一般经典力学都是从Lagrangian到Hamiltonian，即切丛到余切丛。Lagrangian的底层构造——最小作用量原理可以作为“原理”，而Hamilton方程则不太适合作为基本原理。不过，给定了Hamiltonian H 和质量 m （作为构型空间上的Riemannian度规）之后，立刻可得 L(xi)=(j_m(xi))(xi)-H(j_m(xi)) ，其中 j_m:TQto T^*Q 是度规 m 诱导的自然丛同构，即音乐同构；而从Lagrangian推导Hamiltonian则必须额外引入Legendre变换。

本文采用Lagrangian到Hamiltonian的形式。

令构型空间为 Q 。Lagrangian L 就是乘积流形 TQtimesmathbb{R} 上的光滑实函数。构型空间和Lagrangian合在一起 (Q,L) 叫做Lagrangian系统。考虑 Omega(Q)^{q_1,t_1}_{q_0,t_0}:={gamma:[t_0,t_1]to Q|gamma(t_0)=q_0,gamma(t_1)=q_1} 是 Q 上起点为 q_0 终点为 q_1 的光滑曲线构成的无穷维Fréchet流形，而 Omega(Q)^{q_1,t_1}_{q_0,t_0} 中的一条光滑曲线 Gamma 又被称为曲线 gamma 的（端点固定的）变分，若 Gamma 经过了 gamma 。如此一来，曲线 gamma 的变分可以被视为一族光滑曲线 gamma_varepsilon(t):=Gamma(t,varepsilon) ，其中 Gamma:[t_0,t_1]times[-varepsilon_0,varepsilon_0]to Q 满足经过条件 forall tin[t_0,t_1],Gamma(t,0)=gamma(t) 和端点条件 forallvarepsilonin[-varepsilon_0,varepsilon_0],Gamma(t_0,varepsilon)=q_0,Gamma(t_1,varepsilon)=q_1 。在光滑流形中，我们知道 Q 上的光滑曲线 gamma 自然诱导了一条 TQ 上的光滑曲线 gamma'(t):=gamma_*(frac{partial}{partial t}) 。在所有这些准备完成后，最小作用量原理叙述如下：

公理 光滑曲线 gammain Omega(Q)^{q_1,t_1}_{q_0,t_0} 是描述一个 t_0 时刻广义坐标在 q_0 ， t_1 时刻广义坐标在 q_1 的Lagrangian系统的运动曲线，当且仅当它的任意变分 gamma_varepsilon 都是作用量泛函 S:Omega(Q)^{q_1,t_1}_{q_0,t_0}tomathbb{R} 的极值点，即 frac{mathrm{d}}{mathrm{d}varepsilon}Big|_{varepsilon=0}S(gamma_varepsilon)=0 ，其中作用量泛函 S(gamma):=int_{t_0}^{t_1}L(gamma'(t),t)mathrm{d}t 。

在局部给出光滑图 (U,varphi=(q_1,cdots,q_n)) 后我们可以确定切丛上这个局部 pi^{-1}(U) 处的自然坐标 (bm{q},dot{bm{q}})=(q^1,cdots,q^n,dot q^1,cdots,dot q^n) 。其定义可以参考Lee光滑流形P66-67。利用自然坐标，我们也直接把光滑曲线 gamma' 记作 (bm{q}(t),dot{bm{q}}(t)) 。这样做的好处是立刻能得到Euler-Lagrange方程： 0=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}varepsilon}Big|_{varepsilon=0}S(gamma_varepsilon)=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}varepsilon}Big|_{varepsilon=0}int_{t_0}^{t_1}L(bm{q}(t,varepsilon),dot{bm{q}}(t,varepsilon),t)mathrm{d}t sum_{i=1}^nint_{t_0}^{t_1}Big(frac{partial L}{partial q^i}frac{partial q^i}{partial varepsilon}Big|_{varepsilon=0}+frac{partial L}{partial dot q^i}frac{partial dot q^i}{partial varepsilon}Big|_{varepsilon=0}Big)mathrm{d}t = （分部积分） sum_{i=1}^nint_{t_0}^{t_1}Big(frac{partial L}{partial q^i}-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}frac{partial L}{partial dot q^i}Big)frac{partial q^i}{partial varepsilon}Big|_{varepsilon=0}mathrm{d}t+sum_{i=1}^{n}Big[frac{partial L}{partial dot q^i}frac{partial q^i}{partial varepsilon}Big|_{varepsilon=0}Big]^{t_1}_{t_0} ，由于变分的端点固定，有 Big(frac{partial q^i}{partial varepsilon}Big|_{varepsilon=0}Big)Big|_{t=t_0}=Big(frac{partial q^i}{partial varepsilon}Big|_{varepsilon=0}Big)Big|_{t=t_1}=0 ，所以后一项恒为0。由于变分是任取的，所以必须使 frac{partial L}{partial q^i}-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}frac{partial L}{partial dot q^i}=0 恒成立，即得Euler-Lagrange方程。

