整理一下UFD相關的內容 部分內容是上課的筆記, 部分是抄Aluffi. 大概就是代數1會講的 非常簡單的性質. 如未特別說明, 文中環默認為含幺交換環. 用 R^times 表示環的乘法單位群. 本文中將會整理一些基本的關於UFD的性質, 並證明 UFD 上的多項式環是 UFD.

啊親愛的定義們:

(不可約元): 整環中非單位元素 r in R setminus (R^times cup{0}) 稱為 不可約元, 如果 0 neq (r) subsetneq R 為極大的主理想. (即: 不存在 s in R 使得 (r) subsetneq (s) subsetneq (1).) 這等價於 r 不能分解為兩個非單位的乘積.

(素元): 整環中元素 pi in R setminus (R^times cup{0}) 稱為 素元, 如果 0 neq (pi) subsetneq R 為素理想.

(UFD): 整環 R 稱作 唯一分解整環(UFD), 如果任何非單位都分解為素元的乘積.

(ACCP): 整環 R 滿足 主理想上的升鏈條件(ACCP), 如果沒有無窮的主理想升鏈 (r_1) subsetneq (r_2) subsetneq dots .

啊親愛的引理們:

1. 整環中, 素元皆不可約.PRF: 令 pi 為素元. pi = ab , 不妨設 a = pi a' , 則 a'b = 1 , 故 b 為單位, 而 pi 不可約.
2. 在整環 R 中, p_1, dots, p_n 為素元, q_1, dots, q_m 為不可約元( n,m geq 1 ), 若 p_1dots p_n=q_1dots q_m, 則 m=n , 且 (p_1), dots, (p_n) 與 (q_1), dots, (q_m) 在相差一個置換的意義下相同.PRF: 對 n 歸納: n=1 時, 由上一引理知 m=1, 於是 p_1=q_1.若 n > 1 , 則由不可約性知 m>1. 假設斷言對一切更小的 n 成立. 因 p_1 為素元, 不妨假設 p_1 mid q_1, 則由不可約性可知 (p_1)=(q_1) , 從而在相差一個單位的意義下 p_2dots p_n = q_2 dots q_m. 由歸納假設得證.
3. 整環中, 若 ab 為素元的乘積, 則 a,b 或為單位, 或亦為素元的乘積.PRF: 令 ab = p_1dots p_n , 其中 p_i 為素元. 對 n 歸納: n=1 時, 由引理1知 a,b 之一為單位, 而另一者為素元. 若 n > 1 , 假設斷言對一切更小的 n 成立. 不妨設 a = p_1a' , 則 a'b = p_2 dots p_n . 由歸納假設, a',b 均為單位或素元的乘積. 則 a =p_1a' 為素元的乘積. 得證.
4. 若整環 R 滿足 ACCP, 則任何非單位元素可分解為不可約元的乘積.PRF: 若非單位 r 不能分解為不可約元的乘積, 則 r 可約. 設 r=st , 其中 s,t 非單位, 則至少其一(不妨設為 s )不能分解為不可約元的乘積. 故 (r) subsetneq (s) . 於是可以得到無窮的主理想升鏈 (r) subsetneq (s) subsetneq dots .

UFD性質的等價刻畫1:

1> R 為 UFD 當且僅當 R 滿足 ACCP 且 R 中任何不可約元均為素元.

PRF: 若 R 為 UFD, 則由引理2可知, 對於 (r) subseteq (r') , r' 的素因子為 r 素因子的子集. 於是由自然數集的良序性得 ACCP. 對任意不可約元的素因子分解應用引理2可知其為素元.另一方向由引理4立得.

按: 這是常見於教科書的定義. 需要註意的是, 具有不可約元分解性質的整環不必滿足ACCP.^[1]

交換環的局部化:

對於環 R , 幺半群 R 的不含 0 的子幺半群 S 稱為 R 的乘性子集. 對於 R 的乘性子集 S , 可以定義 R 關於 S 的 局部化 S^{-1}R:=R times S/sim , 其中 (r,s)sim(r',s') Leftrightarrow exists t in S, trs' = tr's, 其等價類記作 frac rs . 環運算 frac as + frac bt = frac{at+bs}{st},frac ab cdot frac bt = frac{ab}{st} .

於此不對局部化多加贅述, 止摘錄部分性質:

1. S^{-1}R 滿足泛性質: 存在環同態 iota : R rightarrow S^{-1}R , 使得對於任意環同態 varphi: R rightarrow R' , 若 varphi(S) leq (R')^times , 則存在唯一的環同態 tilde varphi: S^{-1}R rightarrow R' , 使得 varphi =tildevarphicirciota .
2. keriota = {r in R: exists s in S, sr=0} .
3. frac r1 in (S^{-1}R)^times 當且僅當 exists s in S, r mid s. . 於是局部化將 R 中滿足 S cap I = emptyset 的理想 I 送入 S^{-1}I subsetneq S^{-1}R .
4. 局部化誘導雙射 {I in mathrm{Spec}(R): S cap I = emptyset} oversetsimlongleftrightarrow mathrm{Spec}(S^{-1}R) .
5. 局部化定義中的等價關系, 若 S 中元素均為非零因子, 則可以簡化為 (r,s)sim(r',s') Leftrightarrow rs'=r's . 本文主要關註整環, 故以下在使用局部化時會進行這一步簡化

UFD性質的等價刻畫2(Kaplansky):

2> 整環 R 為 UFD 當且僅當 每個非零素理想 0 neq mathfrak p in mathrm{Spec}(R) 均包含素元.

