本文意在介绍摩擦角在力学、理论力学中的应用

阅读本文需要一定的静力学基础

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一、摩擦角的相关概念

全约束力：计摩擦力的接触面提供的法向约束力和切向约束力的合力，常用R表示。

摩擦角：由于摩擦力 f≤f_m 有范围的约束，因此全约束力R也有变化的范围，全约束力R与支持力N的最大夹角定义为摩擦角，常记作ε。

此时，要么物体已经滑动，必有 tan⁡ε=mu_{0} ， mu_{0} 为动滑动摩擦系数；要么达到最大静摩擦力，必有 tan⁡ε=μ ，μ为静滑动摩擦系数。一般认为两个摩擦系数近似相等。

摩擦自锁：全部主动力的合力落在摩擦角ε之内，不管 ∑F_主 多大，物体均能够保持平衡。

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二、摩擦角快速解题应用特例

【梯子平衡问题】

一个质量分布均匀、长为l的梯子，重为G，斜搁在竖直墙上，与墙的夹角为α，重为P的人沿梯子从梯子的底端A开始匀速向上走，人的重心离地的高度h逐渐增大，接触面的摩擦系数均为μ。求能够保持平衡时，h的最大值。

正常方法（受力分析）

A处摩擦力向右，记作fA

B处摩擦力向上，记作fB

未知数：NA、NB、fA、fB、h

人和梯子的整体：

∑F_x=f_A+N_B =0

∑F_y =P+G-f_B-N_A=0

L_(A_Z )=-P∙h∙tan⁡α-(G∙l∙sin⁡α)/2+f_B∙l∙sin⁡α+N_B∙l∙cos⁡α

补充方程：

f_A=μ∙N_A

f_B=μ∙N_B

解得：

h=((μlcosα-lsinα)(1+G/P))/(μ^2+1)+l/2 sinα G/P+lsinα

分析：该方法思想基础，但是计算大量十分复杂，不建议使用，在遇到该类题目时可以以如下方式，选择利用摩擦角巧解。

摩擦角方法

建立如图所示直角坐标系，阴影部分为两摩擦角范围的交集

A(-l sin⁡α,0) ， B(0,lcosα)

μ=tan⁡ε

l_A: y=-tan⁡(90^°-ε)(x+lsinα)

l_B: y=-tan⁡εx+lcosα

解得：

x_c=(lcosα-lsinα/μ)/(μ+1/μ)

梯子受到的主动力为P与G的合力，该合力的作用线必须落在阴影部分才能够使梯子保持平衡

D(-l/2 sinα,l/2 cosα) ， E(htanα-lsinα,h)

临界条件为P与G的合力经过点C

-1/2 sinα·G+(htanα-lsinα)·P=x_C (P+G)