这样的做法证明了完全包含在某个局部光滑图内部的 gamma 。对于一般的光滑曲线，若它是作用量泛函的极值点，则把它限制到某个局部仍是极值点，从而我们把局部的结论拼起来，就对一般的曲线也证明了。

惯性参考系中自由质点的Lagrangian是立刻可得的。根据经典力学的对称性假设，时间和空间的平移对称性使得 L(bm{q},dot{bm{q}},t) 不显含 bm{q} 和 t ，空间的各向同性使得 L 不依赖于 dot{bm{q}} 的方向，而只依赖于其大小 |dot{bm{q}}| ——这种说法只在欧氏空间里适用。在光滑流形上，要定义切向量的大小，则需引入Riemannian度规，不妨记其为 m ，从而 |dot{bm{q}}|:=sqrt{m(dot{bm{q}},dot{bm{q}})} 。利用Galilean相对性原理，令质点在另一个惯性参考系中的速度是 dot{bm{q}}+bm{v} （这是合理的，由于切丛是向量丛），那么两个参考系下的Lagrangian最多只能相差一个额外附加项 frac{mathrm{d}f}{mathrm{d}t} ，其中 f:Qtimes mathbb{R}tomathbb{R} 是光滑实函数。取 bm{q} 是某个局部的法坐标，那么度规有展开式 m_{ij}(bm{q})=delta_{ij}+frac{1}{3}R_{kijl}q^kq^l+O(|bm{q}|^3) ，这里 R_{ijkl} 是度规的(0,4)曲率， |bm{q}| 是 bm{q} 到法坐标中心处的径向距离。刚才说了，Lagrangian中不显含 q ，所以除了 delta_{ij} 其余项都应被视作高阶小量，从而 |dot{bm{q}}|=sqrt{delta_{ij}(dot q^idot q^j+v^idot q^j+v^jdot q^i+v^iv^j)}=sqrt{dot{bm{q}}cdotdot{bm{q}}+2bm{v}cdotdot{bm{q}}+bm{v}cdotbm{v}} 。据此，我们可以完全参Landau & Lifshitz的方法，把另一个参考系中的Lagrangian L'(|dot{bm{q}}+bm{v}|) 展开成 bm{v} 的幂级数，得出 L=frac{1}{2}m(dot{bm{q}},dot{bm{q}}) 。

