随着数学学习的深入，解方程的作用越来越大，方程的形式也越来越复杂。二次以内的方程较为简单，三次方程可以用卡丹公式解决，那么四次方程怎么解？

解一元四次方程非常困难，如果要写出其一般性求根公式，那么一张A4纸都未必够。所以要像解三次以内方程一样背公式就很不现实。我们可以优先尝试试根法，用因式分解的方式降次数。如果找不到有理根，那么下面的方法应该会比较有用。

解法分为以下几步：

• 写一个大大的【解】

解：（不管怎样，至少没空着）

• 消除三次项

将方程整理成 x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D=0

令 y=x+t ，将 x 替换为 y-t ，使三次项系数为 0 ，即 -4t+A=0 ， t=frac{A}{4}

此时方程可化为 y^4+Py^2+Qy+R=0

• 待定系数并配方

将第一步得到的方程写成 (y^2+sqrt{R})^2=ay^2+by+c

为了通过两边去平方的方式转化为二次方程，我们待定系数 lambda ：

(y^2+sqrt{R}+lambda)^2=ay^2+by+c+2lambda(y^2+sqrt{R})+lambda^2

然后对右式进行配方：

RHS=(2lambda+a)(y+k)^2+h ，其中 k,h 为关于 lambda 的多项式。

解出实数 lambda 使得 h=0 即可，容易知道 deg(h)leq3 ，可以用公式法解出。

• 化为二次方程得出结果

通过第二步可知方程化为 (y^2+sqrt{R}+lambda)^2=(2lambda+a)(y+k)^2

即 y^2+sqrt{R}+lambda=pm(2lambda+a)^{1/2}(y+k)

最后用解二次方程的方法解出 y_1,y_2,y_3,y_4 ，再用 x=y-t 算出 x_1,x_2,x_3,x_4 就解出来啦！

虽然思路已经明确，但是在实际操作中这种方法的计算量是非常巨大的！不到万不得已不要轻易使用！

下面看一道例题（几乎是手算的，累得够呛~）

解方程 ：x^4-2x^3+8x^2-16x+8=0

解：

（首先想用试根法找到有理根，但是很可惜，找不到。于是没有捷径可走，只能用一般解法来计算。）

令 y=x-frac{1}{2} 可得 (y+frac{1}{2})^4-2(y+frac{1}{2})^3+8(y+frac{1}{2})^2-16(y+frac{1}{2})+8=0

化简得 y^4+frac{13}{2}y^2-9y+frac{29}{16}=0

同时减去 -frac{sqrt{29}}{2}y^2+frac{13}{2}y^2-9y 得：

y^4+frac{sqrt{29}}{2}y^2+frac{29}{16}=frac{sqrt{29}}{2}y^2-frac{13}{2}y^2+9y

(y^2+frac{sqrt{29}}{4})^2=frac{sqrt{29}}{2}y^2-frac{13}{2}y^2+9y

(y^2+frac{sqrt{29}}{4})^2+2lambda(y^2+frac{sqrt{29}}{4})+lambda^2=frac{sqrt{29}}{2}y^2-frac{13}{2}y^2+9y+2lambda(y^2+frac{sqrt{29}}{4})+lambda^2

(y^2+frac{sqrt{29}}{4}+lambda)^2=(2lambda-frac{13}{2}+frac{sqrt{29}}{2})y^2+9y+(frac{sqrt{29}}{2}lambda+lambda^2)

对右式配方：

RHS=(y-sqrt{2lambda+frac{sqrt{29}-13}{2}}+frac{9}{2lambda+frac{sqrt{29}-13}{2}})^2+frac{4(2lambda+frac{sqrt{29}-13}{2})(lambda^2+frac{sqrt{29}lambda}{2})-81}{4(2lambda+frac{sqrt{29}-13}{2})} (*)

即让 frac{4(2lambda+frac{sqrt{29}-13}{2})(lambda^2+frac{sqrt{29}lambda}{2})-81}{4(2lambda+frac{sqrt{29}-13}{2})}=0

或 {4(2lambda+frac{sqrt{29}-13}{2})(lambda^2+frac{sqrt{29}lambda}{2})-81}=0 ， lambdain{R}

由卡丹公式^{[1]解得 lambda=frac{1}{12}(13-3sqrt{29}+frac{32times2^{3/2}}{(59-sqrt{273})^{1/3}}+4(118-6sqrt{273})^{1/3})}

接下来对 (*) 两侧同时去平方可得

(y^2+frac{sqrt{29}}{4}+lambda)=pm(y-sqrt{2lambda+frac{sqrt{29}-13}{2}}+frac{9}{2lambda+frac{sqrt{29}-13}{2}})

下面令

A=sqrt{8lambda-26+2sqrt{29}}

B=sqrt{frac{280-16sqrt{29}lambda-32lambda^2+72sqrt{8lambda-26+2sqrt{29}}}{4lambda-13+sqrt{29}}}

其中 lambda=frac{1}{12}(13-3sqrt{29}+frac{32times2^{3/2}}{(59-sqrt{273})^{1/3}}+4(118-6sqrt{273})^{1/3})

解得：

y_1=frac{1}{4}(A+B)

y_2=frac{1}{4}(A-B)

y_3=frac{1}{4}(-A+B)

y_4=frac{1}{4}(-A-B)

最后将 y=x-frac{1}{2} 代入即可解出 x_i=y_i+frac{1}{2}, i=1,2,3,4

下面给出方程解的近似值^[2]：

x_1approx-0.10174+2.71132i

x_2approx-0.10174-2.71132i

x_3approx0.74522

x_4approx1.45825

该方程的四个根在复平面上的分布

最后再强调一遍：此方法计算量极大，耗时耗力。

慎用！

慎用！！

慎用！！！

优先考虑较为快速的方法，不要轻易使用一般方法，更不要死记硬背公式！

PS：四次求根公式的截图，想要的自取。如果能背下来，请允许我叫一声【大佬】！

一元四次求根公式

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参考

1. ^一元三次方程一般解法，由数学家卡丹提出并证明
2. ^近似值由Geogebra CAS Calculator计算得出