这篇笔记里的许多理解来自：

我长久以来一直抱有这样的信念：对于理解一个模型，最重要的一点是理解它的假设，并从直观上和数学上理解它的每条假设在模型的推演过程中扮演的角色。

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0. Black-Scholes Formula

先温习一下BS公式——我们推导的目标结论：

C=exp(-rtau)[FN(d_1)-KN(d_2)]

P=exp(-rtau)[KN(-d_2)-FN(-d_1)]

其中 C 与 P 为所求的欧式期权价格；

K 为执行价， F 为标的对应的，执行期为 tau 的远期价格（Forward）。

0-1. 无股息（Dividend）

d_1=frac{1}{sigmasqrt{tau}}left[lnleft(frac{S_0}{K}right)+(r+frac{1}{2}sigma^2)tauright]

d_2=frac{1}{sigmasqrt{tau}}left[lnleft(frac{S_0}{K}right)+(r-frac{1}{2}sigma^2)tauright]

其中 S_0 为期初价格； sigma 为波动率（volatility），根据假设是一个常数。

此时远期价格： F=S_0exp(rtau)

0-2. 有股息

d_1=frac{1}{sigmasqrt{tau}}left[lnleft(frac{S_0}{K}right)+(r-q+frac{1}{2}sigma^2)tauright]

d_2=frac{1}{sigmasqrt{tau}}left[lnleft(frac{S_0}{K}right)+(r-q-frac{1}{2}sigma^2)tauright]

其中 q 为股息率，连续折算。

当标的资产为期货时， q 为无风险利率 r ——这是因为模型忽略了买入期货对资金的占用成本，即：将买入期货的资金收益率等价于持有全部现金的资金收益率 r 。这不完全符合期货的保证金（Margin）需要占用一部分现金的事实。

当标的资产为大宗商品等现货类资产时， q 应为便利收益率（Convenience Yield）与持有成本（Cost of Carry）的差值。此处参考：The theory of storage and the convenience yield, by University of British Columbia

此时远期价格： F=S_0expleft((r-q)tauright)

1. 理解六个假设

1-1. 金融假设

i. 欧式香草期权

对这条假设的理解是平凡的。在BS模型的假设系统下，其他期权，如二元、障碍、美式期权有自己的定价公式。

ii. 标的资产（Underlying Asset）无股息（Dividend）

BS模型假设了一个无股息的标的资产，但实际上BS模型也可以被改写成一个有股息的版本。只要将模型中的资金成本改为对应的 r-q 即可。

也即是将标的对应的远期（Forward）价格从 F_{t+tau}=S_texpleft(rtauright)

改写成： F_{t+tau}=S_texpleft[(r-q)tauright]

且使股价的分布不再服从 Eleft(S(t+tau)|mathcal{F}_tright)=S(t)exp(rtau)

而是服从 Eleft(S(t+tau)|mathcal{F}_tright)=S(t)exp[(r-q)tau]

此处 mathcal{F}_t 指代 t 时的域流（Filtration），域流就是整个系统的信息集族（Family of Information Sets），而 mathcal{F}_t 的本质是一个包含了 t 时所有可以获知的信息的 sigma-algebra。

（关于股价的分布会在后面Log-normal分布假设与推导过程中再做详细解释）

iii. 无交易成本（Transaction Cost）

事实上交易时的成本（包括交易所收取的手续费（Commission）和点差（Bid-ask Spread））会导致市场各资产价格之间存在一个无法被套利交易（Arbitrage）填平的差值，比如市场价格推算出的Put-Call Parity等式两侧时常存在一个误差。这是由于有交易成本的存在，导致套利交易无法从不足够大的价差中牟利。

同样的，从资金成本的角度来说，对冲基金和银行经常因为募资成本（Cost of Funding）的不同而采用不同的交易方式。

1-2. 数学假设

iv. 有效市场（Efficient Market）

这条假设的数学表达应为：标的资产的价格变动是一个Itô process，这是以随机过程对资产价格进行建模的基础。

另一种表述为：市场上不存在方法可以连续预测资产价格的走向，即走向对所有市场参与者都是随机的。

v. 标的资产的回报率服从对数正态分布（Log-Normal Distribution）

即 lnleft(frac{S(t+tau)}{S(t)}right)|mathcal{F}_tsim Nleft(mutau-frac{sigma^2tau}{2},sigma^2tauright)

此处 mu 为常数。

根据对数正态分布的性质，此时股价的分布服从Eleft(S(t+tau)|mathcal{F}_tright)=S(t)exp(mutau)，正如上文假设 ii 中所述。

