依然是粗浅了解，网课笔记。非高考内容。

函数迭代与函数方程

• 函数迭代：f(x)为定义在mathbf{D}上且取值于mathbf{D}上的函数，记f^0(x) = x,f^1(x) = f(x),f^2(x) = f(f(x))，则称f^n(x)是f(x)在mathbf{D}上的n次迭代。
• 迭代周期：若存在自然数f^n(x) = x，则称f(x)为迭代周期函数，其迭代周期为n，其中最小的自然数n_0称为f(x)的基本迭代周期。n_0 | n为n为f(x)迭代周期的充要条件。
• 基本运算规律：f^n(x) = f^m(f^{n-m}(x))，即满足结合律。
• 常用函数迭代解法
• 直接公式法
• 若f(x) = x+a，则f^n(x) = x+na
• 若f(x)=ax，则f^n(x) = a^nx
• 若f(x)=ax^2，则f^n(x) = a^{2n-1}x^{2n}
• 若f(x)=dfrac{x}{x+1}，则f^n(x) = dfrac{x}{nx+1}

• 数学归纳法：先迭代几次，观察规律，猜想表达式再用数学归纳法证明。
• 桥函数相似法
• 对于给定的函数f(x)与g(x)，若存在一个可逆函数varphi(x)使得f(x) = varphi ^{-1}(g(varphi(x)))，则称f(x)和g(x)关于varphi(x)相似，记作f sim g，其中varphi(x)成为桥函数。
• 若f(x) = varphi^{-1}(g(varphi(x)))，则f^n(x) = varphi^{-1}(g^n(varphi(x)))

例题

1

已知f(x)是实系数一次函数，且f^8(x) = 256x + 255，求f(x)

不妨设f(x) = ax + b

迭代一次得到f^2(x) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b

f^3(x) = a(a^2x+ab+b)+b = a^3x + a^2b + ab + b

数学归纳得到f^n(x) = a^nx + a^{n-1}b + a^{n-2}b + ldots + b

则a^8 = 256，即得a = pm2，从而解得b=1,-3

f(x) = 2x + 1 或 -2x – 3

2

f(x) = begin{cases}1,|x| le 1 / 0,|x| > 1end{cases}，求f^n(x),n ge 2

不难发现，|x| le 1时收敛于f(x) = 1

迭代两次，一定得到f^2(x) = 1，而f^n(x)=1即成立。

3

f(x) = dfrac{x-3}{x+1},x neq pm 1，求f^n(x)

不难想到这是一个「迭代周期函数」，因此直接手动计算。这里是考虑到求出「不动点」无实根，因此必定是周期函数。

f^2(x) = dfrac{x+3}{1-x}

f^3(x) = x

最小迭代周期为3，因此：

f^n(x) = begin{cases}x,n equiv 0 pmod 3 / dfrac{x-3}{x+1},nequiv 1 pmod 3 / dfrac{x+3}{1-x},n equiv 2 pmod 3end{cases}

4

f(x) = dfrac{x}{sqrt{1+x^2}}，g(x) = dfrac{x}{sqrt{1-x^2}}，求f^n(x)和g^n(x)

(f(x))^2 = dfrac{x^2}{1+x^2}，因此有：(f^{n+1}(x))^2 = dfrac{(f^n(x))^2}{1+(f^n(x))^2}，取个倒数就能写出通项。

f^n(x) = dfrac{1}{sqrt{nx^2 + 1}}

另一边也是同理的。

g^n(x) = dfrac{1}{sqrt{1-nx^2}}

5

f(x) = dfrac{x}{a+bx}，求f^n(x)

不难考虑取倒数，dfrac{1}{f(x)} = dfrac{a}{x} + b，既有：​dfrac{1}{f^{n+1}(x)} = dfrac{a}{f^n(x)} + b，构造等比数列。

dfrac{1}{f^{n+1}(x)} + dfrac{b}{a-1} = a times (dfrac{1}{f^n(x)} + dfrac{b}{a-1})

因此：dfrac{1}{f^n(x)} + dfrac{b}{a-1} = a^n(dfrac{1}{x}+dfrac{b}{a-1})

