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庞加莱球模型

0. 双曲线

1. 双叶双曲面

将双曲线绕实轴旋转,方程式为

frac{x^{2}}{a^{2}} + frac{y^{2}}{b^{2}} – frac{z^{2}}{c^{2}} = -1

双叶双曲面

2. 双曲面模型

在几何学中，双曲面模型也称为闵可夫斯基模型，或者洛伦兹模型。

是n-维双曲几何的一个模型，其中点由(n+1)-维闵可夫斯基空间中双曲面的向前叶 S^{+} 中的点表示，

三维空间中的二维双曲曲面

如上图所示，这是一个在三维空间中的二维双曲曲面的例子，光线从最下面的(0,0,−1)点射出，经过灰色的庞加莱圆盘到达绿色的双曲面，红色圆弧为灰色庞加莱圆盘模型上的测地线，投影到绿色双曲面模型上的即为庞加莱圆盘空间中的棕色测地线。

3. 测地线

庞加莱-克莱因-双曲面

如上图所示的B,K,L分别对应于庞加莱圆盘模型、克莱因圆盘模型、双曲面模型。这里每一个模型中的每一条测地线都是上半叶双曲面和过原点平面的交线，也就是两点之间的测地距离（最短距离）。