我们知道，Euler-Lagrange方程在Riemannian流形上就是测地线方程。这使得我们可以讨论Lie群上的Lagrangian。考虑绕固定点旋转的刚体，其构型空间是 mathrm{SO}(3) ，若 m 是 mathrm{SO}(3) 上的左不变度规，则 L=frac{1}{2}m(v,v) ，其中 vin Tmathrm{SO}(3) 。对任意 dotomegain T_omegamathrm{SO}(3) ，定义角速度 Omega:=(L_{omega^{-1}})_*dotomegainmathfrak{so}(3)=T_emathrm{SO}(3) ，由于 m 左不变，所以 L=frac{1}{2}m_e(Omega,Omega) 。 mathfrak{so}(3) 是半单的，所以可以考虑Killing-Cartan形式 kappa(x,y)=-frac{1}{2}mathrm{tr}(mathrm{ad}_xmathrm{ad}_y) ，并且存在线性算子 A:mathfrak{so}(3)to mathfrak{so}(3) 使得 m_e(Omega,Omega)=kappa(A(Omega),Omega) 。 A(Omega) 叫做角动量， A 被称为刚体的惯量算子，它的三个正交归一化的本征向量 e_1,e_2,e_3 叫做惯量主轴，对应的本征值 I_1,I_2,I_3 叫做主轴的惯量矩。把 Omega 展开为 Omega=Omega_1e_1+Omega_2e_2+Omega_3e_3 ，则 L=frac{1}{2}(I_1Omega^2_1+I_2Omega^2_2+I_3Omega^2_3) ，Euler-Lagrange方程变为刚体的Euler方程 left{begin{matrix} I_1dotOmega_1=(I_2-I_3)Omega_2Omega_3/ I_2dotOmega_2=(I_3-I_1)Omega_1Omega_3/ I_3dotOmega_3=(I_1-I_2)Omega_1Omega_2 end{matrix}right. 。

现在来看Lagrange形式的Noether定理。称光滑函数 I:TQtomathbb{R} 是Lagrangian系统的守恒律，若作用量泛函的任意极值曲线 gamma 都使得 frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}I(gamma'(t))=0 ，也就是说，实际可行的运动 gamma 会使得 I 保持为某个常数不变。若微分同胚 Phi:Qto Q 使得任意 vin TQ 都让 L(Phi_*(v))=L(v) 成立，则称Lagrangian L 在 Phi 下不变，称 Phi 是Lagrangian系统的对称性。若Lie群 G 在 Q 上的光滑左作用使得任意 gin G 都让 qmapsto gcdot q 是对称性，则称 G 是Lagrangian系统的对称群。在讨论Noether定理时，我们考虑的是一族连续变化的对称性构成的单参数群 {Phi_s}_{sinmathbb{R}} ，并按 a^i(bm{q}):=frac{mathrm{d}Phi_s^i(bm{q})}{mathrm{d}s}Big|_{s=0} 给定 bm{a}:Qto Q ，再按 I(bm{q},dot{bm{q}})=sum_{i=1}^nfrac{partial L}{partialdot{q}^i}(bm{q},dot{bm{q}})(a^i(bm{q}))=frac{partial L}{partialdot{bm{q}}}(bm{a}) ，它就是不含时Lagrangian系统的守恒律的一般形式。证明是简单的，只需在 s=0 处把 L((Phi_s)_*(gamma'(t)))=L(gamma'(t)) 对 s 求导，取 bm{a}(t)=(a^1(gamma(t)),cdots,a^n(gamma(t))) ，然后再代入Euler-Lagrange方程即可。这里主要的疑惑是，广义动量 frac{partial L}{partialdot{bm{q}}} 是否依赖于坐标的选取。若 (U,varphi) 和 (U,psi) 是局部的两个光滑图， F=psicircvarphi^{-1} 是转移函数， (bm{q},dot{bm{q}}) 是第一个图下的 TQ 的自然坐标，那么 (tilde{bm{q}}=F(bm{q}),dot{tilde{bm{q}}}=mathrm{d}F_{bm{q}}(dot{bm{q}})) 是第二个图下的自然坐标。简单的计算可得 frac{partial L}{partialdot{bm{q}}'}circmathrm{d}F_bm{q}=frac{partial L}{partialdot{bm{q}}} ，所以 frac{partial L}{partialdot{bm{q}}} 是不依赖于坐标的选取的量。