整理得到f^n(x) = dfrac{x}{a^n + (a^n – 1) times dfrac{b}{a-1}x}

还可以使用桥函数相似法。

dfrac{1}{f(x)} = a times dfrac{1}{x} + b与g(x) = ax+b相似。​varphi(x) = dfrac{1}{x}，即varphi(f(x)) = g(varphi(x))

因此f^n(x) = varphi ^{-1}(g^n(varphi(x)))，即可求解。

6

证明桥函数的性质：若f(x) = varphi^{-1}(g(varphi(x)))，则f^n(x) = varphi^{-1}(g^n(varphi(x)))

运用数学归纳法。

n=1时显然成立。​forall n le k时成立，先证n=k+1时成立，即证：f^{k+1}(x) = varphi^{-1}(g^{k+1}(varphi(x)))由f^k(x) = varphi^{-1}(g^k(varphi(x)))，即得f^{k+1}(x) = f(f^k(x)) = f(varphi^{-1}(g^k(varphi(x))))

由桥函数定义，有f(varphi^{-1}(g^k(varphi(x)))) = varphi^{-1}(g(varphi(varphi^{-1}(g^k(varphi(x)))))) = varphi^{-1}(g^{k+1}(varphi(x)))，证毕。

7

f(x) = x^2 + 2x，求f^n(x)

这个如果等价于求a_{n+1} = a_n^2 + 2a_n的通项公式，看起来也很有难度。一阶常系数二次递推，难以求通项。但其实可以这样：(a_{n+1} + 1) = (a_n + 1)^2

可以考虑配方，f(x) = (x+1)^2 – 1，有趣的是可以写成f(x) + 1 = (x+1)^2，varphi(x) = x+1

f(x) = varphi^{-1}(g(varphi(x)))，其中g(x) = x^2，而g^n(x) = x^{2^n}

因此f^n(x) = (x+1)^{2^n} – 1

桥函数可以看作一个换元的中介函数，类似于数列中的令b_n = varphi(a_n)。

函数方程

8

解函数方程：f(x) + f(dfrac{x-1}{x}) = 1+x

稍微化简一下，f(x) + f(1-dfrac{1}{x}) = 1 + x

令x = 1 – dfrac{1}{t}代入，f(1-dfrac{1}{t}) + f(dfrac{1}{1-t}) = 2-dfrac{1}{t}

周期并不为二，继续代入。

令x = dfrac{1}{1-t}，代入有f(dfrac{1}{1-t}) + f(t) = 1 + dfrac{1}{1-t}

因此我们得到了三个式子：​f(x) + f(1-dfrac{1}{x}) = 1 + x​f(1-dfrac{1}{x}) + f(dfrac{1}{1-x}) = 2-dfrac{1}{x}​f(dfrac{1}{1-x}) + f(x) = 1 + dfrac{1}{1-x}稍微配凑一下就能得到f(x) = dfrac{1 + x +1 + dfrac{1}{1-x} – 2 + dfrac{1}{x}}{2} = dfrac{x}{2} + dfrac{1}{2(1-x)} + dfrac{1}{2x}

9

f(x)对于任意非负实数x,y都有f(x+y^2) = f(x) + 2[f(y)]^2，且f(x) ge 0,f(1) neq 0，求f(2+sqrt{3})

首先考虑特殊值，f(0+0) = f(0) + 2[f(0)]^2 implies f(0) = 0

f(1) = 2[f(1)]^2 implies f(1) = dfrac{1}{2}

f(2) = f(1) + 2[f(1)]^2 = 1，f(3) = f(2) + 2[f(1)]^2 = f(1) + 4[f(1)]^2 = dfrac{3}{2}

f((sqrt{3})^2) = 2[f(sqrt{3})]^2 implies f(sqrt{3}) = dfrac{sqrt{3}}{2}

f((sqrt{2})^2) = 2[f(sqrt{2})] implies f(sqrt{2}) = dfrac{sqrt{2}}{2}

f(sqrt{3} + 2) = f(sqrt{3}) + 2[f(sqrt{2})]^2 = 1 + dfrac{sqrt{3}}{2}

可以猜想f(x) = dfrac{x}{2}、、、