高中数学必修1 第一单元 函数单调性 知识小提纲

  1. 函数的定义域,即 让一个函数 有意义
  • 一次函数,定义域可以是 R,即全体实数
  • 二次函数,定义域可以是 R,即全体实数
  • 反比例函数,分母不为0,推而广之,函数表达式中,含有分式的,分母不为0
  • 二次根式,被开方数 非负,即 大于等于0
  • 0次幂,底数不为0
  • 对数函数,真数大于0
  • 复合函数f(g(x)), f(x)有意义,g(x)有意义,取交集

2.函数的值域,即对应自变量x的变化,函数值的变化范围

2.1 一些函数的值域

  • 一次函数 y=kx+b,定义域R,值域R
  • 反比例函数 y=frac{k}{x} (kne0) ,定义域{x|x ne 0},值域(- infty ,0)U(0,+ infty
  • 对数函数 y=log_{a}x (a>0,且ane1) , 定义域{x|x>0},值域R

2.2 求值域的方法

3. 函数的单调性,即函数在某个区间(定义域)内的增减状况

3.1 先确定函数的定义域——求定义域的方法

3.2 按题目给定的自变量的区间讨论

3.3 证明单调性的方法

3.3.1 作差法,按教材给的步骤:设点、求函数值、求两个函数值的差、整理式子判断差的正负、下结论;

3.3.2 作商法

有不等式:

  • a>0,b>0, frac{a}{b} >1,则a>b
  • a<0,b<0, frac{a}{b} >1,则a<b

函数f(x)的定义域I, x_{1},x_{2}in I , x_{1} prec x_{2}

  • f( x_{1})<0,f( x_{2} )<0, frac{f(x_{1})}{f(x_{2})} >1,则f( x_{1})<f( x_{2} ), 函数在定义域I 为增函数
  • f( x_{1})<0,f( x_{2} )<0, frac{f(x_{1})}{f(x_{2})} <1,则f( x_{1})>f( x_{2} ), 函数在定义域I 为减函数
  • f( x_{1})>0,f( x_{2} )>0, frac{f(x_{1})}{f(x_{2})} >1,则f( x_{1})>f( x_{2} ),函数在定义域I 为减函数
  • f( x_{1})>0,f( x_{2} )>0, frac{f(x_{1})}{f(x_{2})} <1,则f( x_{1})<f( x_{2} ),函数在定义域I 为增函数
  • 注意:若存在函数值f(m)=0的情形,先讨论不为0的情形 ,即m左右两侧的区间内的单调性

3.4 几个函数的单调性

  • 一次函数 f(x)=kx+b (k ne 0),由 k 的正负 确定
  • 二次函数 f(x)=ax^{2}+bx+c (ane0) ,由 a 的正负 和 对称轴 确定 对称轴左右两侧区间的单调性
  • 反比例函数 f(x)=frac{k}{x} (k ne 0), 由 k的正负 确定 (反比例函数的单调性在一三象限或二四象限内是一致的,但是不能说反比例函数在定义域{x|x ne o}上单调递减或递增,而要分两个区间)
  • f(x)=x+frac{a}{x} (a>0) ,定义域为 {x|x ne o},函数图像如下

f(x)单调减区间有[ -sqrt{a} ,0),(0, sqrt{a} ],单调增区间有(-infty, -sqrt{a} ), ( sqrt{a} , +infty )

  • 复合函数的单调性:同增异减

f(g(x))是函数套函数的形式,如果是f(x)+g(x)、f(x)-g(x)的形式,不使用同增异减

3.5 利用换元法求函数的单调区间

对于一些复杂但特征明显的函数,可以采用换元法,转化成我们熟悉的函数

【例题】 求函数 f(x)=-(frac{1}{2})^{2x}+2(frac{1}{2})^{x}+4 的单调增区间

令 t= frac{1}{2}^{x} , t >0, 则

f(t)=-t^{2}+2t+4 = -(t-1)^{2}+5

0<t<1 时,f(t)单调递增,即

0<(frac{1}{2})^{x}<1 , 解得 x>0

所以,f(x)的单调增区间为(0,+ infty

注意:换元后,要确定新元的定义域

3.6 单调性的应用

3.6.1 解不等式

f(x)在区间(a,b)上单调递减,若 f(2x+3)<f(3x-6), 求x的范围

f(x)在区间(a,b)单调递减,则有

  • 2x+3>3x-6,
  • a<2x+3<b,
  • a<3x-6<b

即 把函数值的比较,利用单调规则,转化成自变量的比较

3.6.2 求最值(恒成立问题,求参数值)

  • 若函数f(x)在区间[m,n]上单调,则f(x)在区间的端点取得最值
  • f(x)在区间[m,n]上,有f(x)+a<0恒成立,转化成

f(x)<-a, 即-a 比f(x)的最大值还大,进而求f(x)的在区间[m,n]上的最大值

3.6.3 二次函数在给定区间(m,n)上的单调性(最值)

  • 先确定二次函数的开口方向、对称轴
  • 讨论对称轴的位置,分三种情形

(1) -frac{b}{2a}leq m

(2)m<-frac{b}{2a} <n

(3)-frac{b}{2a} geq n

以上适用于对称轴方程有参数、或区间含有参数的情形

若对称轴是一确定的值,区间也不含参数,直接对比对称轴和区间的位置,以及开口方向,即可确定二次函数在区间上的单调性、最值。

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