下面列出三类常见的守恒律，这其中的计算都是简单的。(1) 能量： E=dot{bm{q}}frac{partial L}{partialdot{bm{q}}}-L 。把能量看作守恒律时，必须考虑含时Lagrangian体系，即此时的构型空间是 Qtimesmathbb{R} ，含时Lagrangian按照 L'(bm{q},tau,dot{bm{q}},dottau):=L(bm{q},frac{dot{bm{q}}}{dottau},tau)dottau ，这里 L 是把 T(Qtimesmathbb{R}) 仍看做不含时系统得出的Lagrangian，而能量对应的单参数对称性群是 {taumapstotau+s} 。由于 frac{partial L'}{partialdot{tau}}=frac{partial L}{partial(dot{bm{q}}/dottau)}frac{partial(dot{bm{q}}/dottau)}{partial dottau}dottau+L=-dot{bm{q}}frac{partial L}{partialdot{bm{q}}}+L ，知单参数群诱导的守恒律是 -E 。(2) 动量： I=sum_{i=1}^nv^ifrac{partial L}{partialdot{q}^i} ，其单参数群为 Phi_s(q)=q+sv ，其中 vin Q ，而为了使这种向量加法成立，不妨取 Q 为线性空间。最简单的情形是 Q=mathbb{R}^{3N} ，其中 N 是质点数，并且为了简单，取 v 的每个分量都是单位向量，那么 I=sum_{k=1}^N(frac{partial L}{partial dot r^1_k}+frac{partial L}{partial dot r^2_k}+frac{partial L}{partial dot r^3_k}) ，这就是系统的总动量。(3) 角动量：仍取 Q=V 是线性空间， G=mathrm{SO}(V) ， exp:mathfrak{g}to G 是指数映射，守恒律 I=sum_{i=1}^n(Rcdot q)^ifrac{partial L}{partialdot{q}^i} ，其中 Rinmathfrak{g} ， Rcdot q 是Lie代数在 Q 上的左作用（即矩阵作用在向量上），单参数群为 Phi_s(q)=exp(sR)cdot q 。和刚才一样， Q=mathbb{R}^{3N} ，那么可以取 mathfrak{so}(3) 的标准基底 X_1=left(begin{matrix} 0&0&0/0&0&-1/0&1&0 end{matrix}right) ， X_2=left(begin{matrix} 0&0&1/0&0&0/-1&0&0 end{matrix}right) ， X_3=left(begin{matrix} 0&-1&0/1&0&0/0&0&0 end{matrix}right) ，并把 Rinmathfrak{so}(3) 展开为 R=R^1X_1+R^2X_2+R^3X_3 ，那么 I=R^1J_1+R^2J_2+R^3J_3 ，其中 bm{J}=(J_1,J_2,J_3)=sum_{k=1}^Nbm{r}_ktimesfrac{partial L}{partialdot {bm{r}}_k} 是系统的总角动量。

在中心力场中，角动量总是守恒量。若力场为最特殊的平方反比力 mddot{bm{r}}=-frac{alphabm{r}}{|bm{r}|^3} ，则额外的有一个守恒量：Laplace-Runge-Lenz矢量 W=bm{P}timesbm{J}-malphafrac{bm{r}}{|bm{r}|} 。对于平方反比力场的三种轨道：束缚、抛物和双曲，LRL矢量的对称群也不同，分别是 mathrm{SO}(4) ， mathrm{SE}(3) 和 mathrm{SO}(3,1) ，单参数群的形式与角动量一致。

下面我们转入Hamiltonian力学。Hamiltonian力学的好处有很多，例如：动力学方程是一阶的；余切丛的辛结构使得Poisson括号是自然的；作用量可以用微分1-形式表示出来；Noether定理的形式很简单，等等。当然，最大的好处就是使得力学变成了纯粹的几何学。

