{ds}/|frac{dvec{e_tau}}{ds}| 最終得到：

vec{a}=a_tauvec{e_tau}+a_nvec{e_n}

其中 a_tau=frac{d^2s}{dt^2} ，是切向加速度， a_n=frac{v^2}{R} ，是法向加速度，就是我們熟悉的向心加速度。通過自然坐標系，我們自然而然的導出瞭切向加速度和向心加速度的表達式。

4. 求解運動軌跡的曲率半徑

自然坐標系的應用很多，比較有意思的一個是求曲線的曲率半徑，即用“物理”的方法求解曲線的曲率半徑。如果我們已知質點在某一點的速度和加速度，那麼質點的運動軌跡在這一點的曲率半徑就為：

R=frac{v^2}{a_n}

下面我們用這種方法來求解一些曲線的曲率半徑。

拋物線：拋物運動的軌跡是拋物線，因此我們可以用平拋運動來求解拋物線的曲率。

17e79d4e5289aa848346a2184b720275求平拋運動的軌跡曲率半徑

假設初速度為 v_0 ，那麼任意時刻的速度為：

v=sqrt{{v_0}^2+g^2t^2}

質點的法向加速度為重力加速度法向分量：

a_n=gsin{theta}=gfrac{v_0}{sqrt{{v_0}^2+g^2t^2}}

因此 t 時刻的曲率半徑為：

R=frac{v^2}{a_n}=frac{({v_0}^2+g^2t^2)^{frac{3}{2}}}{gv_0}

等距螺旋線：對於等距螺旋線，我們假設質點在重力場中沿豎直光滑的等距螺旋線下降，先來分析其運動方程。

質點沿著等距螺旋線軌道下滑

質點沿軌跡的加速度始終為 gsin{theta} ，因此其速度隨時間的變化為：

v(t)=gtsin{theta}

我們可以將運動分解為豎直方向的勻加速直線運動和水平方向的圓周運動，則豎直加速度 vec{a_1} 和水平加速度 vec{a_2} 可以分別求出：

vec{a_1}=-gsin^2{theta} vec{k}

vec{a_2}=vec{a_perp}+vec{a_parallel}

水平方向看質點的運動是一個圓周運動

其中 a_perp=frac{(gtsin{theta}cos{theta})^2}{r} ，是水平運動的向心加速度，而 vec{a_parallel}=gsin{theta}cos{theta} ，是水平運動的切向加速度，因此最終的加速度 vec{a} 就是 vec{a_1} 和 vec{a_2} 的矢量和，而法向加速度則是 vec{a} 垂直於軌道的分量，簡單的計算我們可以發現， vec{a_1}+vec{a_parallel} 剛好和軌道平行，因此法向加速度為：

a_n=a_perp=frac{(gtsin{theta}cos{theta})^2}{r}

所以等距螺旋線的曲率半徑為：

R=frac{v^2}{a_n}=frac{r}{cos^2{theta}}

我們發現等距螺旋線的曲率半徑處處相等。

5. 總結

我們首先介紹瞭質點運動學的基本概念以及速度和加速度在直角坐標系下的表述，然後引入自然坐標系，通過自然坐標系導出瞭切向加速度和法向加速度，最後我們利用”物理“的方法求瞭一些曲線的曲率半徑。

最後留一些思考題：怎樣用”物理”的方法求出橢圓與長軸交點以及與短軸交點處的曲率半徑？還可以進一步思考一下雙曲線，擺線等，這些曲線都可以通過適當選取質點的運動方程來求解。