本文內容

一、極值定義&性質

二、Fermat引理（費馬引理）

三、如何求極值點

一、極值定義&性質

極大值定義：對於 f(x),xin(a,b),x_0in(a,b) ，若 existsdelta>0,circ(x_0,delta)subset(a,b) ，且對 forall xincirc(x_0,delta) 有 f(x)leq f(x_0) ，則稱 x_0 是 f(x) 的一個極大值點。

極小值定義：對於 f(x),xin(a,b),x_0in(a,b) ，若 existsdelta>0,circ(x_0,delta)subset(a,b) ，且對 forall xincirc(x_0,delta) 有 f(x)geq f(x_0) ，則稱 x_0 是 f(x) 的一個極小值點。

註： circ(x_0,delta) 表示以 x_0 為中心， delta 為半徑的領域。

極大值與極小值統稱為極值；

性質：

極值是局部概念；

一個函數可以有無窮多個極值（ sinfrac{1}{x} ）；

極值概念與連續、可導等概念無關；

註意：極值點是 x 軸上的具體數字，不是函數圖像上的點，和拐點不同！（拐點是函數圖像上的點）

二、Fermat引理（費馬引理）

定理描述：

條件：若 x_0 是 f(x_0) 極值點且 f(x) 在 x_0 處可導，

結論： f'(x_0)=0 ；

定理證明：

不妨設 x_0 是極大值點；

在 x_0 的鄰域內：

當 x<x_0 時，有 frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}geq0 ，

當 x>x_0 時，有 frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}leq0 ；

f(x) 在 x_0 處可導 Rightarrow f'(x_0)=f'_+(x_0)=f'_-(x_0) （可導的充要條件）；

而 f'_+(x_0)=lim_{xrightarrow x_0+}{frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}geq0 ， f'_-(x_0)=lim_{xrightarrow x_0-}{frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}leq0 ，

因此 f'(x_0)geq0,f'(x_0)leq0 同時成立，即 f'(x_0)=0 ，得證。

三、如何求極值點

經驗結論：大部分函數找一階導為 0 的點和不可導點即可。

根據極值點判定定理

（一）、

定理描述：

條件： f(x) 在 x_0 某一鄰域內有定義且在 x_0 處連續，並且 existsdelta>0 ， f(x) 在 (x_0-delta,x_0) 和 (x_0,x_0+delta) 上可導，

結論：

1、在 (x_0-delta,x_0) 上 f'(x)geq0 ，且在 (x_0,x_0+delta) 上 f'(x)leq0 ，則 x_0 是極大值點；

2、在 (x_0-delta,x_0) 上 f'(x)leq0 ，且在 (x_0,x_0+delta) 上 f'(x)geq0 ，則 x_0 是極小值點；

3、在 (x_0-delta,x_0) 和 (x_0,x_0+delta) 上 f'(x) 同號，則 x_0 不是極值點。

定理證明：運用一階導數的正負和函數單調性之間的關系即可證明。

（二）、

定理描述：

條件：f(x) 在 x_0 某一鄰域內有定義且在 x_0 處有二階導數， f'(x_0)=0 ，

結論：

1、 f''(x_0)<0 ，則 x_0 是極大值點；

2、 f''(x_0)>0 ，則 x_0 是極小值點；

3、 f''(x_0)=0 ，無法判斷。

定理證明：

寫出 f(x) 在 x_0 處的 2 階Taylor公式：

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+frac{f''(x-x_0)}{2!}(x-x_0)^2+circ((x-x_0)^2)

=f(x_0)+frac{f''(x-x_0)}{2!}(x-x_0)^2+circ((x-x_0)^2) ；

frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=frac{f''(x-x_0)}{2!}+circ(1) ；

當 xrightarrow x_0 時，必有 circ(1)=0 ;

若 f''(x_0)<0 ，觀察 frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2} ，其分母>0，則有 f(x)-f(x_0)leq0 ，符合極大值的定義；若 f''(x_0)>0 ，同理可得 x_0 是極小值，得證。

對於定理中的情況3，舉反例： x^3,x^4 在 x_0=0 處，即可。

定理推廣：

若 f''(x_0)=0 該如何判斷？如果函數在這一點附近有 3 階導數，考察三階導數即可。

列寫 3 階Taylor多項式：

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+frac{f''(x-x_0)}{2!}(x-x_0)^2+frac{f'''(x-x_0)}{3!}(x-x_0)^3+circ((x-x_0)^3)

=f(x_0)+frac{f'''(x-x_0)}{3!}(x-x_0)^3+circ((x-x_0)^3) ；

frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^3}=frac{f'''(x-x_0)}{3!}+circ(1) ；

取 xrightarrow x_0 ，由上式可以得出，若 f'''(x_0)ne0 則這一點不是極值點；

若 f'''(x_0)=0 ，且函數在這一點有 4 階導數，則需根據 4 階導數判斷，具體判斷方法仍可通過列寫Taylor多項式來求出；如果 4 階導數為0，則需驗證 5 階導數...

註：由於開區間上的可導函數的導函數沒有第一類間斷點（Darboux定理），因此無需考慮導函數發生正負跳變的情況。

註：來自視頻p49、p61