从Lagrangian转向Hamiltonian的构造少不了Legendre变换。考虑余切丛 T^*Q 上的自然局部坐标 (bm{q},bm{p})=(q^1,cdots,q^n,p_1,cdots,p_n) ，自然坐标会使得 p_i(mathrm{d}f)=frac{partial f}{partial q^i} 成立，其中 f 是定义在此局部的任意的光滑实函数。定义Lagrange 1-形式 mathrm{d}L:=sum_{i=1}^nfrac{partial L}{partialdot{bm{q}}^i}mathrm{d}q^i 和Liouville典范1-形式 tau:=sum_{i=1}^np_imathrm{d}q^i 。根据前面的论述，我们知道 mathrm{d}L 的定义是不依赖于坐标选取的。那么Liouville 1-形式呢？实际上，Liouville 1-形式可以用内蕴的形式定义： tau_{(bm{q},bm{p})}(v)=bm{p}(mathrm{d}pi_{(bm{q},bm{p})}(v)) ，其中 bm{p}in T^*_bm{q}Q ， pi:T^*Qto Q 是标准投影， vin T_{(bm{q},bm{p})}(T^*Q) 。由于 mathrm{d}pi^*(mathrm{d}q^i)=mathrm{d}q^i ，所以直接得 tau_{(bm{q},bm{p})}=mathrm{d}pi^*_{(bm{q},bm{p})}(sum_{i=1}^np_imathrm{d}q^i)=sum_{i=1}^np_imathrm{d}q^i 。Legendre变换 tau_L:TQto T^*Q 就是满足 mathrm{d}L=tau_L^*(tau) 的丛态射。

一个显然的问题是：Legendre变换是微分同胚吗？由于在自然坐标下， tau_L(bm{q},dot{bm{q}})=(bm{q},frac{partial L}{partialdot{bm{q}}}(bm{q},dot{bm{q}})) ，所以我们只需考虑 frac{partial L}{partialdot{bm{q}}} 在局部是否可逆。判别的最简单方法，就是再对 frac{partial L}{partialdot{bm{q}}} 求偏导，这样得到的 frac{partial^2L}{partialdot{q}^ipartialdot{q}^j} 就是 L 的Hessian矩阵。所以，若 L 的Hessian矩阵处处都是可逆的，则Legendre变换是局部微分同胚。从而我们可以按照 Hcirctau_L=dot{bm{q}}frac{partial L}{partialdot{bm{q}}}-L 给定Hamiltonian函数 H:T^*Qtomathbb{R} ，即把切丛上能量函数变换成余切丛上的。此时，余切丛的自然坐标 (bm{q},bm{p}) 是事先给定的，切丛上的 dot{bm{q}} 是需要推导出来的。当然，直接取 bm{p}=frac{partial L}{partialdot{bm{q}}} ，就利用隐函数定理唯一地给定了 dot{bm{q}} ，此时 H(bm{q},bm{p})=bm{p}dot{bm{q}}-L(bm{q},dot{bm{q}}) ，从而 mathrm{d}H=frac{partial H}{partialbm{p}}mathrm{d}bm{p}+frac{partial H}{partialbm{q}}mathrm{d}bm{q} =bm{p}mathrm{d}dot{bm{q}}+dot{bm{q}}mathrm{d}bm{p}-frac{partial L}{partialbm{p}}mathrm{d}bm{p}-frac{partial L}{partialdot{bm{q}}}mathrm{d}dot{bm{q}} =dot{bm{q}}mathrm{d}bm{p}-frac{partial L}{partialbm{p}}mathrm{d}bm{p} ，即 frac{partial H}{partialbm{p}}=dot{bm{q}} ， -frac{partial H}{partialbm{q}}=dot{bm{p}} ，这就是Hamilton方程。据此，Hamiltonian一定是守恒量， frac{mathrm{d}H}{mathrm{d}t}=frac{partial H}{partialbm{q}}dot{bm{q}}+frac{partial H}{partialbm{p}}dot{bm{p}}=0 。

Liouville 1-形式的外微分 omega=sum_{i=1}^nmathrm{d}p_iwedgemathrm{d}q^i 是非退化的，即，任意 qin Q 和任意 vin T_qQ ，都存在 win T_qQ 使得 omega_q(v,w)ne0 。显然 omega 是闭的。据此，称闭的非退化2-形式是辛形式，给定了辛形式的光滑流形叫做辛流形。对于两个辛流形 (M_1,omega_1) ， (M_2,omega_2) ，若微分同胚 F:M_1to M_2 满足 F^*omega_2=omega_1 ，则称 F 是辛态射；若额外地 M_1=M_2 ，则 F 叫做正则变换。本文里，辛形式写成 sum_{i=1}^nmathrm{d}q_iwedgemathrm{d}p^i ，即流形坐标在前，纤维坐标在后，进而 omega=-mathrm{d}tau 。

