1. 函数的定义域，即 让一个函数 有意义

• 一次函数，定义域可以是 R，即全体实数
• 二次函数，定义域可以是 R，即全体实数
• 反比例函数，分母不为0，推而广之，函数表达式中，含有分式的，分母不为0
• 二次根式，被开方数 非负，即 大于等于0
• 0次幂，底数不为0
• 对数函数，真数大于0
• 复合函数f(g(x)), f(x)有意义，g(x)有意义，取交集

2.函数的值域，即对应自变量x的变化，函数值的变化范围

2.1 一些函数的值域

• 一次函数 y=kx+b，定义域R，值域R
• 反比例函数 y=frac{k}{x} (kne0) ，定义域{x|x ne 0}，值域（- infty ，0）U（0，+ infty ）
• 对数函数 y=log_{a}x (a>0,且ane1) , 定义域{x|x>0},值域R

2.2 求值域的方法

3. 函数的单调性，即函数在某个区间（定义域）内的增减状况

3.1 先确定函数的定义域——求定义域的方法

3.2 按题目给定的自变量的区间讨论

3.3 证明单调性的方法

3.3.1 作差法，按教材给的步骤：设点、求函数值、求两个函数值的差、整理式子判断差的正负、下结论；

3.3.2 作商法

有不等式：

• a>0,b>0, frac{a}{b} >1，则a>b
• a<0,b<0, frac{a}{b} >1，则a<b

函数f(x)的定义域I, x_{1},x_{2}in I , x_{1} prec x_{2}

• f( x_{1})<0,f( x_{2} )<0, frac{f(x_{1})}{f(x_{2})} >1，则f( x_{1})<f( x_{2} ), 函数在定义域I 为增函数
• f( x_{1})<0,f( x_{2} )<0, frac{f(x_{1})}{f(x_{2})} <1，则f( x_{1})>f( x_{2} ), 函数在定义域I 为减函数
• f( x_{1})>0,f( x_{2} )>0, frac{f(x_{1})}{f(x_{2})} >1，则f( x_{1})>f( x_{2} )，函数在定义域I 为减函数
• f( x_{1})>0,f( x_{2} )>0, frac{f(x_{1})}{f(x_{2})} <1，则f( x_{1})<f( x_{2} )，函数在定义域I 为增函数
• 注意：若存在函数值f(m)=0的情形，先讨论不为0的情形 ，即m左右两侧的区间内的单调性

3.4 几个函数的单调性

• 一次函数 f(x)=kx+b (k ne 0)，由 k 的正负 确定
• 二次函数 f(x)=ax^{2}+bx+c (ane0) ,由 a 的正负 和 对称轴 确定 对称轴左右两侧区间的单调性
• 反比例函数 f(x)=frac{k}{x} (k ne 0), 由 k的正负 确定 (反比例函数的单调性在一三象限或二四象限内是一致的，但是不能说反比例函数在定义域{x|x ne o}上单调递减或递增，而要分两个区间)
• f(x)=x+frac{a}{x} (a>0) ，定义域为 {x|x ne o}，函数图像如下

f(x)单调减区间有[ -sqrt{a} ,0）,（0, sqrt{a} ]，单调增区间有(-infty, -sqrt{a} ), ( sqrt{a} , +infty )

• 复合函数的单调性：同增异减

f(g(x))是函数套函数的形式，如果是f(x)+g(x)、f(x)-g(x)的形式，不使用同增异减

3.5 利用换元法求函数的单调区间

对于一些复杂但特征明显的函数，可以采用换元法，转化成我们熟悉的函数

【例题】 求函数 f(x)=-(frac{1}{2})^{2x}+2(frac{1}{2})^{x}+4 的单调增区间

令 t= frac{1}{2}^{x} , t >0, 则

f(t)=-t^{2}+2t+4 = -(t-1)^{2}+5

当 0<t<1 时，f(t)单调递增，即

0<(frac{1}{2})^{x}<1 , 解得 x>0

所以，f(x)的单调增区间为（0，+ infty ）

注意：换元后，要确定新元的定义域

3.6 单调性的应用

3.6.1 解不等式

f(x)在区间（a,b）上单调递减，若 f(2x+3)<f(3x-6), 求x的范围

f(x)在区间（a,b）单调递减，则有

• 2x+3>3x-6,
• a<2x+3<b,
• a<3x-6<b

即 把函数值的比较，利用单调规则，转化成自变量的比较

3.6.2 求最值（恒成立问题，求参数值）

• 若函数f(x)在区间[m,n]上单调，则f(x)在区间的端点取得最值
• f(x)在区间[m,n]上，有f(x)+a<0恒成立，转化成

f(x)<-a, 即-a 比f(x)的最大值还大，进而求f(x)的在区间[m,n]上的最大值

3.6.3 二次函数在给定区间（m,n）上的单调性（最值）

• 先确定二次函数的开口方向、对称轴
• 讨论对称轴的位置，分三种情形

(1) -frac{b}{2a}leq m

(2)m<-frac{b}{2a} <n

(3)-frac{b}{2a} geq n

以上适用于对称轴方程有参数、或区间含有参数的情形

若对称轴是一确定的值，区间也不含参数，直接对比对称轴和区间的位置，以及开口方向，即可确定二次函数在区间上的单调性、最值。