PRF: 若 R 為 UFD, 令 0 neq mathfrak p in mathrm{Spec}(R) , 則存在 0 neq a = pi_1dotspi_n in mathfrak p , 其中 pi_i 為素元. 因 mathfrak p 為素理想, 某一個 pi_i 包含於 mathfrak p 內.若每個非零素理想均包含素元, 假設非單位 x 無素因子分解, 則根據引理3, 主理想 (x) 中任何元素均無素因子分解. 令 S 為 R 內一切素元生成的乘性子集, 則根據上述性質3與引理3, S^{-1}(x) 為 S^{-1}R 的真子理想. 於是 S^{-1}R 有包含 x 的極大理想 mathfrak m . 但素理想 iota^{-1}mathfrak (m) 不含任何素元, 矛盾.

UFD 與局部化

A> 若 R 為 UFD, 則其任意局部化 S^{-1}R 亦為UFD.

PRF: 隻需驗證對任意素元 pi in R , fracpi1 in S^{-1}R 或者為單位, 或者為素元. 如此則可以將 R 中的素因子分解在 S^{-1}R 中復現. 現假設 fracpi1 in S^{-1}R 非單位. 若 fracpi1 bigm| frac as frac bt , 則有 r in R, sigma in S , 使得 pi rst = sigma ab , 於是 pi midsigma ab . 由於 fracpi1 非單位, pinmidsigma . 故 pi mid ab , 而 pi mid a lor pi mid b . 於是 fracpi1 mid frac as lor fracpi1 mid frac bt.

B> 若整環 R 中有不可約因子分解, S 為 R 中某些素元 {p_i}_{i in I} 生成的乘性子集, 且 S^{-1}R 為UFD, 則 R 為 UFD.

PRF: 為此隻需證明 R 的任意非零素理想 mathfrak p 中均有素元. 若 mathfrak p cap S neq emptyset , 則素理想 mathfrak p 中有某些素元的乘積, 從而包含某個素元.若 mathfrak p cap S = emptyset , 則在素理想 S^{-1}mathfrak p 中選取素元 fracpi 1 (分母為均為單位, 不妨選為 1 ). 若 R中有不可約因子分解 pi = pi_1dots pi_n in mathfrak p , 則不妨設在 S^{-1}R 中, fracpi1 bigm| frac{pi_1}1 , 即存在 a in R, s in S 使得 pi a = pi_1 s . 令 pi = pi_1pi' , 則 pi' a in S . 於是 pi' notin mathfrak p , 而 pi_1 in mathfrak p . 於此斷言 pi_1 為素元.若 pi_1 mid cd , 則不妨設 frac{pi_1}1 bigm| frac c1 . 於是存在 b in R, t in S 使得 pi_1 b = c t. 任何 p_i 均非 pi_1 的因子, 否則由不可約性得 (pi_1) = (p_i) , 但 (pi_1) cap S = emptyset , 矛盾. 於是對 t 作為 (p_i) 乘積的素因子個數歸納, 不難得到 t mid b , 於是 pi_1 mid c .

內容(content)及本原多項式:

從此直至文末, R 表示一個 UFD.

對於 R[x] 中的多項式 f(x) , 定義其內容為其系數的最大公因子 c(f) = gcd(text{coefficients of }f) .內容在相差一個單位的意義下是唯一的, 也就是說, 其生成的主理想是唯一的.

f(x) 稱作本原多項式, 如果 (c(f)) = (1), 或者等價地, 對於任意素元 piin R , f notin pi R[x] .

令 f^*(x) =frac{f(x)}{c(f)} , 則 f^*(x) 為本原多項式.

由於對於 R 的任意素理想 mathfrak p , mathfrak pR[x] 為 R[x] 的素理想, 故有:

(Gauss引理)> 本原多項式的乘積仍為本原多項式. 更進一步, fg = c(f)c(g)f^*g^* , 於是 c(fg) = c(f)c(g)c(f^*g^*) =c(f)c(g) .

啊親愛的引理們 我們來相會(

R text{ UFD} Rightarrow R[x] text{ UFD.}

PRF: 因 R 中素元皆為 R[x] 中素元, S:=R setminus {0} subseteq R[x] 為素元生成的乘性子集, 而 S^{-1}R[x] simeq mathrm{Frac}(R)[x] 為域上的多項式環, 固然為UFD. 隻要證明 R[x] 中有不可約因子分解即可.

為此, 隻需證明 R[x] 滿足ACCP.

令 (f_1) subseteq (f_2) subseteq dots 為 R[x] 主理想鏈, 則可以得到 R 中的主理想升鏈 (c(f_1)) subseteq (c(f_2)) subseteqdots 與本原多項式的升鏈 (f_1^*) subseteq (f_2^*) subseteq dots . R 的唯一分解性保證前者隻有有限個嚴格包含. 而由於本原多項式的非單位因子必為非常數的本原多項式, 自然數集的良序性保證後者隻有有限個嚴格包含, 於是原主理想鏈也隻有有限個嚴格包含. 於是 R[x] 滿足ACCP.

彩　蛋（小　問　題）：

是否存在整環 R , 使得 R[x] 中存在一個沒有任何不可約因子的多項式?

有沒有呢？我也不知道（逃

參考

1. ^http://math.stackexchange.com/questions/1941913/example-of-fd-not-satisfying-accp