辛流形只能是偶数维的。证明思路如下：称定义了非退化交错二重线性形式 omega:Vtimes Vtomathbb{R} 的线性空间是辛线性空间，容易证明 mathrm{dim}(V)geqslant2 。若 Ssubset V 是线性子空间，则 S^bot:={vin V|omega(v,w)=0,forall win S} 叫做 S 的辛补。令 Phi(v)(w)=omega(v,w) ，对其利用rank-nullity定理，知 mathrm{dim}(S)+mathrm{dim}(S^bot)=mathrm{dim}(V) 。若 Scap S^bot={0} ，则 omega|_S 和 omega|_{S^bot} 都是非退化的，再令 mathrm{dim}(S)=2 ，对 mathrm{dim}(V) 应用归纳法，可知 mathrm{dim}(S^bot) 一定是偶数维的。

对于Hamiltonian力学，辛几何中重要的定理是两个：Darboux定理和Noether定理。Darboux定理如下：

定理(Darboux) 若 omega 是辛流形 M 上的辛形式，那么任意局部都存在坐标 (x^1,cdots,x^n,y^1,cdots,y^n) 使得 omega=sum_{i=1}^nmathrm{d}x^iwedgemathrm{d}y^i 在此局部成立。

令 (M,omega) 是辛流形， fin C^infty(M) ，那么满足 X_flrcornerspace omega=mathrm{d}f 的光滑向量场 X_f 叫做 f 的Hamiltonian向量场， M 上Hamiltonian向量场的集合记作 HGamma(TM) 。对内乘不熟悉的读者，更容易接受其等价定义： omega(X_f,Y)=mathrm{d}f(Y) 对任意光滑向量场 Y 都成立。考虑Darboux坐标，即使得 omega=sum_{i=1}^nmathrm{d}q^iwedgemathrm{d}p^i 的局部坐标，用待定系数法设 X_f=sum_{i=1}^n(a^ifrac{partial}{partial q^i}+b^ifrac{partial}{partial p^i}) ，那么 X_flrcornerspace omega=sum_{i=1}^n(a^imathrm{d}p^i-b^imathrm{d}q^i) ，而 mathrm{d}f=sum_{i=1}^n(frac{partial f}{partial q^i}mathrm{d}q^i+frac{partial f}{partial p^i}mathrm{d}p^i) ，对比两边系数即知 X_f=sum_{i=1}^n(frac{partial f}{partial p^i}frac{partial}{partial q^i}-frac{partial f}{partial q^i}frac{partial}{partial p^i}) 。这几乎已经是Poisson括号。我们乘胜追击，Poisson括号的定义呼之欲出： {f,g}:=omega(X_f,X_g) 。由于 omega(X_f,X_g)=mathrm{d}f(X_g)=X_gf ，所以 {f,g}=sum_{i=1}^n(frac{partial f}{partial q^i}frac{partial g}{partial p^i}-frac{partial f}{partial p^i}frac{partial g}{partial q^i}) 。不论是从内蕴定义还是局部坐标形式，Poisson括号的如下性质是易得的：(1) {-,-} 是双线性的；(2) {f,g}=-{g,f} ；(3) {{f,g},h}+{{g,h},f}+{{h,f},g}=0 ；(4) X_{{f,g}}=-[X_f,X_g] 。前三条性质说明 C^infty(M) 构成Lie代数。