解得：

h=((μlcosα-lsinα)(1+G/P))/(μ^2+1)+l/2 sinα G/P+lsinα

分析：本题除了主动力外一共有两个全约束力，因此可以作出两个摩擦角范围的交集为阴影部分，主动力的作用线经过阴影部分，则物体可以达到平衡状态。

由于A、B两处提供的支持力的大小都没有限制，因此只需要主动力（两个重力的合力）作用线经过阴影部分，而大小不需要考虑，RA、RB就能够使得系统保持平衡。

【抽屉卡住问题】

一个宽为2b，深为l的抽屉，与两侧接触面的滑动摩擦系数均为μ，受偏心力F的作用，假定仅在A、C两点与接触面发生接触，a多大抽屉会被卡住？（a为F到中心线的距离）

正常方法（受力分析）：

未知量： a、N_A 、N_C 、f_A 、f_C

∑F_X= N_A-N_C=0

∑F_y =f_c+f_A-F=0

L_A =f_C·2b+N_C·l-F(a+b)=0

补充：（必须补充两个条件才能解出答案）

f_A=μN_A ， f_B=μN_B

解得：

a=l/2mu

因此 ageq l/2mu 时，抽屉会被卡住

分析：此解法必须补充两个临界方程，代表A、C两处均在滑动的边界，但是卡住只需要其中之一没有达到滑动摩擦力即可，因此不正确

摩擦角方法

根据摩擦角的性质，阴影部分可以提供约束力使得抽屉处于平衡状态

即 a≥x_1 时j可卡住

由几何关系： （b+x_1)tan⁡ε=l

解得：

x_1=l/μ-b

x_2=l/2μ

因此使得抽屉卡住的a的范围是 a≥l/μ-b

分析：我们可以发现摩擦角解得得答案与受力分析解得的答案不同，因为此时卡住，只需要一处的摩擦力没有达到滑动摩擦力就可以使得抽屉被卡住，受力分析时取的是A、C两点均开始滑动的临界，所以解得的答案不正确

摩擦角适用于该类卡住问题，用受力平衡方法做的时候，该情况是非静定的，解不出答案；但是摩擦角的方法，利用画图的阴影部分避免了方程的缺失

【圆柱滚动问题】

重10公斤的均质圆柱体放在倾角为5°的楔和竖直墙之间，所有接触处的摩擦系数均为μ，μ=0.25.不计楔的重量，求水平推力的大小P为多少时才能推动？

正常方法（受力分析）：

对圆柱：

∑F_x =N_1-N_2 sin⁡θ-f_2 cos⁡θ=0

∑F_y=N_2 cos⁡θ-G-f_1-f_2 sin⁡θ=0

L_0=f_1 R-f_2 R

对楔：

∑F_X=P-f_3-f_2 cos⁡θ-N_2 sin⁡θ =0

∑F_y=N_3+f_2 sin⁡θ-N_2 cos⁡θ =0

补充：

f_3=μN_3

未知量：P、N_3、N_1 、N_2 、f_1

假设1处摩擦力为滑动摩擦力，2处为滚动

即 f_1=μN_1

解得： N_1=1.2 ， N_2=10.4 ， N_3=10.3 ， P=3.8

假设 f_2=μN_2

计算不成立

摩擦角方法

y=tan⁡ε (x+R)

A(0,-0.25R),B(0,-0.25R)

(R_2 ) ⃗=(BA) ⃗=(-Rcos5,Rsin5-0.25R)

代入对楔：

∑F_X=P-f_3-f_2 cos⁡θ-N_2 sin⁡θ =0

∑F_y=N_3+f_2 sin⁡θ-N_2 cos⁡θ =0

未知量： P、N_3

解得：

P=3.8

分析：可以滑动类别的题目对摩擦角的巧用与之前的思路相反，反向分析，圆柱的重力作用线显然位于摩擦角范围内，但是因为圆柱可以存在纯滚动，所以1处和2处只需要有一处达到滑动摩擦力即可转动，若三力汇交点在C处，1处已经超过了滑动摩擦力，因此滑动的临界位置为三力汇交于A点时，之后巧妙结合数学图形以及坐标系解出答案。

【两个木桩问题】

如图,一根均匀的细木条与竖直方向夹角，放在两根水平的固定平行细木桩A和B之间。若两木桩相距为a，木桩与细木棒之间的摩擦因数均为μ，现由于两木桩的摩擦力恰好使得木棒不脱落，试求木板重心C与木桩A之间的距离。

此处不具体阐述受力分析的普通方法，仅介绍摩擦角方法及其特殊之处。

木棒受力如图所示，A桩和B桩对木棒的全反力相交于O点，则根据三力平衡，木棒的重力作用线也一定经过该点，C点即为重心的位置

▲ABO为等腰三角形，底角为 90-varphi

计算得重心到A桩的距离为

AC=(a cos⁡(θ+φ))/(2 cos⁡φ sin⁡θ )

三、总结

摩擦角在解决上述提到的平衡临界、卡住临界、滚动临界、脱落临界都能够极大的简单化解题过程，适用于各种类型的动静临界问题。摩擦角与数学几何的结合能够极大的简便计算过程，能够更加直观的体现题目的动态过程。快速解题应用特例