單變量微積分、線性代數的概念很多，我們的“馬同學圖解數學”系列：

• “單變量微積分”（主要覆蓋《高等數學同濟版上》的內容）
• “線性代數”（主要覆蓋《線性代數同濟版》的內容）

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本文是付費課程“單變量微積分”中的一課，目前還在連載中，如果想瞭解更多的前置內容，可以先看下另外兩篇前面章節的免費內容：

• 微積分是什麼？
• 柯西的數列極限

最開始我們就提到瞭，曲線下微小的矩形是“微分”：

把這些“微分”加起來就是“積分”，就可以得到曲線下的面積：

上一章定義瞭極限，解決瞭微積分中的第一個問題，什麼是“Delta x 無限接近0”：

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下面我們開始研究數學上什麼是“微分”，怎麼把“微分”加起來完成“積分”。

1 積分

比如要求f(x)=x^2 ，在[0,a],a > 0 下的面積：

把[0,a] 平均分成n 份，每份長為Delta x=frac{a-0}{n}=frac{a}{n} ：

這些點的坐標是這麼一個數列（把0 點去掉）：

{a_i}=left{frac{a}{n}, frac{2a}{n},cdots, frac{(n-1)a}{n}, frac{na}{n}right},i=1,2,cdots,n\

點之間的間隔為Delta x=frac{a}{n} ，所以上述數列可以簡寫為：

{a_i}=left{Delta x, 2Delta x, cdots, (n-1)Delta x, nDelta xright}\

以這些坐標為終點，寬為Delta x ，高為f(a_i) 作矩形：

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每個矩形面積為f(a_i)Delta x ，它們的面積和為：

begin{aligned} S_n &=sum_{i=1}^n f(a_i)Delta x\ \ &=(Delta x)^2Delta x+(2Delta x)^2Delta x+cdots+[(n-1)Delta x]^2Delta x+(nDelta x)^2Delta x\ \ &=[1+2^2+cdots+(n-1)^2+n^2](Delta x)^3 end{aligned} \

已知其中的級數：

1+2^2+cdots+(n-1)^2+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\

所以上面的式子繼續算下去：

begin{aligned} S_n &=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(Delta x)^3\ \ &=left(frac{2n^3+3n^2+n}{6}right)(Delta x)^3 end{aligned} \

因為Delta x=frac{a}{n} ，代入上式可得：

S_n=sum_{i=1}^n f(a_i)Delta x=a^3left(frac{1}{3}+frac{1}{2n}+frac{1}{6n^2}right)\

當ntoinfty 的時候，矩形面積和就是曲面下的面積：

從數學上就是，曲面下面積S 為：

begin{aligned} S=lim_{ntoinfty}S_n &=lim_{ntoinfty}left[a^3left(frac{1}{3}+frac{1}{2n}+frac{1}{6n^2}right)right]\ \ &=frac{1}{3}a^3 end{aligned}\

在極限的幫助下，算出瞭曲面下的面積。

2 新的開始

既然得到瞭曲面下的面積瞭，是不是微積分課程完瞭？並沒有，實際上剛剛開始。

2.1 計算復雜

上述計算方法早在微積分這門學科正式成立之前就有瞭。

博納文圖拉·弗蘭切斯科·卡瓦列裡（1598 －1647），意大利幾何學傢。在他的著作中就提到瞭上面這個求解方法，那時候還沒有極限，他是直覺地認為當n 足夠大時：

a^3left(frac{1}{3}-underbrace{frac{1}{2n}+frac{1}{6n^2}}_{可以忽略}right)=frac{1}{3}a^3\

這種計算方法簡單粗暴，比如，想求正弦函數曲線下[0,pi] 之間的面積，也可以通過矩形和來計算，但是計算起來並不簡單（詳細計算步驟可以查看這裡）：

把矩形面積加起來就需要計算級數（級數就是數列的和），但級數的計算往往很復雜。

歐拉就是一個級數計算大師，當時很多數學傢求“積分”時，算不出級數就向歐拉求救，所以有句話是這麼說的：“歐拉，他是所有人的老師”（出自另外一位數學傢拉普拉斯之口）。

2.2 不夠抽象

之前說瞭，可以用內接多邊形來逼近圓的面積：

也可以換個思路，用小三角形的和來逼近圓的面積：

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“圓內小三角形的和”與“曲線下的矩形和”看起來異曲同工，但畢竟三角形和矩形還是不一樣，能否把這兩者統一起來？

還有，能不能用微積分來計算一段曲線的長度（馬上就可以看到如何去做）：

例子可能舉得還不夠好、不夠多，但可以看出目前所學的微積分還不夠抽象，不足以解決更多問題。

2.3 小結

不管是為瞭計算更加簡便，還是為瞭擴大微積分的應用范圍，我們都需要開始新的學習。

3 微分

不管為瞭計算的便利性，還是覆蓋更多的應用場景，都需要把“微分”這個概念抽象出來。

3.1 矩形微分

比如，想求[a,b] 區間內f(x) 曲線下的面積S ：

把[a,b] 平均分成n 份，每份長為Delta x=frac{a-b}{n} ，每個Delta x 對應一個Delta S_i ：

很顯然：

S=sum_{i=1}^n Delta S_i\

從裡面隨便選一份，為瞭表示一般性，其面積記為Delta S ：

在同樣的位置，以Delta x 為底、f(x_0) 為高作矩形，其面積記為textrm{d}S ：

很顯然，隨著Delta xto 0 ，Delta S 與textrm{d}S 會無限接近：

實際上兩者都是無窮小：

lim_{Delta xto 0}Delta S=0=lim_{Delta xto 0}textrm{d}S \

Delta S 與textrm{d}S 有各自的名字（命名的來由可以查看這裡）：

“微分”是對“差分”的近似，以“直”代“曲”（“微分”就是“直”，“差分”就是“曲”），也叫做線性近似：

微分approx 差分\

在極限下有（因為Delta x=frac{a-b}{n} ，所以Delta xto 0 相當於ntoinfty ）：

S=lim_{Delta xto 0}sum_{i=1}^n textrm{d}S_i\

其中，textrm{d}S_i 對應之前的Delta S_i 。

稍微總結下：

begin{array}{c|c} hline quadquad&quadcolor{blue}{差分}quad&quadcolor{orange}{微分}quad \ hline \ quad符號 quad&quad Delta S quad&quad textrm{d}Squad\ quad求和 quad&quad displaystyle S=sum_{i=1}^n Delta S_i quad&quad displaystyle S=lim_{Delta xto 0}sum_{i=1}^n textrm{d}S_iquad\ \hline end{array} \

3.2 三角形微分

要求圓的面積S ：

同樣的可以把它均分為n 個扇形：

很顯然，也可以用三角形去近似這些扇形：

這裡，小扇形就是“差分”，小三角形就是“微分”，以三角形的“直”去代替扇形的“曲”。

3.3 切線微分

要求這條曲線的長度：

可以把它均分為n 個曲線段：

也可以用切線段（切線之後就會介紹）來近似這些曲線段：

劃分細點的話，更容易看出兩者的相似性：

這裡，曲線段就是“差分”，切線段就是“微分”，以切線段的“直”去代替曲線段的“曲”。

3.4 小結

“微分”是“差分”的線性近似，是對“以直代曲”思想的數學表達。

有瞭“微分”之後，上述幾種“積分”（包括面積、曲線長度等）就可以統一表示為：

積分=limsum 微分\

上述幾種“微分”的嚴格定義不盡相同，這裡暫不給出，後面不斷完善。

最新的文章請查看這裡（可能有後續更新）：微分是什麼？

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