读者可以自行验证事实：辛形式的闭性等价于Poisson括号的Jacobi恒等式。这正是辛形式闭性的由来。

辛流形上的所有向量场都是某个函数的Hamiltonian向量场吗？考虑到Cartan奇妙公式，不妨考虑使得 mathscr{L}_Xomega=0 的向量场。代入Cartan奇妙公式，得 mathscr{L}_Xomega=Xlrcornerspace(mathrm{d}omega)+mathrm{d}(Xlrcornerspaceomega)=mathrm{d}(Xlrcornerspaceomega) =0 ，由于 mathrm{d}omega=0 。从而 mathscr{L}_Xomega=0 等价于1-形式 Xlrcornerspaceomega 是闭的。而，若存在某个 f 使得 X=X_f ，则 X_flrcornerspaceomega=mathrm{d}f ，显然是闭的，所以Hamiltonian向量场一定使得 mathscr{L}_Xomega=0 成立。反过来，Poincaré引理指出， Xlrcornerspaceomega 在局部是恰当的，所以存在某个 f 使得 Xlrcornerspaceomega=mathrm{d}f 。总结一下， mathscr{L}_Xomega=0 等价于 X 在局部是Hamiltonian向量场。局部Hamiltonian向量场延拓到全域Hamiltonian向量场的拓扑障碍，当然是de Rham上同调 H^1_{dR}(M) ，若 H^1_{dR}(M)=0 则局部Hamiltonian向量场都是全域Hamiltonian向量场。

在给定辛流形上的光滑函数 H:Mtomathbb{R} 之后，三元组 (M,omega,H) 叫做Hamiltonian系统。引入Poisson括号最大的好处就是守恒律的判断很简单。若 Iin C^infty(M) 在 X_H 的积分曲线上恒为常值，则称 f 是Hamiltonian系统的守恒律。令 gamma 是 X_H 的积分曲线，即 gamma'(t)=X_H|_{gamma(t)} ，那么 {I,H}|_{gamma(t)}=X_H|_{gamma(t)}I=gamma'(t)I=(Icircgamma)'(t)=0 。由于 gamma 是任取的，所以 {I,H}=0 。反之， {I,H}=0 也能推出 I 是守恒律。若 I_1,I_2 都是守恒律，则Jacobi恒等式指出 {I_1,I_2} 也是守恒律。

令 G 是Lie群。给定向量场 X ， G 在 M 上的光滑左作用有逐点定义的向量场 hat X_q:=frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}big|_{t=0}Big(exp(tX)cdot qBig) 和无穷小生成元 hattheta(X)=hat X 。无穷小生成元是 mathfrak{g}toGamma(TM) 的反Lie代数同态，那么 -hattheta 就是Lie代数同态。又，我们有光滑函数导出Hamiltonian向量场的步骤，即 fmapsto X_f ，记这个Lie代数同态为 HV 。那么，是否能找到一个Lie代数同态 hat J:mathfrak{g}to C^infty(M) ，使得如下交换图成立呢？

若任意 Ainmathfrak{g} 都使得 -hattheta(A) 是全域Hamiltonian向量场（这样的左作用被称为Hamiltonian左作用），则答案是肯定的，但这样的 hat J 并不是唯一的，它们可以相差一个 alphainmathfrak{g}^* 项。给定 hat J 之后，按 J(x)(A)=hat J(A)(x) 定义 J:Mtomathfrak{g}^* ，其中 xin M ， Ainmathfrak{g} 。称 J 为Hamiltonian左作用的动量映射。在引入 mathfrak{g}^* 上的Lie-Poisson结构后， mathfrak{g}^* 成为Poisson流形，动量映射成为Poisson态射。

令 gamma 是 X_H 的积分曲线。设 H 在Lie群 G 的左作用下是不变的，即任意 gin G 都使得 H(gcdot x)=H(x) 。那么， {hat J(A),H}(x) =(X_{hat J(A)}H)(x) =frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}big|_{t=0}HBig(exp(tA)cdot xBig) =frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}big|_{t=0}H(x)=0 ，即动量映射 J 是Hamiltonian系统的守恒律。这就是Noether定理：

定理(Noether) 令 (M,omega,H) 是Hamiltonian系统，Lie群 G 在 M 上的光滑左Hamiltonian作用有动量映射 J ，则 J 是 (M,omega,H) 的守恒律。