这是因为，由于上面的lnleft(frac{S(t+tau)}{S(t)}right)|mathcal{F}_tsim Nleft(mutau-frac{sigma^2tau}{2},sigma^2tauright)，

则 frac{S(t+tau)}{S(t)}|mathcal{F}_tsim LogNleft(mutau-frac{sigma^2tau}{2},sigma^2tauright) ,

而 Eleft[LogNleft(mutau-frac{sigma^2tau}{2},sigma^2tauright)right]=expleft(mutau-frac{sigma^2tau}{2}+frac{sigma^2tau}{2}right) ，

因此有Eleft(S(t+tau)|mathcal{F}_tright)=S(t)exp(mutau) 。

vi. 波动率与无风险利率为常数

这是BS模型所做的最重要的简化。与之相对地，事实上波动率与无风险利率往往并不是固定的。请参考：Non-Constant Volatility, by NTU

vii. 一种更本质的表述

至此，假设 iv 至假设 vi 结合，则可以带来对这三条假设的本质的表述：

标的资产的价格 S 服从一个形如下式的几何维纳过程（Geometric Wiener Process）（或称几何布朗运动，部分文献认为这两个概念定义相同，部分认为维纳过程应定义为一个布朗运动加上其相容域流（a Brownian Motion relative to a Filtration），即一个完整的信息结构）：

dS_{tau}=mu S_{tau}dt+sigma S_{tau}dw_{tau}

其中，符合BS模型的重要简化， mu 与 sigma 为常数； w 为一个标准维纳过程。

而同时，这条假设也等价于以下另一个表述——标的资产的价格 S 服从一个形如下式的 Itô process：

lnleft(frac{S_{tau}}{S_0}right)=int^{tau}_0（mu-frac{sigma^2}{2}） dt+int^{tau}_0sigma dw_tau

由此式可以很自然地看出，标的资产的回报率服从对数正态分布。

事实上，上式是下式的微分。需要注意的是，这里的微分无法用古典微积分的方法求算，因为维纳过程是处处不可微的。（此处并不是在试图说明 dw_tau 无意义，而是由于其二次变分不为零，导致古典微积分的链式法则于此处失效。）

上下式的等价性需要由 Itô Calculus 来说明。

此处由 Itô's Lemma ，从上式出发有：

dfleft(S_tauright)=left(frac{partial f}{partial t}+frac{partial f}{partial S_tau}mu S_tau+frac{1}{2}frac{partial^2f}{partial S_tau^2}sigma^2S_tau^2right)dt+frac{partial f}{partial S_tau}sigma S_tau dw_tau

那么 dleft[lnleft(frac{S_tau}{S_0}right)right]=（mu-frac{sigma^2}{2}） dt+sigma dw_t ，是下式的微分。

2. 推导

2-0. 问题描述

至此我们已经可以严谨地描述我们试图解决的问题了：

在标的资产无股息、交易无成本时，假设标的资产的价格变动符合：

dS_{tau}=mu S_{tau}dt+sigma S_{tau}dw_{tau}

也即符合：

dfleft(S_tauright)=left(frac{partial f}{partial t}+frac{partial f}{partial S_tau}mu S_tau+frac{1}{2}frac{partial^2f}{partial S_tau^2}sigma^2S_tau^2right)dt+frac{partial f}{partial S_tau}sigma S_tau dw_tau

则我们想推得此时标的资产上的欧式看涨、看跌期权的现价。

2-1. 风险中性世界——基于对数分布假设的尝试

首先我们尝试从金融方向理解求解这个随机微分方程（Stochastic Differential Equation）的障碍。

现实世界中的投资者各自具有不同的风险偏好，这使得对于每个投资者来说，期望回报率（折价率） mu 都具有不同的值，这导致我们没办法准确描述市场期望回报率中的风险溢价。

因此我们考虑这样一个命题：在一个投资者都是风险中性的世界里，期望回报率 mu 应该等于无风险组合回报率 r 。因此在这个世界里标的资产的回报率是符合一个如下的对数正态分布的：

frac{S(t+tau)}{S(t)}|mathcal{F}_tsim LogNleft(rtau-frac{sigma^2tau}{2},sigma^2tauright)

而此时我们的目标期权价格为： C=exp(-rtau)E[max(S(t+tau) – K, 0)]

从对数正态分布的pdf出发，上式可以被轻松求解，即得到我们期望的结论：BS公式（Black-Scholes Formula）。

不过这是在一个虚构的世界，即一个“风险中性世界”中才有的结论。

然而事实上，我们可以观察到这个结论在现实世界也成立：BS偏微分方程（Black Scholes Equation）（请注意将其与BS公式（Black Scholes Formula）作出区分：后者是我们推导的目标，一般指前者的显式解）本身并不包含单独的参数 mu 。

下面我们尝试进一步理解这一点。

2-2. 无风险投资组合

考虑一个执行价 K=0 的看涨期权，则其价格应为 Cequiv S ，也即我们可以使用一份股票来完美复制这样的一份看涨期权。此时 C 的表达式里并不包含单独的参数 mu 。通过这个例子我们可以发现，期权价格 C 并不因为股票价格的漂移率（Drift Rate）的改变而偏离股价 S 。实际上，股价漂移率对期权价格的影响已经被股价 S 本身表达。因此我们可以避免参数 mu 在BS公式中单独出现。

推而广之地，在Fischer Black和Myron Scholes于1973年的原论文中，他们采用了一种如今广为人知的推导方法，即构建这样一个投资组合：

做空一份欧式看涨期权，做多 frac{partial C}{partial S} 份股票，使得整个投资组合的价格随机性完全被对冲，从而达到了复制无风险资产的效果。

如果使投资组合为 P = -C + (∂C/∂S)S ，

那么投资组合的价格变动 Delta P=left(-frac{partial C}{partial t}-frac{1}{2}frac{partial^2 C}{partial S^2}sigma^2 S^2right)Delta t ，

而上式，根据其是无风险资产的复制（Replication）（事实上这样的说法并不严密，因为这不是一个自融资组合（Self-financing Portfolio），这一点在 2-3 与 2-4 中会有进一步说明），又等于 rPΔt 。

因此得到所求的BS偏微分方程：

frac{partial C}{partial t}+rSfrac{partial C}{partial S}+frac{1}{2}sigma^2 S^2frac{partial^2C}{partial S^2}=rC

显然地，其中不包含参数 mu 。

2-3. Black-Scholes Equation

通过构造这样的一个无风险投资组合，直觉上我们发现，欧式期权的现价与投资者所具有的风险偏好无关。更进一步地，所求得的BS方程是一个不包含随机过程的偏微分方程。这意味着它可以通过传统方法被求解，然后我们即可以得到它的显式解——BS公式。

求解BS方程有许多广为人知的做法，比如将其类比为热传导方程求解，或者使用Feymann-Kac定理将其转换至Q-测度下求解：Stack Exchange 等。

至此，BS公式已经被以一种看似严密的方法推得了。

然而事实上这样的证明是有缺陷的，因为上文构造的投资组合： P = -C + (∂C/∂S)S 事实上并不是一个对于无风险资产的完美的复制——它不是自融资（Self-financing）的，这意味着我们时常需要借贷来保持我们需要的仓位。

于是下文介绍一种更严密的推导方式。

2-4. 自融资组合与等价鞅推导

本小节的内容全部来自：BS Martingale, by University of Washington ,具体的证明过程请参考原文。

首先我们可以证明存在这样一个自融资投资组合：包含 X 份股票与 Y 份无风险资产，其中 X 与 Y 是有理数；这个组合的收益完美地复制了欧式看涨期权。

而对于这个自融资投资组合的收益，我们则可以找到一个等价鞅测度（Equivalent Martingale Measure），其根据定义，和真实概率测度拥有一样的零测度集，且使标的资产价格的变动在其上成为一个鞅。

这一步相当于将标的资产价格变动的过程投影到了另一个“风险折价”后的概率空间，使得在这个概率空间中求算出来的期望值就等于风险折价后的资产价格。

这个新的概率空间又叫“风险中性空间”，新的概率测度又叫“风险中性测度”。

接着通过 Girsanov 定理，我们构造的自融资组合的收益等于：

exp(-rtau)E^Q[max(S(t+tau) – K, 0)] ，

其中 E^Q 指在新的测度——Q-测度下的期望。

求算上式即得所求的BS公式。

2-5. 测度变换金融意义的争论

数学上来看，上文的无风险投资组合方法和等价鞅方法的思想是相似而相对的：前者消除了价格变动中的随机性从而留下不包含随机过程的Black Scholes PDE；后者消除了伊藤过程中的确定性而只留下“纯粹”的随机性。

然而对于如何从直觉上理解等价鞅测度转换的金融意义，我目前还是模糊的。有的前辈认为不要过分解读数学工具：

有的则认为其代表了复制/对冲所定价资产的策略：

2-6. 其他推导方法

Black Scholes Formula还有其他几种比较常见的推导方法：Ten Different Ways to Derive Black–Scholes

3. 小结

Black Scholes Formula本质上是在一个理想的金融环境中将资产价格的变动建模成了一个常系数的伊藤过程，通过研究这个过程的条件期望来导出欧式香草期权价值的显式解。

在这个过程中，大部分数学上的处理都可以找到对应的从直觉出发的金融理解，但不是全部。