接着，我们来讨论作用量作为微分1-形式。在 T^*Qtimesmathbb{R} 上，定义Poincaré-Cartan 1-形式 mathrm{d}S:=bm{p}mathrm{d}bm{q}-Hmathrm{d}t ，这里 Hin C^infty(T^*Q) 是Hamiltonian量。考虑曲线空间 Omega(T^*Q)^{q_1,t_1}_{q_0,t_0}:={gamma:[t_0,t_1]to T^*Q|pi(gamma(t_0))=q_0,pi(gamma(t_1))=q_1} 和 tildeOmega(T^*Q)^{q_1,t_1}_{q_0,t_0}:={sigma:[t_0,t_1]to T^*Qtimes mathbb{R}|existsgammain Omega(T^*Q)^{q_1,t_1}_{q_0,t_0},sigma(t)=(gamma(t),t)} ，其中 pi:T^*Qto Q 是典范投影。定义中的 sigma 叫做 gamma 的提升，若 sigma(t)=(gamma(t),t) 。那么，以下定理是相空间中的最小作用量原理，它的证明和本文最开始导出Euler-Lagrange方程的方法一致，分部积分即可。

定理 光滑曲线 sigmain tildeOmega(T^*Q)^{q_1,t_1}_{q_0,t_0} 是作用量泛函 S(sigma):=int_sigmamathrm{d}S =int_{t_0}^{t_1}(bm{p}dot{bm{q}}-H)mathrm{d}t 的极值点，当且仅当 sigma 是 gamma(t)equiv(bm{x}(t),bm y(t))in Omega(T^*Q)^{q_1,t_1}_{q_0,t_0} 的提升，其中 bm x(t) 和 bm{y}(t) 满足Hamilton方程 frac{partial H}{partialbm{y}}=dot{bm{x}} ， -frac{partial H}{partialbm{x}}=dot{bm{y}} 。

微分1-形式 mathrm{d}S 恰恰就是把作用量泛函 S 看作坐标和时间的函数后外微分得到的。此时， frac{partial S}{partial t}=-H ， frac{partial S}{partial bm{q}}=bm{p} ，联立这两式得 frac{partial S}{partial t}+H(bm{q},frac{partial S}{partial bm{q}})=0 。这叫做Hamilton-Jacobi方程。

我们来证明这件事。把初值条件为 gamma(t_0)=bm{q}_0 ， gamma'(t_0)=v_0 的Euler-Lagrange方程的解记作 gamma(t;bm{q}_0,v_0) 。若存在 v_0 的邻域 V_0subset T_{v_0}Q 和 t_1>t_0 ，使得任意 vin V_0 所对应的Euler-Lagrange方程的解 gamma(t;bm{q}_0,v) 在扩展构型空间 Qtimesmathbb{R} 中是两两不相交的（ forall tin(t_0,t_1) ），则称所有这些Euler-Lagrange方程的解 gamma(t;bm{q}_0,v) 构成 gamma(t;bm{q}_0,v_0) 的中心场。ODE的理论告诉我们，只要足够小 t_1 足够小，中心场总是存在。在给定 gamma(t;bm{q}_0,dot{bm{q}}) 的中心场之后，定义经典作用量 S(bm{q},t;bm{q}_0,t_0):=int_{t_0}^tL(gamma'(s))mathrm{d}s ，其中 gamma(s) 是中心场中终点为 bm{q} 的曲线。令 bm{q}(t) 的初始速度为 bm{v}in T_bm{q}Q ，选取中心场里的曲线使得其变分为 deltagamma(t)=bm{v} ，那么变分式 int_{t_0}^{t_1}Big(frac{partial L}{partial bm{q}}-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}frac{partial L}{partial dot {bm{q}}}Big)bm{v}mathrm{d}t+Big[frac{partial L}{partial dot {bm{q}}}bm{v}Big]^{t_1}_{t_0} 给出 mathrm{d}S(bm{v})=frac{partial L}{partial dot {bm{q}}}bm{v} ，从而 frac{partial S}{partialbm{q}}=bm{p}=frac{partial L}{partial dot {bm{q}}} 。又 frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}S(bm{q}(t),t)=frac{partial S}{partialbm{q}}dot{bm{q}}+frac{partial S}{partial t}=L ，得 frac{partial S}{partial t}=L-bm{p}dot{bm{q}}=-H 。